展示典型失誤，發揮錯例價值
——以“用配方法解一元二次方程”的例題教學為例

☉江蘇昆山市葛江中學周曉秋

展示典型失誤，發揮錯例價值
——以“用配方法解一元二次方程”的例題教學為例

☉江蘇昆山市葛江中學周曉秋

在初中數學教學中，無論是新知的探究，還是舊知的應用，學生在化解問題的過程中出現失誤是不可避免的.為了幫助學生發現錯誤，糾正錯誤，形成規避錯誤的常用策略，在教學中我們應將學生探究中出現的失誤作為學習展示的一個重要內容加以呈現.那么，如何用好這些錯誤資源，發揮其最大的教學價值呢？筆者認為，捕捉典型失誤是起點，剖析這些錯例是關鍵.找尋錯例中的代表性失誤，讓學生對正解與錯例對比辨析是最有效的手段，自主建構出有效的避錯策略是教學的終極目標，只要抓住了典型，沿著正確的路徑，用好正確的方法，錯例的教學意義便會得到應有的發揮.

一、“用配方法解一元二次方程”教學片段

在學生獲得了用配方法解一元二次方程的一般步驟后，課堂進入例題教學環節.教師投影如下例題：

例題用配方法解方程2x2-4x+1=0.

1.學生解答，教師巡視.

學生按要求自主解方程，教師巡視，觀察學生解題，并對非典型錯誤進行即時點評糾正.

2.展示錯例，點評交流.

5分鐘后，教師將從學生解題中找出的有誤解法投影展示，兩位學生的解題過程如下：

解法1：2x2-4x+4-3=0.

（x-2）2-3=0.

（x-2）2=3.

則x1=2+，x2=2-.

解法2：2x2-4x=-1.

2x2-4x+4=-1+4.

以濃度為 0.075wt%、0.225wt%、0.375wt%和0.525wt%的碳酸鈉改性后的鈉化凹凸棒石分別標記為 APT-0.075wt%Na2CO3、APT-0.225wt%Na2CO3、APT-0.375wt%Na2CO3、APT-0.525wt%Na2CO3。

（x-2）2=3.

則x1=2+，x2=2-.

（投影后，停頓1分鐘）

師：這兩種解法對嗎？

生（齊答）：不對！

師：錯在哪兒？請大家認真觀察，找出這兩個同學的解法中的“出錯點”.

生1：解法1中，配方時雖然加上了“一次項系數的一半的平方”，但忽略了加這個數的前提“二次項系數化為1”.

生2：我發現解法2也犯了同樣的錯誤.雖然先進行了移項，但在配方時，并沒有先將二次項系數化為1，雖然給出的步驟十分清晰，但這個錯誤讓接下來的解題失去了價值.

3.規范流程，形成策略.

師：非常棒！兩位同學犯下了相同的錯誤，那么該怎樣做才能不再犯這個錯誤呢？

生3：我認為，用配方法解一元二次方程有著規范的過程，在解題時，我們應按部就班地呈現解題過程，決不能跨步.

師：那就請你來展示一下規范的過程吧！

學生3在黑板上板演規范的解題過程，如下：

圖1

師：你真棒！看來，你不僅發現了錯誤，還從自己所學的知識中捕捉出有用的信息，為大家找到了一條避錯的路徑，非常感謝你！

（學生自發地鼓掌）

4.即時應用，鞏固提升.

師：接下來就請同學們用剛剛的流程來解兩個一元二次方程.

（教師投影兩道解方程題，學生自主解答）

二、片段簡析

學生的數學認知是在犯錯與改錯中螺旋上升的.在教學中，學生出現錯誤是不可避免的，每一個基于數學認知下的錯誤，都是寶貴的教學資源.我們可以通過必要的學習展示，來挖掘出這些“錯誤”資源的教學效能.那么，學習展示該展示怎樣的“錯誤”呢？我認為，應該展示一些共性錯誤，展示一些大家都會犯的錯誤，借助這些典型錯誤的糾錯，為學生建構出能規避錯誤的問題化解策略，讓學生在今后的問題解決中少出錯，甚至不出錯.這則案例就是一個示范.在學生解答結束后，教師立即組織學習展示，讓巡視中發現的“錯誤”立刻生“效”.教者緊扣學生“錯誤”層層追問，通過語言陳述和書面呈現兩種方式放大錯誤的教學功能.判別對錯，找出錯點，分析出錯原因，分享避錯策略，看似簡單的“動作”，串在一起，將錯誤資源的教學價值充分挖掘出來.這樣的學習展示，讓所有參與者在找錯、糾錯中都能感受到數學學習的快樂.

三、感悟

1.搜集生成素材，展示典型失誤.

錯例是學生給出的錯誤案例，是較為重要的教學資源.獲取這些教學資源最主要的方式就是教師巡視過程中的有意搜索.為了獲取教學資源，在學生解答過程中，我們應及時行走在學生中間，從學生給出的解題過程中找尋出大家都易犯的錯誤，為下一步展示交流積累素材.所以，在教學過程中，除了課前預設的教學生成，我們還應將關注的重點放在學生的解題生成上，在關注學生給出的正解的同時，要把學生出現的最多的、最為典型的錯誤挖掘出來，發揮其資源價值，使得學生在接下來的問題解決中少出錯，甚至不出錯，這是我們例題教學應有的態度和必須遵循的規則.以上面的片段為例，在教師給出例題后，學生進入自主解答狀態，此時教師并沒有停留在講臺邊，而是開始在全班巡視.教師在教室內的“轉圈”不是在瞎逛，而是有意識通過對不同學生給出的解法與正確解法間的比對，找出學生的錯誤解法與自己的預估錯誤之間的偏差，形成下一步對話交流的教學素材.

2.重視展示對比，注重失誤歸納.

典型失誤之所以典型，是因為學生出現得多.所以，從數量上看，我們應展示多位同學的相同錯誤，使其產生較為明顯的對比效應.教學過程中，我們應力求通過基于錯例的對比剖析，使學生發現錯例中的共性特征，讓學生認同.在呈現這些具有共性特征的失誤后，我們還應引導學生做好及時的歸納總結，使這一特征明顯顯現，為下面的避錯策略的建構做好鋪墊.用配方法解一元二次方程，學生會出現的錯誤有很多，其中“忽略配方前二次項系數為1”大家最常犯.如果在新授課上不及時歸納總結，這樣的錯誤將會伴隨著學生接下來的很多解一元二次方程的問題，為了化解這一問題，在上面的教學過程中，教師是動了心思的.無論是錯例的挖掘，還是點評交流，都緊扣這一失誤展開，學生通過兩個相似錯誤解題過程的對比，找到錯誤、說出錯誤都是較為容易的.

3.強化正解教學，建構避錯策略.

數學教學，正解的呈現是非常重要的，它是解題的范式，是學生模仿應用的主要對象.因此，在教學中，我們應高度重視正解的教學展示.正解呈現的時機既可以在新知獲得之后，也可以在學生出現典型失誤后對比展示.至于在什么節點上出現，與教學內容和教師的教學機智有很大關系.對于一些并不復雜的新知，我們一般在對學生給出的應用過程糾錯、究錯后將正解進行展示，使其與錯解形成視覺沖突，發揮對比效應，強化正解的價值體驗，推動學生發現自己的解題過程中的不足，并將正確的解題過程與自己的已有解題習慣融合起來.當然，對于一些較為復雜的新知，我們還是建議先給出解題范式，為學生樹立解題榜樣，提供解題臨摹的“參照物”.至于本文中給出的用配方法解一元二次方程，這在初中階段屬于簡單知識，學生根據自己的已有經驗是可以進行簡單應用的.所以，在教學過程中，教師將錯解先于正解呈現分析，待幫助學生找到問題之所在后，再給出正確的解法加以剖析，形成求解的正確流程.我覺得教者這樣做完全符合學生認知發展的規律，在正誤沖突中形成了避錯的策略，正是依托于最后的正解分析，教師的教學起到了“規范解題過程，推動習慣養成”的作用，對學生解題能力的提升是非常重要的.

1.許愛珍.用好錯誤資源提高教學成效［J］.中學數學（下），2014（5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.印冬建.精彩課堂，不容“錯”過［J］.中學數學（下），2013（1）.