一類無界非雙曲域上的廣義Cartan定理

金帥

摘 要：我們考慮一類無界非雙曲域即Fock-Bergmann-Hartogs型域，中的Fock-Bergmann-Hartogs型域通過如下定義：，這里。如果兩個維數相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域的雙全純映射保持原點，那么這個雙全純映射則是線性的。

關鍵詞：Fock-Bergmann-Hartogs型域 Cartan定理 雙全純映射

設Ω是中的有界域，并記Aut（Ω）為將Ω映到Ω的雙全純映射的全體構成的集合。顯然，Aut（Ω）中的變換在映射的復合運算下構成一個群，Aut（Ω）稱為Ω的全純自同構群。對于≥2）中的一個域來說，準確描述其全純自同構群不是一件容易的事。對于有界域的情形，它的全純自同構群在文獻[1～3]中給出。我們現在考慮一種無界域的情形，Fock-Bergmann-Hartogs型域[4]通過如下定義：，這里。是中的無界強擬凸域，并且包含，從而在Kobayashi意義下是非雙曲的，這樣就不能雙全純映射到的一個有界域。

定理1 （Cartan定理）：設D是中一個包含原點的有界圓形域，且，則是線性的。

對于無界圓形域的情形，我們只需要驗證滿足兩個條件即可。

設D是中的一個包含原點的圓形域（不必有界），它的Bergman核記為，如果滿足下面兩個條件，則無界圓形域的Cartan定理也是成立的。

（i）；（ii）是正定的。

其中是一個Hermitian矩陣，定義如下

定理2 （Cartan定理[5]）：設D是中一個包含原點的無界圓形域，且，并且滿足條件（i）和（ii），則是線性的。

這篇文章的主要目的是證明兩個維數相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域之間的雙全純映射，如果保持原點，那么這個映射也是線性的。

定理3：設和是兩個維數相等的Fock-Bergmann -Hartogs型域，是和的一個雙全純映射且，則是線性的。

1 引理

這一部分的主要目的是通過的Bergman核的具體表達形式來驗證條件（i）和（ii）。

（1）多項式對數函數的Bergman核的具體表達形式通過多項式對數函數具體表示出來，我們在此引入這個函數。

回憶下對數函數有下列冪級數展式：

通過對右式做一個自然的推廣，我們來定義多項式對數函數：

關于很重要的一個事實就是當s是一個負整數的時候，就是一個關于t的有理函數。事實上通過驗證和就可以得到：

（1）

其中表示第二類Stirling數。

（2）

這里 （3）

引理1[5]：的所有系數都是正的。

（2）Bergman核。

的Bergman核的具體表達形式在文獻[4]中計算出來：

現在我們來驗證條件（i）和（ii）。對于條件（i），只需要檢查。通過公式（2）等價于。由引理1得，的所有系數都是正的，從而我們得到。

接下來，我們驗證條件（ii）。對于條件（ii），我們需要下面的引理。

引理2[5]：（1）的復矩陣在零點處是正定的。

（2）P是一個多項式使得和，則的復矩陣在零點處是半正定的。

結合引理1和引理2，我們就得到是正定的。這樣我們就驗證了Fock-Bergmann-Hartogs型域滿足條件（i）和（ii）。再結合下面的引理3，我們就得到了兩個維數相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域的廣義Cartan定理。

引理3[6]：（k=1，2）是中一個包含原點的有界圓形域（不必有界），是一個雙全純映射且。如果和（k=1，2）是正定的，則是線性的。

2 定理3的證明

證明由引理1和引理2得知，Fock-Bergmann-Hartogs型域滿足條件（i）和（ii）即 是正定的，再結合引理3我們就得到如果是和的一個雙全純映射且滿足，則是線性的。這樣我們就完成了定理3的證明。

參考文獻

[1]Ahn H，Byun J，Park J D.Automorphisms of the Hartogs type domains over classical symmetric domains[J].International Journal of Mathematics，2012，23（9）：125.

[2]Shimizu S.Automorphisms of bounded Reinhardt domains[J].Japanese journal of mathematics.New series，1989， 15（2）：385-414.

[3]Sunada T.Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains[J].Mathematische Annalen，1978，235（2）：111-128.

[4]Yamamori A.The Bergman kernel of the Fock–Bargmann Hartogs domain and the polylogarithm function：An International Journal[J].Complex Variables and Elliptic Equations，2013，58（6）：783-793.

[5]Kim H，Yamamori A.The automorphism group of a certain unbounded non-hyperbolic domain[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014，409（2）：637-642.

[6]Ishi H，Kai C.The representative domain of a homogeneous bounded domain[J].Kyushu Journal of Mathematics，2009，64（1）：35-47.