不困于“形” 著力于“理”
——《除數是一位數的除法》典型錯例分析與教學對策探究

萬林峰

在整數加、減、乘、除四種筆算方式中，最讓學生糾結的非筆算除法莫數了。筆算除法是四種運算方式里的“集大成者”，在運算過程中除了除法，還涉及到加法、減法和乘法。

人教版三年級下冊的《除數是一位數的除法》是學生筆算除法的起點。那么，學生在開始學習多位數筆算除法時的難點在哪里？錯誤的原因是什么？教學中如何“對癥下藥”？下面筆者擬通過對學生在學習過程中出現的典型性錯誤進行分析與思考，探索一些課堂教學策略的改進方式，供一線教師參考。

一、典型錯例研讀

1.錯誤類型。

筆者根據學生筆算除法時出現錯誤的點，把典型錯例分成了以下四大類：

A.積的問題（如A1、A2所示）

B.商的問題（如B1、B2所示）

C.余數的問題（如 C1、C2、C3所示）

D.綜合型（如 D1、D2所示）

2.錯因解讀。

筆者發現，學生在筆算除法豎式中出現的典型性錯誤大部分都是兩位數除一位數的筆算除法。具體地說：

A1的結果是正確的，但是由于學生不明白除法豎式中每一步的意義和作用，導致了只有形式、沒有任何意義的豎式的產生；A2則是錯在用商除以除數，再將得出的商錯寫在了積的位置上。

B1的錯誤是因學生搞不清楚除法豎式中各個數的位置，而把商寫在了積的位置上；B2的錯誤是先算個位，原因是學生受到以前做“加、減、乘”的運算順序從個位算起的負遷移太嚴重，一時改正不過來。

C1是忘了把十位上的“1”移下來，原因是受到商的十位為“0”的干擾；C2沒有把“0”移下來，而是將個位的“5”移到了十位，說明學生對除法豎式中各個數的位置不夠敏感。C3的計算結果雖正確，但是在移的過程中把“1”寫成了“0”，說明學生計算時結果與過程是“兩條路線”的。

D1除了有類型A的錯誤，還錯在用被除數的個位乘除數，其原因為計算方式綜合后引起了學生的思維混亂。D2綜合了類型A、C的錯誤。

綜上所述，學生在學習筆算除法初期往往被繁雜的“形”所困，糾結每一步用“加、減、乘、除”哪一個，糾結每次的結果寫在哪里。究其原因，筆者認為是教師在教學過程中沒有把教學重點定位于對筆算除法每一步計算的“理”的探究。因此，我們的教學改進策略就要著力于讓學生明白計算過程中每一步的“理”。

二、教學對策探究

1.控進度，留空間。

筆算除法是四種筆算方式中的“集大成者”，涉及的知識涵蓋了三年級學生在筆算方面所學的所有知識。如果學生在某個知識中存在問題，那么這些問題在筆算除法的學習中就會被無限放大，從而遇到困難。因此，為保證所有的學生都能跟上學習進度，建議教師適度放慢新授課的腳步。正所謂：徐行之，尚開也；速進，則闔！

控進度，不僅要控制整個單元的進度，還要把握每次新授課教學的節奏，教師既不能以為學生對某些知識理解起來不難而“趕路”，也不能怕缺少練習時間而加快新授的腳步，要盡力做到讓每位學生在“明理”的基礎上去“研法”，而不是讓學生一味模仿例題去擺豎式。

在人教版教學光盤里，把《筆算除法》中“被除數是兩位數”的例1“首位能除盡”和例2“首位不能除盡”編排成了一課時，又把“被除數是三位數”的例3“首位能除盡”和“首位不能除盡，驗算”也編排成了一課時。筆者在具體的教學過程中發現，《除數是一位數的除法》的起始課，如果在課堂教學中讓每個學生充分說理，弄清楚除法豎式中每個步驟的意義和作用，一個例題的教學就要花費將近一課時。因此，建議教師不能只跟著配套課件的腳步“趕路”，而是要依照實際情況，照顧每一位學生，一個例題一個例題地教，扎扎實實地前進。

2.探本質，明算理。

“兩位數除一位數的筆算除法”是多位數筆算除法的起始課，教師切不可在這么重要的課中以學生會模仿例題擺豎式為教學目標。應先讓學生根據題意分小棒，再結合課件邊演示小棒分法，邊讓學生理解每一步表示的意義和作用。筆者在改進后的教學過程中是這樣操作的：

（準備兩堆小棒，都是42根，一堆是沒捆好的，一堆是10根一捆捆好的）

師：這里有兩堆各42根的小棒，如果要把這兩堆小棒都平均分成2份，你會選擇哪一堆？為什么？

生：我選擇捆好的那一堆，因為分起來簡單。

師：為什么這一堆分起來簡單？

生：因為它只要分成2捆2捆就好了，而另一堆要一根根數，很麻煩。

師：這捆好的4捆小棒相當于哪一位上的數？

生：捆好的4捆小棒相當于十位上的“4”。

師：還有2根小棒呢？

生：相當于個位上的“2”。

（通過判斷哪堆小棒更易分，讓學生明白隨意地分不如先把小棒10根一捆地捆好再分，詢問學生小棒與數位的關系，其目的也是讓學生數形結合，以便更加生動、形象地理解筆算時每一步的意義）

師：剛才同學們通過動手分一分，把42根小棒平均分成了2份，每份是21根，又通過口算得出結果也是21。那么，如何用筆算的方式解決這個問題呢？請看大屏幕！（課件演示：邊結合小棒的分法，邊介紹筆算的方法)

師：（課件演示完畢）看明白了嗎？

生：明白了！

師：那考考你們，商的十位上為什么寫“2”？

生：因為4除以2商是2。

師：這個“2”表示“2 個幾”？

生：這個“2”表示“2 個十”！

師：為什么是“2 個十”，不是“2 個一”？

生：因為它在十位上，所以表示“2個十”！

師：那為什么要把這個“2”寫在十位上？

生：因為它是十位上的4除以2得到的商。

師：（追問）為什么十位上的4除以2得到的商要寫在十位上啊？

生：因為十位上的4表示4個十，4個十除以2結果是2個十，2個十的2當然要寫在十位上！（掌聲）

師：也就是說，這個“2”表示“40里有 2個20”，對嗎？

生：是的。

師：那為什么會有上下兩個“4”？下面的那個“4”表示什么？是哪里來的？

生：下面的“4”是 2 乘 2 等于 4 的“4”。

師：你能指著大屏幕說一說是指哪4捆小棒嗎？（一學生上臺指著大屏幕中間被分成兩份的4捆小棒，其他學生鼓掌表示同意）

師：不錯，這個4就是“分掉4個十”。

師：那最下面的兩個“2”表示的是同樣的意思嗎？它們又都是怎么來的？

生：上面的“2”是移下來的，表示還剩下2根小棒。

師：也就是說表示還剩“2個一”。

生：下面的“2”是1乘2等于2，是個積。

師：這個積和剛才那個積有什么相同點嗎？（指著下面的“4”）

生：都表示分掉的小棒！（掌聲）

師：那這個“0”表示什么？

生：表示2減2等于0。

師：（追問）那2減2等于0又表示什么呢？

生：表示沒有剩下，全部分完了！（掌聲）

師：是不是每次分東西都能分完？

生：不是，有時候會有多余的。

師：也就是說有時候這里是“0”，有時候……

生：是其他數。

為了讓學生在第一次接觸筆算除法時就牢固掌握筆算除法每一步的含義和作用，筆者通過同桌互相提問的方式讓學生進行鞏固。

由于學生對“兩位數除一位數的口算”比較熟悉，在筆算時容易出現先口算寫出答案，再模仿例題寫豎式的問題，且不利于之后“三位數除一位數的筆算除法”的學習。所以在這節課的教學中，教師切不能以結果正確為目標，一定要讓學生明白每一步的意義和作用。

3.用實例，析錯例。

教材在每次練習時總會編排一些錯例讓學生辨析并訂正。但由于一方面教材每次的呈現形式如出一轍、過于單調乏味，另一方面，錯例原因無非是商欠大、余數沒寫、商漏寫等常碰到的情況，所以學生對這樣的“課例”并不感冒，在尋找錯誤的時候興致也不高。

筆者利用手機，在學生進行計算時即刻抓拍出現的典型錯例，并利用實物投影儀，當堂呈現學生的錯誤。這樣教學，一方面避免了出錯同學被點名后的尷尬，另一方面，學生因想知道“敗筆”的來源也提高了對糾錯的興趣。

在此基礎上，筆者將學生的典型錯例集中處理后設計了一堂錯例辨析課，雖然有時手機拍攝的效果并不好，甚至有些圖片上的字歪歪扭扭、不夠工整，不過，這樣的圖片反而激發了學生的觀察興趣，使學生感到非常親切。

4.明順序，清算法。

筆算除法看似繁雜，其實是非常有規律和節奏感的。因此，我們有必要和學生一起對筆算除法的算法和順序進行小結。

教材在小結算法時是這樣的呈現的：

小組討論：怎樣計算除數是一位數的除法？

教材里的小結雖然分成了3小點，但加上答案有七、八十字，而且由于句式繁雜、繞口，讓理解能力稍弱的學生把這三點理解透徹并記住實在不是一件容易的事情。因此，教師有必要對筆算除法的計算順序進行一下補充性小結，如下圖所示：

上圖指明了筆算除法的一般順序（先除，寫好商；接著乘，寫好積；再減，寫好差；最后移下來；如果前面有余數就和余數加起來再重復剛才的步驟）。當然，此圖只是對前面一段文字的簡化與補充，并不能代替，但肯定可以讓學生做起筆算除法來更有節奏感和韻律感。

（本文作者系朱樂平數學名師工作站“一課研究”組成員）