高中一類函數難題的巧解

☉山東省臨沂第一中學 劉宗珉

高中一類函數難題的巧解

☉山東省臨沂第一中學 劉宗珉

導數常常作為高考壓軸題，是高考重點考查的內容之一，大多情況下題目具有一定的難度.然而通過對所學知識的綜合應用，就會發現一些能夠精簡計算與邏輯的巧妙解題方法.本文將從例題入手，介紹解決導數問題的一些巧妙方法.

例1設函數f（x）=x（ex-1）-ax2（e是自然對數的底數）.

（2）若（fx）在（-1，0）內無極值，求a的取值范圍.

解：（1）f（′x）=e（xx+1）-2ax-1.

令f′（x）＞0，則x＞0或x＜-1；

f′（x）＜0，則0＜x＜1.

故f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（0，+∞），單調遞減區間為（-1，0）.

（2）方法1：利用充分條件的性質，不斷求得使之成立的充分條件，剩余部分進行特殊分析.

因為f（x）在（-1，0）內無極值，故f（x）在（-1，0）內單調，

比較f（′x）=e（xx+1）-2ax-1與e（xx+1）-x-1可知，

②又由經典不等式ex≥x+1知，

f（′x）≥（x+1）2-2ax-1=x［x+2（1-a）］，

在（-1，0）上，2（1-a）≤0，

即a≥1時，f′（x）≥x［x+2（1-a）］≥0，

（fx）在（-1，0）內無極值.

f″（x）=ex（x+2）-2a在（-1，0）上遞增，f″（-1）=e-1-2a＜0，f″（0）=2（1-a）＞0，

故存在s∈（-1，0），在（-1，s）上，f″（x）＜0，f′（x）單調遞減；在（s，0）上，f″（x）＞0，f′（x）遞增.

f′（0）=0，所以f′（s）＜0，而f′（-1）=2a-1＞0，

所以存在t∈（-1，s），f′（t）=0，在（-1，t）上，f′（x）＞0，在（t，0）上，f′（x）＜0，

在（-1，0）上f（x）有極值，不合要求.

方法2：通法，分離變量，大膽尋找簡便算法.

因為f（x）在（-1，0）內無極值，

故f（x）在（-1，0）內單調.

所以h（x）在（-1，0）內單調遞增，1＜h（x）＜2，

f（x）在（-1，0）內單調遞增?h（x）-2a≤0，即a≥1，

f（x）在（-1，0）內單調遞減?h（x）-2a≥0，即a≤

注：上面利用了（fx）·ex分離原則及經典不等式e-x＞-x+1，比命題者提供的局部分析方法簡便.

（1）若x=0為函數（fx）的極大值點，求（fx）的單調區間（用a表示）；

解：（1）f（′0）=g（′0）=0，得a=b.易得（fx）的單調區間.

（2）由g（x）=ex-x-1易得經典不等式ex＞x+1.

預測h（0）=0，若h（x）是增函數必成立，先尋求使h′（x）≥0成立的充分條件：

r′（x）=ex（x+2）-1-a，r′（0）=1-a＜0，又r′（x）是增函數，

r′（a）=ea（a+2）-1-a＞a+2-1-a＞0，所以存在x0＞0，

在（0，x0）上，r′（x）＜0，r（x）是減函數，r（x）＜0，即得h′（x）＜0，h（x）是減函數.

由h（0）=0，在（0，x0）上，h（x）＜0，故a＞1時，結論不成立.

綜上所述，a的取值范圍是0＜a≤1.

導數的性質是對函數概念的延續和拓展，在比較數的大小、函數的定性分析以及相關的數學綜合問題中也有廣泛的應用.在解題過程中，巧妙利用經典不等式法、配方法、換元法等思想從多角度入手，往往會收到意想不到的效果.