一類無理不等式的簡證、推廣與猜想

☉四川省成都市彭州中學 劉大華 黃秦安

一類無理不等式的簡證、推廣與猜想

☉四川省成都市彭州中學 劉大華 黃秦安

一、問題

文［2］又給出了一道多重根式不等式征解問題：

兩道多重根式型不等式屬于同一類無理不等式，它們在形式上十分優美，在本質上問題1顯然是問題2的加強，即證明了問題1，問題2也就隨之得證.然而無理不等式證明渠道多，技巧性強，如換元法、待定系數法、柯西不等式法、放縮發等.對于此類無理不等式，原文給出的證法是先構造兩個數列，再根據數列的增減性放縮證明，過程十分繁雜，且構造和放縮本身都具有很大的思維推進障礙.

二、簡證

分析：將根號去掉，化無理式為有理式是該題證明的核心，要實現此目標需經兩次放縮過程，第一次運用簡單不等式“n≤4n-1，n∈Z+”予以放縮，第二次看似“無中生有”地加“1”，實則將無理式“4n-2+”配成了完全平方式“

即問題1得證.

評注：上述簡證干凈、利落，當最里層的被開放部分放縮成完全平方式后，產生層層開方的連鎖效應，不等式便獲證.

三、推廣

羅增儒教授說過：“問題一旦獲解，就立刻產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于‘入寶山而空返’.”受此教導，筆者在將問題解決后習慣性地嘗試多角度展開思緒，以求擴大戰果.

思考1：在問題1、2中，層層被開方數“1，2，3，…，n”顯然是公差為“1”的很簡單等差數列形式，能否弱化條件，將其推廣為公差為任意實數“a”的等差數列“ka，（k+ 1）a，（k+2）a，…”的形式？

證明：當n=k時，上式顯然成立.

綜上所述，推廣1對一切k（1≤k≤n）都成立.

思考2：推廣1將公差為“1”的簡單等差數列擴充為公差為“a”的等差數列“ka，（k+1）a，（k+2）a，…”形式，若在層層根號前引入參數“m”，能否將其推廣為更一般的任意等差數列｛an｝呢？

推廣2已知n是大于等于2的整數，數列｛an｝是公差d≥0的正項等差數列，m＞0，則

分析：由于上述不等式與推廣1不等式形式類似，故繼續運用反向數學歸納法予以證明.然成立.

綜上所述，推廣2得證.

思考3：推廣1、2都是處于洞悉了層層被開方數“1，2，3，…，n”是公差為“1”的簡單等差數列后的思緒延續，若層層被開方數“1，2，3，…，n”不變，而改變其開方次數，還能夠得到優美的推廣結論嗎？

要證推廣3，需借助文［3］中關于一個加權冪平均單調性的引理.

下面結合引理對推廣3實施證明.

綜上所述，推廣3得證.

美國著名數學家P.R.Halmos說：“問題是數學的心臟.”是的！有價值的數學問題往往是數學思維得以發展的橋梁.本文所涉及的無理不等式問題在其形式與內涵上具有雙重美，其魅力在不斷思考與火熱探究的過程中光彩綻放.

四、猜想

最后，筆者提出一些待解決的類似無理不等式猜想，請讀者否定或證明.

1.尚生陳.數學問題與解答2250［J］.數學通報，2015（6）.

2.宋慶.數學問題與解答2162［J］.數學通報，2014（1）.

3.匡繼昌.常用不等式（第四版）［M］.濟南：山東科學技術出版社，2010.

4.劉再平.從一道多重根式不等式趣題談起［J］.中學數學研究（上半月），2015（1）.

5.馬乾凱，李明.一個根式不等式的推廣［J］.中學數學教學參考（上旬刊），2011（4）.

6.安振平.一道IMO預選題加強的再探究［J］.中學數學（上），2015（10）.