大道多至簡，取勢方明道
——“析、譯、拓”解題教學的實踐與思考

☉山東省單縣第一中學 衛小國

大道多至簡，取勢方明道
——“析、譯、拓”解題教學的實踐與思考

☉山東省單縣第一中學 衛小國

基于能力立意的高考題，將對學生知識與技能、學科思維與素養等方面的考查，融入試題之中，落實于學生的解題過程，因此數學解題教學成為高中數學教學的重要組成部分.本文以一道高考題的教學實例，淺談數學解題三步教學法的高效與實用.

基于波利亞“弄清題意、擬定計劃、實施計劃、回顧問題”的解題策略，教學需以典型的好問題促使學生“強化基礎知識、提升基本技能、學習有效分析、總結解題規律”.結合解題教學實踐的反思與總結，筆者特提出數學學科“析、譯、拓”三步解題教學法.教學中應用此法，學生既能意識到數學解題“精準分析題意、高效轉譯思路、適度拓展延伸”的重要，又能實現思想方法、解題策略的遷移，達到解題的觸類旁通.本文中筆者簡錄2016年高考山東卷解幾試題的解題教學實踐，并以其為例，詳談課堂實施的主體流程與各階段設計意圖.

圖1

（1）求橢圓C的方程.

（2）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M.

①求證：點M在定直線上；

②略.

其中第（1）問橢圓C的方程為x2+4y2=1，課堂教學僅集中研究第（2）問①部分；以期充分展示其指導解題教學的典型性.

一、精析解題思路，領悟命題意圖

綜合多個條件、多重關系的數學試題是考查學生問題分析與轉化能力的最佳載體，要具有極高的教學價值.而突破問題“迷障”的最好手段，是著力培養學生準確審清題意和領會試題意圖的能力.在平時的解題教學中，要順利通過審題關，可借助典型問題引導學生分解題設條件、確定破題的方向、提煉問題的類型和選擇解題的策略；與學生探討解題思路的同步，教師無聲滲透審題方法與解題策略的培養.

審題是題設有效信息的提取、隱含信息的深挖、關鍵信息的提煉，也是迅速解題的基礎.審題要逐條審視題設條件，表征條件的應用或深挖與之有關聯的知識（概念、性質、公式、結論等，甚至一些條件的必要條件），一個條件能向四周發散形成一簇.在思索如何使用這些條件時，條件就自然直接或間接地聯系在一起，這樣條件A（不一定是題目中出現的第一個條件）與條件B連接起來，條件B與條件C連接起來，…，如是，由突破口開始，用“無形”的線串起來，這就成為一種解題的思路.

課堂簡錄1析題

師：題設中，含有哪些幾何要素與幾何關系？

生1：題中主要包括的要素有：動點P，切線l，中點D，交點M等共四個；幾何關系為：動點P是E上，l是E在點P處的切線，l交C所得線段AB的中點為D，直線OD與x=xP交于M.

師：很好！（適當鼓勵，追問）所列的四個條件涉及到的相關知識有哪些？

生2：由中點D想到了聯立方程組、韋達定理.

生3：交點M在直線上是線共點問題.點在直線上，可以涉及直線的點斜式或者交點直線系都可能.

生4：與切線l關聯的有直線與圓錐曲線的位置關系，在對稱軸為y軸的拋物線背景下，切線可以聯想到導數的幾何意義.

……

師：由此可見，從一個條件出發，獲得的分結論有可能很多.如何將包含的信息組合，并以邏輯推理的形式條理成序，這就是解題思路的生成過程.因此，大家對題設條件的深挖，必為解題提供有效信息.

設計意圖：問題中的條件是解題的邏輯始發點，結論是推理的目標；順利搭建起點與目標間的橋梁是解題“通暢”的關鍵.分析問題的過程，需字斟句酌地分析條件，抽離出“隱藏”其中的數量關系與空間形式；再進行一系列的有序組合，形成清晰、條理、明確的解題思路.所以，教學中精析問題，厘清知識和思想方法，是建立新舊知識與經驗間的有效聯結.

師：下面結合初步的分析探究解題思路，以圖示的形式展示思路過程，并簡短解釋你設計的想法.

生5：條件中最關鍵的條件是“點P”，它決定了另外的三個.思維流程如下（學生展示圖1，簡記解題策略一）：

圖1

預想只要設出點P的坐標，利用導數可求出切線l的方程；爾后與橢圓聯立得到AB中點；最后通過直線OD與直線x=xP相交，算出點M的坐標.計算中主要還是常用的處理技巧，如“設而不求”與“整體代換”等.

師：思路很清晰，針對問題能“巧取節點，以少勝多”，稍后再探究詳細的解答過程，哪位同學還有不同的解題思路嗎？

生6：從結論出發，逆向尋求，主要過程如圖2（簡記解題策略二）：

圖2

設點M的坐標，就能表示出點P和直線OM；其中由P可列出切線l的方程，與橢圓C聯立可得中點D，通過直線OD與直線PM的方程組，解得M的坐標.個人認為待定系數法、韋達定理、函數與方程思想的考查是重點，其中分析法是解決該類問題的好方法.

（眾生有異動，意欲表達看法）

師（聲調拉長）：嗯……

生7：這種解法是由結論出發尋求滿足的條件；但是，運用于本題，預計計算量有點大.其中的原因是，點M是“設而待求”；需要通過“借點M表示點P，列出切線方程，聯立方程組表示出中點D，根據直線OD與直線OM是同一直線，待定系數法確定點M的坐標”等一系列帶字符的多重運算.

師：解析幾何的字符運算能力是考查之一，也是難點，大家還是需要在平時訓練中迎難而上，并學會在實施運算過程中遇到障礙而調整運算.本題采用的“執果索因，把握關鍵”的戰術，是解決思維受阻的很好方式.若按生6的思路計算繁雜，既然如此，還有另辟蹊徑的處理方法嗎？

生8：觀察到問題中，涉及原點與弦中點連線斜率及弦所在直線的斜率這兩者，這是圓錐曲線“垂徑定理”適用的典型背景；所以此題可選用點差法，大致的思路如圖3（簡記解題策略三）：

圖3

分別設點P，A，B的坐標，如是可以由點P表示出直線x=xP與切線l的方程，由A，B代入橢圓方程獲得方程組；利用點差法化簡得直線OD斜率與A，B所在直線l的斜率之積.進而得直線OD的方程，直線x=xP與直線OD聯立即得點M的坐標.這種方法充分說明，此題考查直線與圓錐曲線的位置關系、韋達定理等知識點，以及設而不求的運算處理和學生創新解題意識.

師：解題切入很巧妙！根據條件中的切線斜率與中間關鍵結論（直線OD斜率）的關系；于多個變量的紛繁關系中，將減元的策略通過“垂徑定理”實現，真有一種“橫刀立馬”的氣概！

設計意圖：提供機會讓學生深入理解題意，分析條件與結論的關系；以思維導圖的形式直觀表述出解題思路.一方面，導圖提示學生知曉“如何設元”、明晰“有何關聯”、確定“怎樣聯系”；另一方面，圖表指引學生選用熟悉的解題策略與解題處理技巧，使得解題的方向明、操作清.這個過程，不僅浸潤了解題策略的抉擇，也自然成為解題的“導航儀”；把解題思路的設計與對命題意圖的理解直觀表述出來，讓結論在解題前“在觀念中存在著”.

簡評：解題教學中的“析”，即是課堂中發揮教師的指導功能，并以問題導引學生展現思維過程；給學生時間以“讀懂析透”題意，即學生弄清告訴的信息是什么、厘清考查什么思想方法［1］.正如涂榮豹所言“善于解題的人用一半的時間理解題意”.學生在課堂的時空中實踐逐項解讀條件、逐條轉化已知、逐步關聯串并，親身感悟解題“快閱讀、慢審題、精分析”的真諦.在突破審題關同時，學生交流獲得解題切入方式，在“碰撞”中優化、抽象思維水平在“沖突”中提升.

二、轉譯導圖信息，布局演算推理

前一步，是“謀篇”之始，是算法層面的分析，是與試題的“初步接觸、淺層交流”；而后繼則是“布局”之時，是推理與運算的主觀呈現.若把以上的導圖看成繪制“航道”，下面的轉譯則是破浪“航行”，是分析思路和解題策略的具體化.

課堂簡錄2譯圖

師：結合剛才幾位同學的思路分析，請從圖1和圖3中自選一種，寫出詳細的解題過程.（教師巡視，掌握學情）

設計意圖：解題教學中，以問題串“循序漸進”地導引學生結合前面的分析，進行解題的自我設計、統籌謀劃，從文字敘述、代數翻譯、演算推理等方面合理布局.學生的思維過程在課堂中有機會得以“暴露”，其中推理論證的嚴謹與創新、解題運算與調整技巧等解題細節能完整呈現.學生完善解題思路、老師點評解題過程，在師生的暢通交流中；學生的解題從“思”的層面，向“行”的層面過渡.

師：請生9、生10分別投影展示解法！

生9：（投影）

所以直線的斜率為m，

直線l方程為y=mx-

得（4m2+1）x2-4m3x+m4-1=0.

由兩者相交于不同的兩點A，B知，

生10：（投影）

解：若設P（xP，）（xP＞0），又設A（xA，yA），B（xB，yB），D（xD，yD）.

ODAB

另直線與拋物線相切時，由導數的幾何意義，可得kAB=xP.

師：生10對策略三的“轉譯”，抓住題設條件的核心關聯，利用圓錐曲線的點差法得到斜率間的關系式kODkAB=-.相對解法一，雖表面所設未知量較多；似“千軍萬馬”，但巧借“垂徑定理”，回避了“聯立方程，韋達定理”，自然極大程度地降低運算量，解答簡約.

師：上述兩種解法雖切入不同、解答有異，但殊途同歸，即運用參數法推證點M的運動軌跡在一條定直線上；兩者都突出考查推理論證、運算求解等能力和轉化化歸的數學思想［2］.

另外大家要有心理準備，就是數學解題的字符繁多、變量繁雜；常常需要進行條件化歸，常通過“消參”來簡化.建立條件與結論之間的等式關系，是將復雜問題簡單化的“必經之路”，其中結論是“上索下求”確定如何消參的關鍵.

設計意圖：“一題多解”的對比中，是優化解題的實現的基本途徑，學生的分析運算條件、探究運算方向、確定運算公式、選擇運算程序是各有千秋的.之所以如此安排，一來通過學生的示范和老師點評，“潤物無聲”地促使全體學生自覺做到解題有條有理、清晰布局、嚴密推理；二來與學生共同探討運算調整的時機，以便深化運算求解能力，從而達到運算簡化、推理簡潔.

三、拓展外延范圍，探索內涵思想

解題教學中，基本的任務是確保學生掌握基礎、學會方法，但引領學生注重試題背景、重視思維內涵，是學生“遷移應用、形成能力”的最佳途徑.即以一題多解透徹分析問題很重要，但挖掘試題的內涵思想方法與拓展外延知識，則是解題教學的核心，使得解題教學的目標直指“研一題、會一類、通一片”.

（一）思想與背景的探索

簡錄3探源

師：波利亞所言“好問題類似于采蘑菇，采到一個后還應四處看看，也許還有更多”.就本題而言，其知識背景是什么？原題的四個條件與所證明的結論，是否可進行多種組合？

設計意圖：圓錐曲線中的典型問題，常常是抽取了本質、隱藏了背景、呈現著表象，內在蘊含著特殊到一般的數學思想.解題的題源探究是弄清背景、探求本質、正本清源，是思維從內隱走向外顯.因此，教學中可適當作一般性結論推廣的猜想與論證，爾后條件與結論的可逆性分析與外延；特別是圓錐曲線間的拓展，通常會在“蘑菇四周發現蘑菇群”.

圖2

師：下面請生12簡單敘述一下.

生12：原題的推導方法和證明過程中，用字符替代即可，得到以下的解題過程：

得（b2+a2k2）x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0.

由此，直線OD方程為它與直線x=xP相交于M.

其縱坐標恒為y=-即有點M在定直線y=上.

師：很好！生12的證明過程正是有特殊推廣至一般，是歸納推理與綜合法證明的綜合運用，也是山東高考題的一般性推廣，更揭示出該考題的知識本源.

生13：我認為一般的推廣，還可以得到個更“漂亮”的結論.推理論證獲得結論過程之時，代入切線的斜率才使得點M的縱坐標為定值，即點P處的切線l與點M在定直線y=-上是互相制約的.對一個命題從正反兩個

角度進行探尋，發現生9的逆命題也成立.結論與證明過程展示如下：

設直線l的方程為y=kx+q，

解析：設點M

故直線l為E在點P處的切線.

師：能將以上的精彩推理，用一段話總結嗎？

師：大家剛才精彩紛呈的問題分析和探究論證，完全可以將上命題歸納為一個定理了.事實上，該結論道出了高考試題的一個深刻的背景，也揭示了內在的奧秘，反映出“動中有定，變與不變”的本質特征.試題將以上定理所蘊含的規律，是利用特殊化思想，將試題其中的本質屬性隱藏起來，這就為我們提供了深層思考的好素材和廣泛的空間.

設計意圖：解題教學中的挖本掘源，是算理的建模過程，也是思維的“蛻變”，多題歸一，提煉方法，揭示思想，更是解決“一聽似懂、一做就錯”頑疾的高效措施.

（二）外延領域拓展

思維的高境界是思維發散性廣、思維創造性強.解題教學的外延階段，是可從特殊情形、簡單問題入手，運用類比推理拓展至鄰近領域，即數學的“大道至簡”.

簡錄4拓展

師：圓錐曲線中的結論，常具有統一性，那么此定理是否可以進行延伸至其他圓錐曲線？請各組自選方向論證！

設計意圖：利用圓錐曲線性質的相似特征，引導學生通過變式和拓展，在發現“蘑菇群”的同時也構建了一個命題網絡.于學生而言，登高望遠，收獲的不僅僅是知識，更重要的是享受了成功的喜悅.在“源與流”的探尋中，思維水平和解題境界有了真真切切的提升.

（投影）先探究充分性：

由題設知，直線AB與雙曲線相交，則有

M由直線OD與PM相交而來，

再探究必要性：

另可設其他點A（xA，yA），B（xB，yB），D（xD，yD）.

設直線l的方程為y=kx+m，

故直線l為E在點P處的切線.

師：推理過程很嚴密，而且獲得結論的同時，也就實現了解題方法的遷移，原始問題的結論可以類比到雙曲線.那么拋物線也有相似的結論嗎？

組2：我們組探究的是這個方向，在拋物線中沒有類似的結論！

師：那我們在拋物線這“滑過”（課前已知不能推廣），還有其他需要補充的嗎？

組3：我們用了一種特殊情況，也有收獲：在平面直角坐標系xOy中，曲線C：x2+y2=m（m＞0），拋物線E：x2=2py（p＞0），設P是E上的動點，且位于第一象限，過E上點P處的直線l，若與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，且直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M，則直線l為E在點P處的切線的充要條件是點M在定直線y=-p上.證明只需要將橢圓特殊化，就可以輕易證明的.

師：太好了，大家聯系一下這幾點收獲，能有統一的結論嗎？

1（mn≠0），拋物線E：x2=2py（p＞0），設P是E上的動點，且位于第一象限，過E上點P處的直線l，若與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，且直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M，則點M在定直線上的充要條件是直線l為E在點P處的切線.

師：高考試題通常有一個“源”，而呈現的問題是千變萬化的.我們需經歷層層剖析，透過現象才能看到本質，得到上面的結論.對問題的細致分析是解題的基礎，而構建出思路導圖是解題策略的展現，解題過程是直觀圖示的代數化，問題的拓展與延伸是“看山不是山，看水不是水”式思想方法的遷移.

簡評：在以上的探究過程中，引導著學生對問題深層次的思考，不斷推動學生探究，萌生新的想法，對問題的理解更通透，由然而生解題中“會當凌絕頂，一覽眾山小”之感.

四、教學思考

羅增儒說：“數學學習中發生數學的地方都一無例外地充滿著數學解題活動.”數學教學要“以解題為中心”，任何學習都要“以解題為中心”——有“問題”才需學習.解題過程就是學習新知、發展智力、提高能力的過程，當然也是“學會解題”的過程.如何達成學生的會解題？在解題教學中師生扮演好各自的角色；解決好“以如何發現和提出問題、如何獲得數學對象、如何構建研究線索以及掌握解決問題的基本方法等為目標，通過解題逐步讓學生學會認識和解決問題的基本方法”.

1.引導分析問題

解題教學是中學數學課堂教學的主旋律，但解題教學的課堂卻異化了：解題教學演變為海量講題、經驗傳授，結果學生“講過練過不一定會，沒講沒練的一定不會”；解題僅是題型訓練、解法套用、試題記憶，最終學生“陷入題海而自拔無門”.其根本原因是在解題教學中，師生審題不清，更不談“反芻”進而“提取”，建立不了新舊知識與經驗的聯系，忽視了問題的分析對思維培養的促進作用，

審題要“細”，要閱讀每一個已知信息，進行慢推敲、抓細節.首先是讀懂字面含義，列出題設中含哪些相關概念、定理、思想方法，有什么隱含信息；將題中的已知條件、潛在條件及要求解決的問題一一標出，做到邊讀題，邊打腹稿，如此，自然分析出題目的要點.再則弄清數學含義，對數學概念準確理解——清楚它們的來龍去脈，內涵與外延，清楚與其他知識間的聯系；對公式、性質、定理等要準確掌握——清楚其數學表達的使用前提，適用范圍，功能等.而后識別出題目類型，即對問題提供信息及分析所得信息，進行有序的組合；表征為學生頭腦中所熟悉的情景與問題類型.

審題過程中，教師要發揮自身的教學智慧，引領學生挖掘試題的信息，揣測命題的意圖，將已有信息對比分析，找差別、找共性、找聯系、找特點，有意識地訓練學生的審題能力，喚醒大腦中有關聯的知識，改善學習“固化”的“想當然”的習慣，能夠清楚“審什么、怎么審”.

2.取勢優化思路

“取勢”是“順勢而為”，善教數學者，要能“謀勢而動，因勢利導”.思路探求的過程，就是條件和結論溝通的過程，也是經由條件進行一系列的推理與演算，探求結論的過程.解題教學中更應以有效的問題鏈強化學生“運算”“推理”“邏輯”“結構體系”；層層遞進地優化解題思路，以展示學生自主思考邏輯思維“循序漸進”的過程.

解題教學中可以將學生對問題的分析這一思維活動過程，由隱性向顯性的設計，可借助設可操作流程圖或思維導圖來直觀展示思維的“框架”，再用文字具體表達出來.此過程的順利與否，是基于學生對問題的條件和結論間的關聯把握的程度決定的.教師的主導作用是導引學生找始點、理關系、定方法、選定理、譯導圖；學生結合自我對知識的理解和掌握情況，規范書寫出方法簡單、層次清晰、論證準確的解題過程.因師生和生生觀察問題的角度的不同，從同一問題中可發現的規律也不盡相同；教師要預知學生的思維特征和學生知曉自身的思維水平，在師生的交流、生生的交流的沖突中碰撞出思考的火花.學生不斷地自省自查和修正完善，從解題切入和運算技巧上全盤考慮；在課堂上生成自己的、正確的、優化的解題思路.

3.延拓方可明道

“明道”：明即明白、懂得，道即規律、原則.明道者，明白原則、掌握規律也.“數學是自然的，數學是清楚的”，對有價值的數學問題的解題過程進行回顧和解題方法的重新認識；把具體事例中得到的東西概括到全體中去，就是對透過現象看本質.具體問題中的信息是豐富的、多樣的，教師要掌控主要研究方向和設計好的問題串：同樣的方法是否可以運用于更一般性的命題？試題的背景是什么？命題可以推廣嗎？等等，環環相扣地讓學生掌握如何觀察具體事例，學會歸納、抽象、概括；以期培養學生“從經驗中發現規律”的能力.

與學生一同追根溯源的同時，是“教師普度、學生悟道”，是讓學生認識到試題有根，于浩瀚題海之中悟法方得是岸，用聯系的哲學觀看問題，多題歸一，是對知識的引申與拓展，也是思想與方法的推廣與延伸.

本文得到安徽太和高級教師韓長峰老師的指導和悉心幫助，在此深表感謝！

1.羅增儒.數學試題審什么、怎么審？［J］.中學數學教學參考（上旬），2012（5）.

2.韓長峰，衛小國.2016年高考數學山東卷理科第21題初探.［J］.數學通訊（上半月），2016（10）.

3.李紅春，翁華木.活用解題理論打造高效課堂——基于“怎樣解題表”理論指導下的一節習題課［J］.中學數學（上），2014（4）.