如何讓學生會“數學地”思考問題

盛璇

《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱“《數學課程標準》”）第一次將數感作為新課程標準十個核心概念的首要概念，并明確規定應為學生掌握的核心內容，需要培養的核心數學素養，可見培養學生數感的重要性。但在日常的教學過程中，由于教師對數感的培養缺乏應有的認識，往往只是教給學生有關對數的認識、數的計算和數的應用方面的知識，缺乏對學生數感的培養，亦或由于教師理念上的先天不足而在培養學生數感的過程中存在這樣或那樣的誤區，致使一些學生面對現實的數學問題，由于自身數感不強，常常束手無策。那么，如何培養學生的數感，讓學生會“數學地”思考問題？

一、對數感內涵的認識

通過閱讀報刊雜志和上網查找資料，國內外關于數感的種種說法有很多，經過大致梳理有以下幾類：第一，認為數感是“關于數字（量）的一種直覺”；第二，認為數感與語感、美感等類似，是一種“直感”；第三，認為數感是一種主動地理解數和運用數的態度和意識，是一種基本的數學素養。

新《數學課程標準》對數感作出了明確的解釋：數感，主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。“數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋。”這便于我們明確數感的具體內容，把握數感的教學方向，便于在日常教學中培養學生的數感。

上海市特級教師曹培英在給我們做的報告《“十大核心詞”的解讀研究》指出：數感如同球員的球感。歌手的樂感，每個人都有，只是程度感覺的不同罷了。簡單通俗地說，數感就是對于數的感悟和理解。北京教育學院數學系副教授張丹在所著的《小學數學教學策略》中將數的學習歸為四個方面：在對具體情境中數與數量、數量之間關系等感悟的基礎上理解數的意義，運用多種方法來表示數，把握數的相對大小關系，運用數來表達和交流信息。由此不難看出，這里的“感”不僅僅停留在感性認識上，而是在感性基礎上的理性認識。《小學數學教學法》一書中指出：數感是人們對數與運算的一般理解，有助于人們用靈活的方法做出數學判斷，并為解決復雜問題提出有用的策略。綜合上述的觀點，我認為：數感是人的一種基本數學素養，是一個人對數的意義和運算的直覺感知，具有良好數感的人，對數的意義和運算有靈敏而強烈的感覺、感受和感知的能力，并能作出迅速準確的反應。它不僅體現在計算能力和解決書本問題能力上，而且體現在學會數學地思考，當遇到與數學相關的問題時，能自然地、有意識地和數學相聯系，用數學的觀點和方法來處理解決，可以理解為數感就是可以“數學地”思考問題。

二、培養學生數感的教學誤區

數感的建立是提高學生數學素養的重要標志，有助于提高學生數學地思考和解決問題的能力。但在日常教學中，由于教師受應試教育的影響，對數感的認識還存在不同的偏差，以至于在培養學生數感的過程中還存在一些誤區。

誤區之一：感受大數是與生俱來的，后天無法養成

不可否認，某些數學家天生就有很強烈的數感，10歲的高斯毫不費勁地完成了等差數列（比如由1到100的自然數）求和，得益于他對計算方法的直接把握；12歲的帕斯加獨立完成了三角形內角和定理的證明，一直為人們津津樂道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中產生了八位數學家，我國南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孫的數學成就聞名于世，但畢竟是鳳毛麟角，屈指可數。

數感的形成固然有遺傳因素和家族影響的作用，而更多是后天努力的結果。解析幾何創始人笛卡兒出身于法國貴族家庭，父親是政府雇員；牛頓出身在英國農民家庭，還是遺腹子，全靠自己努力取得成功；概率論奠基者拉普拉斯的父母是法國農民；費馬則是法國皮革商的兒子。我國古代數學家劉徽、楊輝、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光啟、李善蘭，他們家族中沒有一人是數學家，他們的數學素養全靠后天養成。更何況數學新課程的培養目標不是數學家，數學教育的目的在于提高學生的數學素養，“獲得適應未來社會生活和繼續學習所必需的數學基本知識和技能”，會“數學地”思考問題。

形成數感不是一蹴而就的事，需要一定數量和足夠時間的學習，在適宜的重復性訓練后便自然形成數感。數感與記憶的程度有關，如果對數的記憶程度越深，對數的感覺和反應就越靈敏。中國自古以來就有“熟能生巧”的說法，就是這個道理。實踐證明，絕大多數學生通過努力是可以建立起數感的。

誤區之二：數感不就是會數數、會計算嗎

這是一種片面的理解。所謂數感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度與意識，它是建立在對事物數量關系的直觀感知之上的。會數數、會計算只是最低層次的數感，理解數的意義，知曉現實事物與數目可以建立一一對應關系，可以完成日常生活所必需的計算，這只能算是被動的“數感”，剛剛摘了“數盲”的帽子，這是第一層次的數感。

第二層次的數感已經超越了“結繩記事”階段，不再滿足于具體數字計算，而是進一步用數學的觀點來思考和處理問題，能為解決問題選擇適當的算法，具有策略性知識。在課堂教學中集中表現為：對數學知識充分領悟，對思維訓練快速反應，對個性教養的深刻感受。在數學活動中，學生總是自發或自覺地運用已有的認知結構中有關模塊，對數學情境能迅速反應、準確把握、思路敏捷、解答簡縮，能自然地運用最優化的解題策略。在日常生活中，他們勤于數學觀察和數學思考，善于從數學角度發現問題。

數學教育主要是培養這一層次的數感，使學生養成從數學角度看世界。當他們遇到可能與數學有關的具體問題時，就能自然地、有意識地與數學聯系起來，或者試圖進一步用數學的觀點和方法來處理解決，會“數學地”觀察與思考。我們沒有必要，也不可能讓人人都成為數學家，但應當使每一個人都具有數感，會“數學地”思考問題。數學素養作為素養之一，不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的，而學生學會數學地思考問題，用數學的方法理解和解決實際問題，能從現實的情境中看出數學問題，這才是數學素養的重要標志，所以說，數感是人的一種基本的數學素養。

第三層次數感已進入到“自由”階段，這是一種數學的至高境界，完全脫離現實世界，進入到虛無抽象的數學世界，憑借對數學美的直覺，孜孜以求。在歐拉最后17年生命中，他已雙目失明，但并不妨礙他對數學世界敏銳的洞察力，“歐拉計算毫不費力，就像人的呼吸，或如老鷹在空中翱翔一樣自如”，支撐他的就是這種高層次的數感；陳景潤當年身居斗室卻心系“明珠”，為攻克“歌德巴赫猜想”忘我工作，幾近癡迷，應是此種境界。王維的千古名句“大漠孤煙直，長河落日圓”在數學家眼里卻是平面上的一條垂線，一條直線上外切著一個圓。

誤區之三：數感的培養必須通過數學情境

通過創設情境激發學生的數學學習興趣，這是新課改所提倡的，本身無可厚非。問題是有些教師過于追求教學的情境化，為了創設情境可謂是“冥思苦想”，好像數學課脫離了情境，就不是新課改數學課。為了培養數感，今天是去商店“買東西”，明天到旅游點“買門票”，后天又是計算“存款利息”，剛開始的新鮮勁一過，學生們漸漸習以為常，情境也就失去了新異性，根本不能激起他們的興趣，那么，學生數感的培養也就無從談起。教學中，不要單純地用“生活化”“活動化”沖淡“數學味”，不能把數學課上成活動課、游戲課。更不能為了貼近生活，常常“挖空心思”編造一些題目來幫助學生建立數感。

三、培養學生數感的有效教學策略

良好的數感是學生今后進一步學習數學和生活的基礎，因此教師要切實認識到數感的重要性，有計劃有意識地將數感的培養納入自己的日常教學之中。

1. 遵循學生的年齡特征和認知規律培養學生的數感

20以內、百以內的數可以讓學生數一數，如數小棒、數小方塊，但是1000的認識，你讓孩子數1000，10000的認識以及后面要學習的的幾萬、幾十萬、幾百萬，整萬數的認識，這種數實物的方法已不適宜了。因此，要根據數的大小關系以及學生的年齡特征靈活采取不同的方法，可以是實物數數，構建數感，也可以是數形結合，發展數感。而“數形結合、發展數感”實踐的是一種數量間的相對大小關系。在這里重點是構建一種估計的方法，建立一個估量的標準（參照物）。例如，教學情境的創設，要符合不同年齡段學生的心理特點和認知規律，要根據不同的教學內容有所變化，創設的情境還應該賦予一定的時代氣息。情境的表現形式應該是多種多樣的，如問題情境、活動情境、故事情境、競爭情境等。對于低年級、中年級的學生，可以通過講故事、做實驗、模擬表演、直觀演示等形式創設情境；而對于高年級學生，則要側重創設有助于學生自主學習、合作交流的問題情境，用數學本身的魅力去吸引學生。

2. 在適度“數境”中培養學生數感

在數學悟境（以下簡稱“數境”）中培養學生數感，就是說要將數感的培養置于適度的數境中。語境、語感、數境、數感，數境可以從兩方面來理解，第一個是數的應用環境，而不是直接的認識數，而是置于一定的生活情境中，第二個語文老師都非常清楚，字詞的認識肯定是要放于句子中的，那么我們數的認識，肯定放在一個數的范圍中，比如教學《萬以內數的認識》，就先出示1000到10000，讓學生讀一讀、看一看，談一談有什么感覺，就是在整體感知以后再去認識某一個數，所以這就是我們對數境的理解，其實數感的培養置于數境中能夠更好地讓學生對數有一種感覺。

3. 在數的認識實踐中培養學生數感

讀數同樣能夠讓孩子讀出一種數的感覺，這應該是我們在數的教學過程中可以去追求的一個方向。

新《數學課程標準》中指出：“在第一學段的教學中，要引導學生聯系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數的意義，體會數用來表示和交流的作用，初步建立數感。”數感不是通過傳授而能得到培養的，更重要的是讓學生自己去感知、發現，知道在學習生活中處處有數的存在，很多問題需要用數學的思想和方法去解決，從而學習用數來概括、表達自己對事物的認識，在此過程中培養學生數感。能把數的概念與它們所表示的實際含義建立起聯系，是理解數的標志，也是建立數感的表現。因此在“數的認識”的教學中，教師要充分利用學生身邊的數學素材，努力喚醒學生已有的生活經驗，并向兒童展示數的概念的現實來源和實際應用，以幫助學生把握數概念的實質，真正理解數的意義，建立良好的數感。例如教學克、千克的認識時，讓學生尋找并掂量1克與1千克的物體，尋找哪些物體分別用“克”“千克”作單位。像一分硬幣重1克，4粒黃豆大約重1克，兩袋鹽重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、藥片、黃金等細小物品用“克”作單位，體重、菜、水果等用“千克”作單位；在教學長度單位時，可通過讓學生到操場上跑跑、測測、量量，讓學生感受50米、100米、500米的距離……這些數據、單位都來自于生活實際，學生很容易理解、接受，它不僅可以培養學生“親近數學”的行為，而且可以提高學生對數的敏銳程度，形成對數的良好直覺，建立數感。

數感是一種內隱的、非結構的程序性知識，他不是與生俱來的，數感的形成也不是一蹴而就的，而是在學習過程中逐步體驗和建立起來的，需要長時間潛移默化的滲透和培養。作為教師，要努力鉆研新教材，結合有關內容，尋找各種著眼點，用多種方法加強培養學生的數感，在實際教學過程中需要結合具體的教學內容有意識設計具體目標，提供有助于培養學生數感的情境、有利于發展學生數感的評價方式，以促進學生數感的建立和數學素養的提高。

（作者單位：湖南省長沙市開福區第一小學）