構造法在高中數學解題中的應用

☉浙江省紹興市上虞區豐惠中學 王東芬

構造法在高中數學解題中的應用

☉浙江省紹興市上虞區豐惠中學 王東芬

解題的過程實際上就是利用已有知識和條件來求解未知參數的過程，但是在實際的數學解題過程中不可避免地會遇到缺乏解題條件或者解題條件不合理等問題，此時如果合理應用構造法，那么可以快速達到求解的目的.因此，如何才能有效地將構造法應用于高中數學解題值得深入探討.

一、構造法的基本原理

顧名思義，構造法就是按照已知方式或者經過一些步驟將某些比較抽象的問題直觀化、形象化，進而再按照一般方式進行求解的過程.通常而言，我們在解題時常常伴隨著一種內在的思維定式情況，即按照正面思考順序，結合已知條件來探討問題的求解思路，數學問題的求解也不例外.但是在實際數學問題的求解過程中卻常常會因該種思維定式而無法順利解題，此時如果可以合理采用逆向思維來思考和求解數學問題，那么往往可以達到“絕處逢生”的目的，構造法實際上就是基于該種思想的一種方法.而就構造法在數學問題求解中的具體應用而言，其主要是要求我們在無法按照傳統求解思路和理念解決問題的情況下，去換個角度來探討已知條件和問題以及未知參數等之間的關系，進而借此來建立一種新型問題來快速求解問題.從根本上來講，構造法具有創造性、不固定性、多樣性和靈活性等特性，關鍵在于“構造”二字.

二、構造法在高中數學解題中的應用

構造法在高中數學解題中的應用范圍比較廣，涉及到高中數學幾何知識、數列知識、函數知識以及不等式知識等諸多方面.而就構造法在解題中的具體應用而言，其主要包括如下幾個方面.

1.構造方程法

構造方程法是高中數學中常見的一種解題方法，是大多數高中生比較熟悉的一種解題方法.實際上，函數和方程二者之間本身具有很強聯系性，其中構造方程就是充分借助題干信息中的數量關系和結構特征等來假設構成一個或者幾個等量方程關系式，進而借助相應等量方程關系式的構建來達到簡化解題思路的目的，同時也可以使學生在運用構造方程解題時培養和提升他們的思維能力與觀察能力.

例1已知（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，試求證m，n，x為等差數列.

分析：針對該道數學試題的求解，可以借助構造方程法來將題干信息中的有關條件和結論進行有效結合，這樣可以實現對題干信息簡單化、形象化，有助于更好地構建求解問題的方程.而如果按照傳統的求解方法，那么不僅費時費力，最終學生可能也無法達到求解問題的目的.

解：構建方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，①

令F（t）=（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）.

由題意可知，F（1）=0，則可知所構建方程①中實數根相等，那么可由（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0解得t=1，這也意味著方程中兩個實數根取值均為1.然后由韋達定理即可求得m+n=2x，這樣即可證明m，n和x是等差數列.

如此一來，通過借助構造方程法，有助于將相應的數學問題簡單化，可以快速解答有關的數學題目，增強解題效果.

2.構造函數法

同構造方程法類似，高中數學中的函數知識和方程之間具有緊密聯系.構造函數法的合理應用，可以培養和提升學生的解題能力，尤其適用于幾何類型和代數類型數學題干信息的求解中來.在實際的數學題目求解過程中，可以將某些數學問題轉化成一些形式比較簡單的函數形式，有助于達到簡化求解過程，提高解題準確度的目的，同時也有助于培養學生的創造性思維.

3.構造向量法

向量作為高中數學的重要組成部分，也是高考數學學科考查的重點內容.實際上，向量既可以進行代數運算也可以進行幾何運算.借助構造向量法的合理應用，可以把有關問題從數過渡到形，有助于增強某些問題的直觀性和形象性，幫助學生更好地解決有關的向量問題.特別是針對不等式的結構特征，如m1m2+n1n2，此時借助向量數量積即可來表示相應的數學題干信息，從而可以將原來的不等式適當變形為原不等式的證明提供新的方法.這樣學生不必再進行煩瑣的計算和復雜的論證，只需要簡單論證即可.

分析：該題是一道典型的函數題，采用傳統解題方法需要進行分類討論，計算煩瑣性比較大，但是如果引入向量方面的知識，構造向量方面的有關式子，那么可以達到簡化該題，降低解題難度的效果.

4.構造圖形法

縱觀高中數學學科中的知識，數形結合法是常見的一種解題方法，構造符合題意的圖形，可以將某些文本描述過于煩瑣、復雜的數學知識精簡化、直觀化，有助于增強問題求解的形象化，可以使我們更加便捷地求解有關數學問題，同時也可以使我們在此過程中了解、學習和掌握數形結合方面的重要解題思想和能力.而構造圖形法的最直觀體現就是數形結合法的應用，其是高中數學學習過程中至關重要的一種解題思想，往往可以使某些抽象、繁雜的數學知識直觀化、形象化、簡單化，從而有助于我們更好地求解有關的數學問題.

例4已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）.

解析：如圖1所示，記拋物線y2=4x的焦點為F，則F（1，0），注意到直線l2：x=-1是拋物線y2=4x的準線，于是拋物線y2=4x上的動點P到直線l2的距離等于|PF|，問題即轉化為求拋物線y2=4x上的動點P到直線l1：4x-3y+6=0的距離與它到焦點F（1，0）的距離之和的最小值，結合圖形可知，該最小值等于焦點F（1，0）到直線l：4x-3y+6=0的距離d==2.故選A.

1

圖1

由此可知，作出相應的直線圖形，可以使我們直觀地確定待求問題的解題關鍵所在，不僅有助于加快解題速度，同時也可以培養我們邏輯思維能力.

例5已知點M（3，5），在y軸和直線y=x上分別找一點P和N，使得△MNP的周長最小.

分析：作點M（3，5）關于y軸和直線y=x的對稱點M1，M2，則|MP|=|M1P|，|MN|=|M2N|，所以△MNP的周長等于|M1P|+|PN|+|M2N|，當且僅當M1，M2，P三點共線時取最小值，所以點P，N應為直線M1M2和y軸與直線y=x的交點.

解：作點M（3，5）關于y軸和直線y=x的對稱點M1，M2，則點M1，M2的坐標分別為（-3，5），（5，3），具體如圖2所示.

圖2

由此可知，通過構造圖形法的合理應用，就可以利用對稱思想為線段找到了“替身”，從而將問題轉化為兩點之間線段最短的問題，那么相應的求解難度將大大降低.

除了應用題計算之外，構造圖形法也可以用于選擇題的求解.借助構造圖形法的合理應用，可以幫助我們快速求解某些選擇題，而不再需要煩瑣的大量計算，同時計算準確率也比較高，具有很強的應用價值.

例6已知0＜a＜1，則方程a|x|=|logax|的實根個數為（）.

A.1B.2

C.3D.1或2或3

解析：判斷方程的根的個數就是判斷y= a|x|與y=|logax|圖像的交點個數，畫出兩個函數圖像（如圖3所示），易知兩圖像只有2個交點，所以方程有2個實根，故選B.

圖3

例7函數f（x）=2x+x3-2在區間（0，1）內的零點個數是（）.

A.0B.1C.2D.3

解析：設y1=2x，y2=2-x3，在同一坐標系中作出兩函數的圖像（如圖4所示），可知B正確.

圖4

如果針對例7采用常規的解題方法，相應的步驟為：因為f（0）=1+0-2=-1，f（1）=2+23-2=8，即f（0）·f（1）＜0且函數f（x）在（0，1）內連續不斷，故f（x）在（0，1）內的零點個數是1.

由此可知，通過借助圖形，可以使我們無需繼續按照常規的函數對比來判斷最終結果，只需要借助繪制圖形即可得到我們想要的關鍵信息，可以快速幫助我們找到解決數學問題的方法，提高我們解題能力.

5.構造數列法

等差數列和等比數列均是高中數學中數列章節的重要內容，本身包含著許多數學性質，是高中數學教材中學習的重點內容和高考的熱點內容.在解決相關高中數學方面數列問題的過程中，可以引導學生結合相應的題設特征，借助替換和聯想等方式來虛構一個等差數列或者等比數列，那么可以借助等差或者等比數列的合理應用來明確相關數學問題的求解要點，這樣就可以起到化繁為簡、化抽象為具體的作用.

分析：該題是一道典型的數列問題，且已經知道前n項和與數列通項an之間的關系，那么反推Sn的表達式.此時如果采用傳統的通項公式求解方法，那么不僅煩瑣，也無法直接套用公式，但是如果虛構數列，那么可以建立一個新型的數列來達到求解的目的.

解：當n≥2時，an=Sn-Sn-1，

6.構造解析式法

所謂的構造解析式法實際上就是通過合理構建一個適當的關系式來輔助題目求解，其在解題中的合理應用，有助于大大簡化解題思路.而構造解析式法的具體應用模式而言，其主要為結合實際數學問題的特征來合理構建一個與之相關的關系式，然后可以替代原有題干信息中的問題或者簡化原有數學問題來徹底解決這些原有的數學問題，從而達到求解數學問題的目的.

總之，構造法在高中數學解題中的應用范圍比較廣，可以應用于幾何知識、數列知識、函數知識以及不等式知識等諸多類型數學題目求解中.但是為了充分發揮構造法在高中數學題目求解中的積極作用，必須要結合實際的數學問題來合理選擇構造法，借助數學求解條件的合理構造來達到簡化題目求解的目的.