合理選材無痕對接
——《平方數的相差關系》教學實踐與思考

張翼文（特級教師）

【適合年級】

六年級

【教學目標】

學生能通過合適的學習材料進行自主地分析、比較、概括等活動，讓學生發現平方數的相差關系存在的一般性規律；通過看看、畫畫、想想、說說等活動，自主有效地建構平方差公式，并且運用規律解決相關數學問題。

【教學重點、難點】

掌握并運用平方差公式解決相關的數學問題；自主探索，發現平方數的相差關系存在的一般性規律。

【教學過程】

一、復習引入，激發參與

1.舊知回顧，引入學習。

師：32、42、52、62、72、352、652你認識這些數嗎？

師：你能說說，它們分別表示什么意思？怎么讀呢？

生：32表示 3×3，讀作 3 的平方。

……

師：我們把這些數叫做“平方數”。在兩個平方數之間添加一個減號，如“42-32”，這兩個平方數就建立了相差關系。

師：請大家回憶一下，以前學習哪個知識時，是兩個完全相同的數相乘的？

生：邊長×邊長=正方形面積。

2.揭示課題，明確方向。

師：今天我們就一起來研究“平方數的相差關系”。

【設計意圖：簡單的回顧環節，其目的之一是讓學生的學習有一個預熱的過程；其次是課的開始起點低些，利于學生高效參與；同時，也能促進學生學習進入溫故而知新的狀態。】

二、新知探索，自主建構

1.初步感知平方數的相差關系。

師：下圖中小正方形的面積為1個面積單位的話，你能從格子圖中找到42與32分別在哪里嗎？

師：你們能找到42與32的相差部分嗎？并把它涂上陰影。

師：如果再給幾組有相差關系的平方數，讓你研究他們之間相差關系存在什么規律，你們可以完成嗎？

【設計意圖：學習的過程是一個由淺入深、循序漸進的過程，此環節借助格子圖來直觀感知平方數及其相差部分，目的在于讓抽象的數能與直觀的圖初步建立聯系，為后面深入進行有效探索做好鋪墊。】

2.深入探究平方數的相差關系。

（1）問題驅動，自主探索平方數的相差關系。

（在黑板上依次寫出幾組具有相差關系的平方數52-32、72-42、652-352，并出示活動要求）

活動要求：

①選擇1～2個算式，在對應的格子圖中表示出兩個平方數相差的關系，并用陰影涂出這兩個平方數相差的部分。

②根據“等積變形”規律，通過割、移、補等方法把兩個平方數相差部分轉化為規則圖形（用示意圖表示出來），并用一個算式表示出它的大小。

③完成后，請你把完成的過程跟同桌說一說。

（2）匯報交流，依次呈現探索的成果。

生:42-32=7×1。

生:52-32=8×2。

生：72-42=11×3。

師：大家選擇了以上幾組相差關系的平方數，并順利地完成其要求，為什么沒有同學選擇“652-352”呢？

生：因為前面都有相應的格子圖，這個沒有，所以很難完成就沒有選擇它。

師：如果給你一個沒有格子圖的方形圖，你能表示出“652-352”之間的關系嗎？

（安靜了會，大部分學生舉手示意可以辦到）

（請學生直接到媒體上演示并講解）

生：652-352=100×30。

【設計意圖：這是本節課的重要環節，學生根據活動要求，進行自主選擇探索，在活動中能主動借助于格子圖（形）來直觀說明平方數相差部分，并能用式（數）來表示相差部分的大小，讓數與形有機結合。同時，在匯報交流中，要求學生用完整的語言表達自己選擇與探索的過程及結果，促進學生進行深度學習，以此提升思維品質。】

3.自主感悟平方數的相差關系的規律。

（1）呈現成果，幫助提供豐富的感觀信息。

師：為了讓大家看得明白些，老師也做了準備，黑板上是剛才同學們的作品。

【設計意圖：學生的學習從感性到理性、從具體到抽象、從特殊到一般，是需要多維信息提供支撐的。本環節中把學生研究的成果予以統一呈現，讓學生能再次直觀感知相對豐富的信息，接著為后面抽象、概括出平方數的相差關系的內在規律性提供更充足、可靠、有形的感性材料。】

（2）引導觀察，自主發現平方數相差關系的一般性規律。

師：仔細觀察以上等式左右的數據，你有什么發現？跟同桌同學說一說。

生：我發現“42-32=7×1”中等式右邊的7就是等式左邊4與3的和，等式右邊的1就是等式左邊4與3的差。

生：我發現“52-32=8×2”中等式右邊的8就是等式左邊5與3的和，等式右邊的2就是等式左邊5與3的差。

……

【設計意圖：學生數學素養提升不是一蹴而就的，它需要教師在平時的課堂活動環節中有心地慢慢滲透。此環節讓學生在幾組不同的學習活動的成果材料中去求相同之處（即異中求同），這是數學學習中促進學生思維品質與數學素養提升的重要數學活動之一。】

（3）對應求聯，讓數形有機結合。

師：大家發現了等式左右兩邊式子中數之間的內在聯系及其規律性，那你能分別結合圖來說一說，如42-32=7×1=（4+3）（4-3）中的“（4+3）（4-3）”分別在圖中的哪里？

（52-32、72-42、652-352學生表述略）

【設計意圖：教學行進過程中如何夯實與細化目標是促進數學課堂高效的關鍵。至此平方數相差關系的一般性規律已經發現，那么如何讓學生把發現的抽象規律（數）與具體格子方形圖（形）再次進行無痕對接呢？就需要有一個這樣“回流”過程，讓課堂教學趨向更扎實、有效。】

（4）順勢概括，抽象出平方數相差關系的一般性規律。

師：大正方形的邊長可以用字母a表示，小正方形可以用字母b。因此，我們可以把發現的規律用一般形式表示出來。

生：42-32=7×1=（4+3）（4-3）。

生：52-32=8×2=（5+3）（5-3）。

生：72-42=11 ×3=（7+4）（7-4）。

生 ：652-352=100×30=（65+35）（65-35）。

……

生：a2-b2=(a+b)(a-b)。

【設計意圖：抽象過程也正是學生活動經驗積累水到渠成的過程，這個環節讓學生抽象出平方數的相差關系的內在規律性（即平方差公式），主要是讓學生的思維從特殊到一般的過程，學生經歷了一次完整的數學歸納過程，以此促進學生思維走向深刻。】

三、運用規律，解決問題

1.20162-20142。

2.廣場內有一塊邊長為2a米的正方形草坪，統一規劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長3米，改造后的長方形草坪的面積是多少？

3.12-22+32-42+…+92-102+112。

【設計意圖：練習設計應該體現一定的層次性和靈活性。目的之一是夯實學生的基礎，基礎知識和基本技能是學生發展的根本，教學中不能輕易淡化；另一方面讓學生的思維走向靈活，著眼學生的可持續發展。】

【教學后思考】

選擇合適的有形學習素材是數學學習中循序漸近地點化學生潛在思維水平的一個關鍵。換言之，兒童的無形數學思維（意識形態）是需要有形學習材料（視覺感觀）作為載體的，在有形刺激與無形頓悟中去完成數學的外在與內隱活動。

1.提供可“觀察”信息。

學生要進行內隱性的數學思維活動，需要一些有形的數學信息作為支持。以上教學中，先依次在黑板上寫出幾組具有相差關系的平方數52-32、72-42、652-352，并出示活動要求，進行自主選擇探索，在活動中能主動借助于格子圖（形）來直觀說明平方數相差部分，并能用式（數）來表示相差部分的大小，讓數與形有機結合。學生展示與交流作品的過程就是人人獲取思維有形信息材料的過程。同時，在匯報交流中，不但展示自己的作品，而且要求學生用完整的語言表達自己選擇與探索的過程及結果，促進學生進行深度學習，以此提升思維品質。接著，教師又把學生的作品進行一次完成梳理展現在黑板上，讓學生進一步完整地獲取內隱性數學活動所需要觀察的必要支撐信息。

2.創設可“比較”材料。

學生思維水平節節攀升是需要有效信息作為比較載體的。以上教學活動中，其中教師一一呈現自主探索活動成果，幫助提供豐富的感觀信息，讓學生能再次獲取直觀感知相對充足的可視信息，接著為后面抽象、概括出平方數的相差關系的內在規律性提供更充足、可靠、有形的感性材料，也就是為內隱性的數學活動走向深刻提供可以比較的材料。

3.完善可“概括”條件。

有效概括需要建立在充分的數學活動基礎上。如以上教學活動中，為促進學生能進行有效地概括，環節中自主感悟平方數的相差關系的規律分為“四步曲”。即呈現成果，幫助提供豐富的感觀信息；引導觀察，自主發現平方數相差關系的一般性規律；對應求聯，讓數形有機結合；順勢概括，抽象出平方數相差關系的一般性規律。學生數學思維提升不是一蹴而就的，它需要教師在平時的課堂活動環節中有心地慢慢滲透。此環節讓學生在幾組不同的學習活動成果材料中去求相同之處（即異中求同），這是數學學習中促進學生思維品質與數學素養提升的重要數學活動之一。

4.把握可“抽象”時機。

抽象是數學學習活動的最高階段，它的過程正是學生活動經驗積累水到渠成的過程。以上教學活動中在“順勢抽象”一般性規律之前，讓學生深入經歷——抽象前的“信息感知、自主觀察、對應求聯”“三部曲”，可以說經歷數學抽象“前奏三部曲”后就是抽象時機了。因此，最后順勢讓學生抽象出平方數相差關系的內在一般規律性（即平方差公式），學生的思維從特殊到一般，經歷了一次完整的數學歸納過程，促進學生思維走向深刻。