基于Logistic模型的均值突變時(shí)間序列臨界預(yù)警研究

【摘要】突變理論由托姆在1972年創(chuàng)立，是系統(tǒng)在不同穩(wěn)定狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變，廣泛存在于在氣候變化、傳染病暴發(fā)等復(fù)雜非線性系統(tǒng)中，通過系統(tǒng)的控制參數(shù)、狀態(tài)變量進(jìn)行描述。本文首先分析了構(gòu)造和臨界分析，然后分析了模型的可行性，最后分析了了模型的突變及其臨界行為。

【關(guān)鍵詞】Logistic模型 均值突變時(shí)間 臨界預(yù)警

【中圖分類號】O241.8 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）34-0236-02

1.構(gòu)造與臨界分析

Logistic模型又稱為蟲口模型，是一種基于有限資源下，蟲口向一個(gè)有限數(shù)量的非線性進(jìn)行擴(kuò)展的過程，其方程可以表述如下：

x=ωx-kx2=xω-kx （1）

其中代表蟲口的數(shù)量，ω-kx代表增長系數(shù)，ω代表資源總量，k代表單位蟲口的消耗量，上式的解析解是：

x=ω/k1+ce-ωt （2）

其中c為常數(shù)，與初值x0、t0、ω、k相關(guān)，c=ω-kx0kx0eωt0

本文在方程（1）的求解過程中，構(gòu)造如下差分格式：

xi+1=xi+τωxi-kx2i （3）

數(shù)值求解的結(jié)果存在于數(shù)組xi中。

方程（1）對系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間的增長速率進(jìn)行表征，這是其物理意義。在變量不再發(fā)生改變的情況下，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)平衡態(tài)，也就是 x=0時(shí)，x1=0，x2=ω/v。其中一個(gè)為暫時(shí)平衡態(tài)，另一個(gè)是穩(wěn)態(tài)平衡態(tài)，這個(gè)模型中系統(tǒng)初值只能取正值，相關(guān)參數(shù)也只能取正值，為了對一般意義上的情況進(jìn)行討論，代換（1）式，令μ=ω/k，在全空間取值，得到x=kxμ-x。

2.模型的可行性分析

通過上文構(gòu)造的差分格式對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行求解，控制于該模型的系統(tǒng)狀態(tài)變量如果與反向平衡態(tài)有所偏離，則意味著其無法穩(wěn)定存在，發(fā)散速度很快，系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化趨勢是無窮大，否則趨向于，在控制參數(shù)k較小，且大于零的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定存在，并且其變化趨勢為；在k<0的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定存在，變化趨勢是 x=0，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)初始狀態(tài)系統(tǒng)總是趨向于x；在x=0，在系統(tǒng)初值變化區(qū)間為0-的情況下，無法對系統(tǒng)的趨向進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。

3.模型的突變分析及其臨界行為

對Logistic的模型參數(shù)不同，對突變情況進(jìn)行分析的結(jié)果也不同，如圖1所示，其中圖1（a）是在固定k=0.01的情況下，取值不同的情況下系統(tǒng)的突變情況，參數(shù)對其突變程度進(jìn)行了描述，突變程度越大，系統(tǒng)狀態(tài)變量趨近于的時(shí)間隨著突變程度的增大而縮短，圖1（b）是在固定的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)變量隨著參數(shù)K的取值的不同不斷趨向于平衡態(tài)的情況，k值對狀態(tài)變量向平衡態(tài)趨近的速率進(jìn)行了描述，系統(tǒng)完成突變的時(shí)間隨著速率的增加而縮短。突變過程越大，危害程度也相應(yīng)越大。

為了對系統(tǒng)突變造成的危害進(jìn)行進(jìn)一步描述，本文對突變強(qiáng)度進(jìn)行定義：

η=x0.95μ-x0.05μt0.95-t0.05

系統(tǒng)初值取x0=0.01，t0=0，η的數(shù)值結(jié)算隨著參數(shù)μ，k的不同取值結(jié)果得出不同的數(shù)值結(jié)果，控制參數(shù)的取值不斷變大，系統(tǒng)突變強(qiáng)度也不斷變強(qiáng)，且系統(tǒng)突變強(qiáng)度的增長速度和μ2、k呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系。

η=α-βμ2kInχ，χ=α1-ββ1-α （4）

其中α=0.95，β=0.05，參數(shù)μ，k共同決定系統(tǒng)的突變強(qiáng)度。

系統(tǒng)初值取，的數(shù)值結(jié)算隨著參數(shù)，k的不同取值結(jié)果得出不同的數(shù)值結(jié)果，控制參數(shù)的取值不斷變大，系統(tǒng)突變強(qiáng)度也不斷變強(qiáng)，且系統(tǒng)突變強(qiáng)度的增長速度和2、k呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系。

方程（1）等號兩邊對時(shí)間同時(shí)求導(dǎo)，求導(dǎo)之后能夠得到系統(tǒng)回復(fù)力的函數(shù)表達(dá)式：

x=μkx-2kxx=2k2xx-μ/2x-μ （5）

系統(tǒng)的回復(fù)力在x=0，x=μ/2，x=μ處為零。如圖2所示，各參數(shù)取值分別為：x0=0.01，μ=4.0，k=0.001

（a）系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間的演化；（b），（c）分別是對應(yīng)的回復(fù)速率和回復(fù)力隨時(shí)間的演化情況

本文通過非線性方程構(gòu)造突變模型，定義強(qiáng)度指數(shù)，研究了系統(tǒng)回復(fù)力變化情況，由于受制于資料長度，本文僅檢驗(yàn)了一次突變個(gè)例，是否對其他突變依舊具有警示意義尚需要更加深入的驗(yàn)證，除此之外，多種要素耦合之下產(chǎn)生實(shí)際突變，怎樣及早確定預(yù)警信號，在今后的實(shí)際工作中亟需解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳忠升.中國西北干旱區(qū)河川徑流變化及歸因定量辨識[D].華東師范大學(xué)，2016.

作者簡介：

王艷（1985-），女，寧夏人，碩士研究生，研究方向：代數(shù)表示論。