數學方法在靜電場中的應用

摘要：靜電場中的最值問題是高考常考查的知識點之一，解決此類問題時，若想到并運用一些特殊的數學解題方法，將會收到意想不到的效果.

關鍵詞：數學方法；靜電場；應用

一、矢量三角形形法

例1. 如圖1所示，在勻強電場中，將質量為 ，帶電量為 的一帶電小球由靜止釋放.如果帶電小球的運動軌跡為一直線，該直線與豎直方向的夾角為 ，那么勻強電場的場強大小是（不計空氣阻力）（ ）

A.唯一值是

B.最大值是

C.最小值是

D.以上說法均不對

分析：帶電小球的運動軌跡為一直線，說明小球受的合力沿速度方向.對小球進行受力分析，除受重力外，還受電場力，由于勻強電場的方向不確定，電場力的大小和方向隨之不確定.根據平行四邊形法則， 確定，以 為對角線，可以做出無數個矢量三角形，只有當 時， 才有最小值，如圖2所示，即 ，所以 .

點評：合力方向及其中一個分力大小和方向確定，計算另一個分力時，處理此類問題的關鍵是明確變量與不變量之間的關系，根據矢量三角形的特點，問題就可迎刃而解.

二、不等式法

例2. 計算在帶等量同種點電荷連線的垂直平分線上的最大場強.

分析：設兩點電荷 、 的帶電量均為 ，相距為 ，在兩點電荷連線中點 處合場強為零.連線的垂直平分線一直延伸到無窮遠處，一般情況下規定無窮遠處場強為零.從 點沿中垂線至無窮遠處，場強的變化應為從零先增大后又減小至零，故必存在一個最大值.

解析：設在該中垂線上任意一點 處，存在場強最大值，如圖3所示，設 則 、 兩點電荷在 處產生的場強大小均為 .根據電場的疊加原理 .令 （ >0），等式兩邊平方得 ，因為 >0， >0，根據均值不等式 ，即 .當且僅當 ，解得 ， .故 .

點評：該題考查了場強的疊加原理，解此類問題的關鍵是利用數學知識中的不等式就可以解決.

三、求導法

例3.分析沿等量同種點電荷連線的垂直平分線上的場強變化.（見圖3所示）

解析：設兩點電荷 、 的帶電量均為 ，相距為 ， 為 .設 處的合場強為 ，

.對 求導數， ，令 ，得 .所以 為場強的極大值點.因此，沿等量同種點電荷連線的垂直平分線上的場強變化為由 點到兩側 處有極大值，在 點和無窮遠處場強為零.

點評：利用導數求解物理量的最值問題，方法簡便，物理意義也比較明確.

四、臨界值法

例4. 一束電子流在經 的加速電壓加速后，在距兩極板等距離處垂直進入平行板間的勻強電場，如圖4所示，若兩板間距 板長 .那么，要使電子能從平行板間飛出，兩個極板上最高能加多大電壓？

分析：電子進入兩種不同的電場，即加速電場和偏轉電場.在加速電壓一定時，偏轉電壓 越大，電子在極板間的偏距越大.當偏轉電壓增大到使電子剛好擦著極板的邊緣飛出，此時的偏轉電壓即為最大電壓.

解析：電子在加速電場，由動能定理得 ；電子進入偏轉電場，電子恰能從平行板邊緣飛出時，偏距 ，即 .代入數值得 .

點評：帶電粒子恰能飛出極板和恰能不飛出極板，對應著同一臨界狀態-----“擦邊球”，所以找準臨界值是解題的關鍵.

參考文獻：

[1] 李長明.初等數學研究[M] .北京：高等教育出版社，2009.58

作者簡介：蘇顏璞（1977-），男，甘肅靖遠人，本科，中學一級教師，現從事高二物理教學研究.