一道課本例題的研究與拓展

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 馬晉華

一道課本例題的研究與拓展

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 馬晉華

前蘇聯數學家奧加涅相說過：“很多例習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.”教材中的習題凝聚了許多專家、學者的心血和經驗.在教學過程中，應該充分利用教材上的經典例習題，采用多層次處理、多角度分析、深挖隱藏于習題背后的豐富內容，發揮其潛在的教學價值，無論從方法上還是內容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生探究能力和創新能力得到發展.下面就一道課本習題談其教學價值，整理成文，不揣冒昧，奉獻出來，供讀者參考.

一、題目再現

題目：如圖1，過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

在以往的教學中筆者都是直接講解此例，但是發現絕大多數學生難以掌握，不知其所以然.我對此進行了反思，并改變了教學方式，先將此例具體化為特殊的拋物線y2=4x進行研究，然后推向一般即得例題結論，再進一步進行變式探究收到了良好的效果.

圖1

二、改編、變式與拓展

改編例題：過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線BD∥x軸.

在證明此例之前，先給出引例：

過拋物線y2=2px焦點F的直線交拋物線于A（x1，y）1，B（x2，y2）兩點，求證：y1y2=-p2.下面先給出引例的證明.

證明：顯然直線AB斜率不為0，故令AB方程為x= my+，代入y2=2px并整理得y2-2pmy-p2=0.

因為Δ=4p2m2+4p2＞0，所以y1y2=-p2.

再給出漢編例題的證明.

證明：如圖1，因為A，O，D三點共線，

所以kOA=kOD（直線OA與OD斜率相等）.

再讓學生把結論推向一般式y2=2px，學生很快解決了問題.我緊接著對例題進行變式，并讓學生證明，然后把結論推向一般.

變式1過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過B點作x軸平行線交準線于點D.求證：A，O，D三點共線.

所以kOA=kOD.所以A，O，D三點共線.

變式2過拋物線y2=4x焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過B點作x軸平行線與AO延長線交于一點D.求證：D點在一條定直線上.

證明：如圖1，令D（xD，y2）.

因為A，O，D三點共線，所以kOA=kOD，

又由引例知，y1y2=-4.

所以xD=-1，即D點在定直線x=-1上.

拓展1過點M（2，0）的直線交拋物線y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過點B作x軸平行線與AO延長線交于點D.求證：D點在一條定直線上.

圖2

證明：如圖2，顯然直線AB斜率不為0，故令AB方程為x=my+ 2，A（x1，y1），B（x2，y2），D（xD，y2）.

代入y2=4x并整理得y2-4my-8=0.

因為Δ=16m2+32＞0，

所以y1y2=-8.

因為A，O，D三點共線，所以kOA=kOD，

所以xD=-2，即D點在一條定直線x=-2上.

拓展2過點M（a，0）（a＞0）的直線交拋物線y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，過點B作x軸平行線與AO延長線交于點D.求證：D點在一條定直線上.

同理可證定直線為x=-a.

變式3如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，過D作x軸平行線與拋物線交于一點B（x2，y2），直線BF與DO延長線交于一點A（x1，y1），求證：點A在拋物線上.

證明：令A（x1，y1），D（-1，y2）.

當直線AB斜率存在時，

故點A在拋物線上.

所以點A在拋物線上.

變式4如圖1，已知D為拋物線度y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，連接DO并延長與拋物線交于一點A（x1，y）1，過點D作x軸平行線與直線AF交于一點B（x2，y2）.求證：點B在拋物線上（.證明略）

變式5如圖1，已知D為拋物線y2=4x準線上一點，拋物線焦點為F，連接DO并延長與拋物線交于一點A（x1，y）1，過點D作x軸平行線與拋物線交于一點B（x2， y2）.求證：A，F，B三點共線.（證明略）

三、幾點思考

1.學生的主觀能動性得到發揮

讓學生自己去研究問題，獲得對知識的再發現，這本身就是獲取知識的心路歷程，要讓學生知曉探究知識的過程是艱辛的，但是獲取知識的結果是一件令人興奮的事，同時也體現了對學生的教不一定非要在課堂講授，也可以是課外，教學和研究是相輔相成的，雙方是充滿互動的.教師在教學中可以在這方面多研究，多下工夫，這對學生的成長歷程都是有幫助的.正如日本數學教育家米山國藏所說：“學生在學校所學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后就會忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生.”通過這次研究性學習，使我深深意識到除了做好日常教學外，可以多開展這樣的研究性學習，使學生學中樂、樂中學，真正做到教學相長.

2.利于學生解題經驗的總結與反思

縱觀幾十年的高考試題，許多高考試題也來源于課本教材.教材中的例題習題具有典型性、示范性，同時也滲透著一些數學思想方法或提供某些結論.因此，以本為本，重視對教材中的例題習題的深入探究，發現新的東西，是提高高考復習效率的最佳捷徑.

3.引導學生重視回歸課本

挖掘課本習題的教學價值，可引起師生對高三復習回歸課本的重視，更有利于將學生從“題海”中“拯救”出來，對于激發學生的學習興趣，養成用新視角審視課本習題的習慣，提升學生的數學素養大有裨益.教師在高三的教學過程中不要舍本逐末，拿著一本資料教到底，而應就地取材，注重應用新課程理念，對教材經典的例題和習題進行“再創造”，推陳出新，有效地幫助學生提高復習效率.人們常說“一種習慣會孕育一種思維方式”，如果教師能長期在引導、啟發學生思考和提出問題上形成一種習慣和模式，學生就會養成遇事自己開動腦筋，自己尋找解決問題的途徑和方法，不依賴他人的好習慣，那么課堂就會成為研究問題的課堂.數學家克萊因曾說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作，音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上一切.”

正如美國著名數學教育家波利亞所說：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”.教師要研究教學，將課本上數學知識的學術形態轉化為教育形態，讓“冰冷的美麗”引起學生“火熱的思考”.