函數的性質 導參的法寶

函數的性質 導參的法寶

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

函數問題中求參數的值或參數范圍在高考試題中經常出現,也是同學們學習的難點,解這類題時常常用導數的幾何意義、函數的奇偶性、函數的單調性、函數的極值、函數圖像的對稱性、函數的零點導出參數的值或范圍。

一、用導數的幾何意義“導”參數

(2 0 1 6年高考新課標Ⅱ卷理數)若直線y=k x+b是曲線y=l nx+2的切線,也是曲線y=l n(x+1)的切線,則實數b =_____。

設直線y=k x+b與函數y=l nx+2的圖像相切于點P1(x1,y1),與函數y=l n(x+1)的圖像相切于點P2(x2,y2),故

又y1=l nx1+2,y2=l n(x2+1),所以

設直線y=k x+b與函數y=l nx+2的圖像相切于點P1(x1,y1),與函數y=l n(x+1)的圖像相切于點P2(x2,y2)。

故y1=l nx1+2,y2=l n(x2+1)。

因為點P1(x1,y1)在切線y=k x+b上,所以

由P2(x2,y2)在切線上得y-l n(x2+1),這兩條直線表示同一條直線,故：

所以b=l nx1+2-1=1-l n2。

點評：解法1是分別求出兩個函數的導數,設出兩個切點的坐標,利用導數得到兩個切點之間的關系,進而求出切線斜率,求出b的值。解法2是分別求出兩個函數的導數,設出兩個切點的坐標,由點P1、P2都在切線上,得出關于x1、x2的方程組,解出x1,求得k的值,從而求出b的值。

二、用函數的奇偶性“導”參數

設a∈R,函數f(x)=ex-ae-x的導函數為f'(x),且f'(x)是奇函數,則a=( )。

A.0 B.1 C.2 D.-1

解法1：因為f(x)=ex-ae-x,所以f'(x)=ex+ae-x。由于f'(x)是奇函數,所以ex+ae-x+e-x+aex=0恒成立,即(a+ 1)(ex+e-x)=0恒成立。

解得a=-1,故選D。

解法2：因為f(x)=ex-ae-x(x∈R),所以f'(x)=ex+ae-x(x∈R)。

由于f'(x)是奇函數,故f'(0)=0,解得e0+ae-0=0。

解得a=-1,故選D。

點評：由于f'(x)是奇函數,可利用f'(x)+f'(-x)=0求參數a的值。若奇函數f(x)的定義域包含0,則f(0)=0。

三、用函數的單調性“導”參數

(河南鄭州一中2 0 1 6屆高三文科考前沖刺)已知函數∈R,在區間[0,1]上單調遞增,則實數a的取值范圍是______。

由f'x()＞0解得e2x＞a,即x＞此時函數單調遞增;

由f'x()＜0解得e2x＜a,即x＜此時函數單調遞減。

綜上,實數a的取值范圍是-1,1[]。

點評：若函數在已知區域單調,求參數的范圍,常常轉化為導數恒成立問題來求解。求函數的導數,利用函數的單調性和導數之間的關系進行求解,注意要對a進行討論,把a分為a＞0,a=0,a＜0三種情形,當a＞0時,注意所求函數的單調區間與所給區間之間的關系,當a＜0時,注意函數值的符號。

四、用函數的極值“導”參數

(陜西省黃陵中學2 0 1 6屆高三模擬)若函數f x()=xl nx-a x2有兩個極值點,則實數a的取值范圍是( )。

C.(1,2) D.(2,e)

解析：由題意得f'x()=l nx+1-2a x =0有兩個不相等的實數根,故f″x()=必有解,則a＞0,并且0。解得選A。

點評：已知極值求參數,若函數f(x)在點(x0,y0)處取得極值,則f'(x0)=0,且在該點左、右兩側的導數值符號相反。使f'(x) =0的點未必是極值點,但是可導函數的極值點處的導數必為0。

五、用函數的對稱性“導”參數

設f(x)=2x3+a x2+b x+1的導數為f'(x),若函數f'(x)的圖像關于直線x=稱,且f'(1)=0,求實數a、b的值。

解析：依題意得f'(x)=6x2+2a x+b。又函數f'(x)的圖像關于直線x=1對稱, 2所以,解得a=-3。

由f'(1)=0,得b=0。

點評：三次函數的導函數恰為二次函數,利用二次函數a x2+b x+c=0(a≠0)的對稱軸為可求解。

練一練：

(2 0 1 6年高考新課標Ⅰ卷改編)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點,則實數a的取值范圍是_____。

參考答案：(0,+∞)。

(責任編輯 徐利杰)