小學數學教科書中的比及其教學

史寧中，娜仁格日樂

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小學數學教科書中的比及其教學

史寧中，娜仁格日樂

（東北師范大學數學與統計學院，吉林長春 130024）

在現行小學數學教科書，都把兩個數的比定義為兩個數相除，這樣的定義不僅削弱了比的現實功能，而且無法讓學生感悟比的數學本質．論證了比的本質是兩個數量倍數關系的表達與度量，還論證了比與除法、分數、比例的差異．并且，對相關內容的教學提出了建議．

比；倍數關系；表達；度量；除法；分數；比例

在小學數學教學中，比是非常重要的概念，是教學的重點和難點．中國現行小學數學教科書，都把這些內容安排在六年級上冊，并且都把比定義為除法的一種表達形式、通常表示為分數的形式，參見表1．

表1 小學數學教科書的比的定義

像教科書這樣的表述，必然會引導人們把比理解為一種運算、是除法運算的一種特殊形式，進而理解比是為了得到運算結果．這樣的理解不僅大大削弱了比的現實功能，并且很難、甚至無法讓學生感悟比的數學本質．那么，應當如何理解比、進而理解比的教學價值呢？應當實施一種什么樣的數學教學呢？

1 在日常生活中人們如何使用比的概念

小學數學教學似乎應當秉承這樣一個基本理念：概念的引入要源于生活、至少應當與日常生活的經驗不悖．為此，先分析一下，人們在日常生活中如何使用比的概念．

兩個數量的表達．在球類比賽中，通常要使用比這個詞，比如，甲乙兩個足球隊某場比賽結果是三比二、記為“3:2”，這時的比是兩個球隊進球數量多少關系的表達，如果按照教科書的定義，把比賽結果“3:2”說成運算結果“1.5”是不符合常理的；特別是，在足球比賽中，往往會出現進球數為0的情況，對于這種情況，把比賽結果“2:0”理解為除法就更無法解釋了．為了自圓其說，教師在教學過程中只能說：這樣的比與數學所說比的意義不同，甚至特別強調說：不能把生活經驗與數學概念混淆．于是，就是這樣，教科書迫使數學從小學階段就脫離了生活．事實上，應當反過來思考這樣的問題：能不能給出一個包含生活用語在內的比的數學概念呢？

含量多少的表達．在超市中，幾乎所有飲料都標明成分構成，或者用“3:1”的形式標明飲料中果汁的比、或者用“75%”的形式標明果汁濃度．無論采用那種形式，這時的比都是飲料中果汁含量多少關系的表達．在日常生活中，這種表達形式的比最為常見，不勝枚舉；并且在大多數情況下，這樣的表達并不需要像除法運算那樣得到運算結果．因此，嚴格套用教科書的定義，這種形式的比也不是數學中的比．但是，無論如何，不能把這種在日常生活中廣泛使用的比的形式排除在數學之外．

綜上所述，研究者需要做的事情是重新構建比的概念，而不是千方百計地解釋現有概念．為此，需要重新審視現有概念，問題的核心是，比與除法運算的關系到底是什么、是如何表現的？

構建一種度量．教科書中有這樣的例子[1]：

“神舟”五號進入運行軌道后，在距地350 km的高空做圓周運動，平均90分鐘繞地球一周，大約運行42?252 km．我們也可以用比來表示路程和時間的關系：路程和時間的比是42?252比90．記作42?252:90．

這是一個很好的例子．事實上，只有在這樣的例子中比才涉及到除法，因為這時的比需要得到除法運算的結果．因此按照慣例，教科書應當進一步引導學生理解：表示路程和時間關系的比為速度：路程/時間=速度，因此“神舟”五號的速度為：42?252(千米)/90(分)≈469.47千米/分，而不是像教科書那樣僅僅給出比的形式，而不論及計算結果．

2 如何表述比的概念

通過上一節基于生活現實的討論，可以這樣給出比的概念：

比是兩個數量倍數關系的表達或者度量． （1）

如果認為這樣的表述過于學術化，那么，在小學數學的教科書中可以使用更加通俗的語言，文章第四節將會比較詳細地討論這個問題．

無論如何，在上面的表述中，需要很好地理解什么是“倍數關系”．《現代漢語詞典》中關于比的定義很好，但不夠全面[5]：

比較兩個同類數量之間的倍數關系，叫做它們的比，其中一數是另一數的幾倍或幾分之幾．

因此，倍數關系是指比較量多少的一種關系；并且，把倍數單純理解為整數是不可以的，這樣的理解給小學數學教學帶來許多不必要麻煩[6]．研究者現在認定，在定義（1）中，所說的倍數既包括整數也包括分數1．關于比，在《數學辭海》中也有類似的表述，但沒有解釋“倍數關系”的含義[7]：

比（ratio）亦稱單比．算數術語．比較兩個同類量之間的一種倍數關系，稱為這兩個同類量的比，在單位相同時，兩個量的比可以用表示這兩個量的數的比來代替．在實際中，只有同類量，且取同單位，才能相比，兩個量相比得到的倍數，稱為比值．兩個數相比可以說成是兩個數相除．

但是，作為數學的定義，無論是《現代漢語詞典》還是《數學辭海》的表述都不夠全面，主要有兩方面的問題：一是只局限于同類數量，二是都沒有涉及度量．顯然，這樣的定義不能包括上一節中“構建一種度量”的情況．

定義（1）的表述包含了上一節論述的所有情況，“兩個數量的表達”和“含量多少的表達”對應的是：兩個數量倍數關系的表達；“構建一種度量”對應的是：兩個數量倍數關系的度量．

關于“兩個數量倍數關系的表達”相對容易理解，雖然所有小學數學教科書都沒論及這種情況，研究者在下一節對比概念的歷史回顧中進一步討論這個問題．在此特別強調的是，比的度量功能是重要的，在許多情況下，借助比的度量可以構建非常有意義的新概念，因此，比的度量功能逐漸成為現代數學應用的核心．并且，對于比的度量功能，在大部分情況下兩個數量不是同類的量．除了上一節談到的速度之外，再分析幾個例子．

夏普比．所有投資活動都涉及兩個相互關聯的基本要素：收益和風險．人們總是希望選取收益大、風險小的投資策略，但事實上往往二者不可得兼：收益越大則風險越大．那么，應當如何度量投資策略的好壞呢？

1964年，美國經濟學家夏普提出一種度量方法，本質上就是考慮收益與風險之比：收益/風險，人們稱這個比值為夏普比（Sharpe ratio）．可以把這個比值直觀理解為：單位風險的收益，因此比值越大投資策略越好．現在，夏普比已經成為經濟學中綜合考慮收益與風險的三大經典指標之一，主要因為這個工作，夏普獲得1990年度諾貝爾經濟學獎[8]．

信噪比．在現代社會，信號的傳送與接收變得越來越重要．影響信號接收主要有兩個相互關聯的基本要素：靈敏度與噪聲．人們總是希望接收系統靈敏度高且噪聲小，但事實上往往二者不可得兼：靈敏度越強則噪聲越大．于是與夏普比的情況類似，人們用靈敏度與噪聲之比度量接收系統的有效性，稱之為信噪比（signal-to-noise ratio），可以把這個比值直觀理解為：單位噪聲的信號強度，因此比值越大接收系統越好[9]．現在，信噪比已經成為表征系統有效性與抗干擾性的主要質量指標之一，廣泛應用于產品質量控制和國防信號系統．

優度比．這是數理統計學的一個重要概念[10]．比如，希望比較和兩種藥物的有效性．假如服用A和B兩種藥物的病人數分別是和，一段時間后痊愈病人數分別是和．顯然，僅僅通過痊愈人數比較藥物有效性是不合理的，還需要考慮沒有痊愈的人數，人們用比值和分別刻畫兩種藥物的有效性，稱之為優度．為了計算概率方便，通常用比值

考查藥物的有效性，稱為優度比（odds ratio），比值越大說明藥物比藥物越有效．這種方法幾乎適用于所有產品好壞的度量．

總結上面3個例子可以看到，如果要對一個事物的優劣進行度量，可以探尋影響優劣的關鍵要素，然后基于關鍵要素之比構建度量指標．基于這個思路，可以根據生活的經驗創設教學活動，讓學生在這樣的活動中感悟：數學是如何利用兩個數量的比合理地分析和解決問題的．并且讓學生逐漸建立這樣的理念：可以人為地建立各種度量指標，判斷度量指標好壞的標準就是更好反映客觀現實．比如，在比的度量功能的教學中，可以考慮下面的例子．

同學胖瘦比較．通常人們會認為，一個人的體重決定這個人的胖瘦，但在大多數情況下，還應當考慮這個人的身高．那么，如何基于體重和身高這兩個要素構建度量指標呢？在教學活動中，教師可以啟發學生自由想象，比如，可以把身高分成幾個區間然后考查體重，也可以把體重分成幾個區間然后考查身高．在這樣的過程中，在教師的引導下，學生會逐漸發現，所謂“胖”與體重成正比、與身高成反比，因此，可以用體重與身高之比作為度量指標2．

班級學業比較．在通常情況下，人們用兩個班級的平均分比較兩個班級學業的好壞．但在事實上，一個班級學業質量的好壞是指這個班級大多數學生學業質量的好壞：不僅平均分要比較高、并且全班學生成績差異不大．因為成績的方差（標準差）可以度量學生成績的離散程度，因此，可以基于平均分和標準差這兩個要素構建度量指標：“平均分/標準差”．之所以用標準差而不用方差，是因為在這個問題中，比的前項與后項是同類的量，單位一致才能反映客觀現實．

3 比概念的歷史回顧與表達的重要性

在上一節，通過一些實例討論了比的度量功能、以及這個功能的教育價值．事實上，回溯數學的發展史，比作為一種數學表達是極為重要的，這恰恰是小學數學教科書所忽略的，這是因為“兩個數的比表示兩個數的相除”這個命題的限制：作為運算的除法不具有表達功能．

比作為一種數學的表達．作為一種數學的表達，比這個概念廣泛應用于物理學基本概念和基本結論的表述．認真閱讀牛頓的巨著《自然哲學之數學原理》就會發現，幾乎對于所有的結論，牛頓都是用比的概念予以表達[11]．作為說明，研究者分析兩個最為重要結論的表述：一個是關于力，一個是關于萬有引力．

關于力，牛頓在巨著的定義2和定律Ⅱ中說：

定義2. 運動的量是運動的度量，可由速度和物質的量共同求出．

定律Ⅱ. 運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向．

關于萬有引力，牛頓在巨著的第一編第12章命題76的兩個推論中說：

推論Ⅲ. 一個球對于另一個球的運動吸引，或二者間的相對重量，在相同的球心距離處，共同正比于吸引的與被吸引的球，即正比于這兩個球的乘積．

推論Ⅳ. 在不同的距離處，正比于該乘積，反比于二球心距離的平方．

牛頓的這種表述方法源于古希臘學者對比的認識，古希臘學者最初用比的概念表述幾何現象，而運動的表述與幾何的表述是密不可分的．據說，牛頓最初對數學并沒有興趣，是他讀了歐幾里得的著作《原理》之后才熱衷于數學，開始了他天才的思考[12]．正因為如此，牛頓巨著《自然哲學之數學原理》的體例完全模仿歐幾里得的著作《原理》．

線段長度大小關系的表達．歐幾里得《原理》第五卷3，開篇給出了18個關于量、比和比例的定義．下面，介紹前6個定義[13]：

（1）當一個較小量能盡一個較大量時，把較小量叫做較大量的部分．

（2）當一個較大量能被較小量盡時，把較大量叫做較小量的倍量．

（3）兩個同類量之間的大小關系叫做比．

（4）當一個量幾倍以后能大于另一個量，則說兩個量有一個比．

（5）有4個量，第一量比第二量與第三量比第四量叫做有相同比，如果對第一與第三量取任何同倍數，又對第二和第四量取任何同倍數，而第一與第二倍量之間依次有大于、等于或小于的關系，便有第三與第四倍量之間相應的關系．

（6）有相同比的4個量叫做成比例的量．

雖然上面定義中，歐幾里得所說的是“量”，但從第五卷后面的內容看，這里所說的“量”指的是線段長度，因此希爾伯特在《幾何基礎》中，在進行了一些線段性質的證明之后說[14]：“線段的量的比較即線段的長短的比較”，并且特別在這幾個字的下面賦予加重符號．

分析上面6個定義，歐幾里得似乎把問題說得過于繁雜，并且把比定義為線段長度大小關系的表達，因此考慮了大于、等于和小于3種關系．從現在的角度看，如此繁雜述說主要是因為兩方面原因：一是那個時代還沒有創造出更多的數學符號用以表達；二是那個時代對無理數還沒有清晰的認識．歐幾里得認為，如果線段和是兩個可以公度的量，那么比:（或者/）就對應于數（有理數），如果這兩個線段不可以公度，那么就用大于或小于號表示，這樣就處理了無理數的問題．據說，這種思想來源于古希臘學者歐多克斯，孕育了戴德金用有理數的分割定義實數這種思想的萌芽[15]．

借用現代數學語言，從純數學的角度，可以把上面的6個定義簡約表述為：

比：稱兩個量和的倍數關系為這兩個量的比，表示為:．

三歧性：與數一樣，兩個比之間存在3種關系：大于、等于、小于，當且僅當其中一種關系成立．

比例：稱、與、之間具有比例關系，如果:=:，則對任意非零數和都有:=:． （2）

其中，量，，，可以用來表示線段（長度）；符號“：”是比的符號，據說是萊布尼茨最初使用了這個符號，既表示比也表示除法[16]．

基于上述最后一個命題，希爾伯特在《幾何原理》中用整整一章的篇幅討論了線段比例的性質，并稱之為歐幾里得比例論[14]．

比與古代人們的現實生活．歐幾里得用比的概念研究線段長度的關系，絕對不是空穴來風，是有深厚生活背景的．現舉兩個例子說明這個問題，一個是關于音樂的，一個是關于美學的．

比與音樂．古希臘學者畢達哥拉斯發現，可以把音樂歸結為線段長度之間的關系：兩個繃得一樣緊的弦，如果一根是另一根長度的二倍，就會產生和諧的聲音，兩個音相差八度；如果兩個弦長的比為3:2，就會產生另一種和諧的聲音，兩個音相差五度．由此可以得到一般結論：音樂的和聲在于多根弦的長度成整數比，比如，3根弦的弦長比為3:4:6．這樣就發明了音階，一本書中生動地描述了畢達哥拉斯發現和聲規律的故事[17]．

幾乎在相同的時期或者更早一些，在古代中國，一個類似的定音階的方法被稱為“三分損益法”，記載在《管子》這部書中4，命名得到的五聲音階分別為：宮、商、角、徵、羽．

比與美學．有經驗的主持人一般不會站在舞臺的邊角或正中央，而是站在舞臺寬度的黃金分割點上，這時聲音會更加悅耳，視覺上也會產生美感[18]．黃金分割也是源于歐幾里得的《原理》，第Ⅵ卷開篇定義[13]：

3. 分一線段為二線段，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比．

根據歐幾里得的定義，如果把整體線段（長度）作為1、大線段（長度）作為、小線段（長度）作為，那么，黃金分割點（中外比）是指的長度滿足比例關系

這就是黃金分割點．黃金分割點是一個無理數，已經超出了可公度（有理數）的范疇．黃金分割點有一個很特殊的幾何性質：建立一個黃金分割矩形，即矩形的長為1、寬為，如果在矩形中截取一個邊長為的正方形，剩余的矩形仍然為黃金分割矩形，并且在理論上，這樣的方法可以無限制地進行下去．人們把這樣的思想用于實驗設計，比如20世紀六七十年代，華羅庚在全國范圍內所推廣的優選法就是基于黃金分割．

從古希臘開始，人們認為黃金分割體現了和諧的美，因此把黃金分割廣泛應用于繪畫、雕塑和建筑．現代生活中，銀行卡、名片等的矩形中，長與寬的比通常采用的是黃金分割，認為這樣的矩形美觀大方．

4 比概念的小學數學教學

通過上面的討論，可以清晰地界定比的數學本質：表達和度量兩個數量的倍數關系，就像（1）所表述的那樣．但是，這樣的界定過于學術化．那么，在小學數學教科書中、進而在小學數學教學中應當如何引入比的概念呢？或者更確切地說，應當如何定義比的概念呢？

創設情境讓學生感悟．一般來說，數學定義有兩種形式[19]：一種是基于對應的名義定義，一種是基于內涵的實質定義．

名義定義是對某一類事物標明符號或指明稱謂．標明符號就是用符號表達所要研究的對象，比如（2）那樣的表達；指明稱謂就是通過舉例，給研究對象起個名字，比如，稱這樣的圖形為線段．指明稱謂的名義定義方法比較適合小學數學教學，學生可以比較形象地接受概念．因此，創設揭示內涵的情境、舉出恰到好處的例子是非常重要的，因為這樣的定義不是通過語言表述研究對象內涵，而是通過例子讓學生感悟研究對象內涵．

基于上述比的本質，如果用指明稱謂的方法引入比的概念，那么，設計的情境要針對數量的倍數關系，舉出的例子要把握表達或者度量．

對于表達，大部分教科書采用國旗長寬比的例子，或者飲料果汁比的例子是切實可行的，但最后應當有這樣的結論：這樣的比表示了國旗長度與寬度，或者飲料中果汁與非果汁的多少關系（倍數關系）．基于表達的進一步拓展，需要注意兩件事情：一是可以過度到比例，就像（2）表述的那樣；二是可以過渡到正比、反比，就像第二節中物理學的例子．最終，這樣的表達可以發展為正比例關系和反比例關系．

對于度量，有兩種情況需要考慮，一種是同類量的倍數關系，一種是非同類量的倍數關系．對于前一種情況，可以用名片說明（3）的關系，然后把0.618帶入（3）中驗證黃金分割解的正確性，得到比值：寬度/長度≈0.618，感悟作為度量的比，感悟比與現實生活的關聯；對于后一種情況，可以用第一節或第二節中的例子，比如：速度=距離/時間，讓學生通過比值的單位：千米/分，感悟作為度量的比，感悟比在自然科學中的應用．

綜上所述，小學數學關于比的教學，最好要有情境、舉例說明，情境可以是生活的、也可以是數學的或者科學的；舉出的例子要明確針對的是表達的比、還是度量的比．另一方面，教師一定要知道學生認識和理解比的思維過程，有的放矢地開展教學活動．

與除法、分數的差異．除法是一種運算，是一種在解決問題的過程中使用的計算方法．因此，比的表達功能與除法風馬牛不相及，比如，用“3:1”的形式標明飲料中果汁與水的比，如果把這樣的比理解為除法運算就完全背離了表達的本意．對于比的度量功能，有兩種情況：一種情況與除法運算沒有直接關系，比如，通過（3）式求黃金分割點；一種情況要用到除法運算，比如，速度=路程/時間．即便是后一種情況，比也是通過除法運算得到速度的度量、而不是除法運算本身．所以，不能把比理解為除法．

雖然可以用分數的形式表示比，但在本質上：分數是一個數、并且是一個無量綱的數；而比是一種表達或者度量，是可以有量綱的．因此，用分數形式表示的是比的大小、而不是比本身．所以，也不能把比理解為分數．特別是，研究者在前面已經反復提到，在一般意義上比可以是無理數．

與比例的關系．雖然在（2）的第三個式子中，也用兩個比相等的式子來表示比例，但后面的充分必要條件則更為本質，這個條件蘊含了兩個變量倍數關系的不變性．小學階段的數學設定比例、正比例、反比例的內容有兩個目的：一是為了日常生活的需要，二是為了初中、高中階段學習函數做鋪墊．因此，這些內容的教學應當讓學生感悟變量、以及變量之間的關系．在這個意義上，比是變化中的靜止、是函數關系的具體取值．

[1] 戶江，楊剛．義務教育教科書數學六年級（上冊）[M]．北京：人民教育出版社，2014．

[2] 孫麗谷，王林．義務教育教科書數學六年級（上冊）[M]．南京：江蘇教育出版社，2014．

[3] 劉堅，孔啟平，張丹．義務教育教科書數學六年級（上冊）[M]．北京：北京師范大學出版社，2014．

[4] 張天孝．義務教育小學實驗教科書數學六年級（上冊）[M]．杭州：浙江教育出版社，2010．

[5] 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室．現代漢語詞典[M]．北京：商務印書館，2002．

[6] 史寧中．基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013．

[7] 數學辭海編委會．數學辭海（第1卷）[M]．太原：山西教育出版社，2002．

[8] 史樹中．諾貝爾經濟學獎與數學[M]．北京：清華大學出版社，2002．

[9] 鞠德航，林可祥，陳捷．信號檢測理論導論[M]．北京：科學出版社，1977．

[10] 史寧中．統計檢驗的理論與方法[M]．北京：科學出版社，2008．

[11] 牛頓．自然哲學之數學原理[M]．王克迪譯，袁江洋校．北京：北京大學出版社，2006．

[12] 吳文俊．世界著名科學家傳記·數學家Ⅲ[M]．北京：科學出版社，1992．

[13] 歐幾里得．幾何原本[M]．蘭紀正，朱恩寬譯．梁宗巨，張毓新，徐伯謙校．西安：陜西科學技術出版社，1990．

[14] 希爾伯特．幾何基礎[M]．江澤涵，朱鼎勛譯．北京：科學出版社，1995．

[15] 科士青．幾何學基礎[M]．蘇步青譯．北京：商務印書館，1954．

[16] ?Florian Cajori.[M]. Chicago Illinois: The Open Court Publishing Company, 1952.

[17] 辛格．費馬大定理[M]．薛密譯．上海：上海譯文出版社，2005．

[18] 李大潛．黃金分割漫談[M]．北京：高等教育出版社，2007．

[19] 史寧中．試論數學推理過程中的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J]．數學教育學報，2016，25（4）：1-16．

1 事實上，可以把“倍數”拓展到任意實數，比如說：π是圓的周長與直徑之比．

2 人們又稱這樣的度量指標為體重指數、或BMI（Body Mass Index）指數，通常用體重（公斤）與身高（米）平方之比作為度量指標．

3 原著全書13卷，前6卷論述平面幾何，第7～9卷論述數的理論，第10卷論述無理數，第11～13卷論述立體幾何．后來，希普西克勒斯補第14卷，又將晚期的一些評注編為15卷，拉丁文本為《歐幾里得原本》．中國最早的譯本完成時間是在明萬歷三十六年，即1607年，是意大利傳教士利瑪竇和徐光啟合作翻譯的．他們是根據德國人克拉維烏斯1574年拉丁文的《歐幾里得原本》翻譯的．原書15卷，他們翻譯了前6卷，因為主要是平面幾何的內容，因此利瑪竇和徐光啟定名為《幾何原本》，中文的幾何的名稱也就此產生．

4 相傳《管子》的作者是管夷吾．管夷吾，前730—前645，又名敬仲，字仲，安徽穎上人，春秋時期齊國著名政治家，曾任齊國上卿（丞相）．

[責任編校：周學智]

Ratio of Primary School Mathematics Textbooks and Its Teaching

SHI Ning-zhong, NA Ren ge ri le

(Northeast Normal University, School of Mathematics and Statistics, Jilin Changchun 130024, China)

In the current mathematics textbooks for primary schools, the ratio of two numbers was defined as the division between them. Unfortunately, this definition not only weakens its practical functions, but also caused the difficulty of grasping its mathematical essence. On the one hand, this paper argued that the essence of the ratio was the expression and measurement of multiple relations of the two numbers. On the other hand, it demonstrates the difference among division, fraction, and proportion. Finally, it puted forward some suggestions on the teaching of related contents.

ratio; multiple relations; expression; measurement; division; scores; proportion

G622

A

1004–9894（2017）02–0001–05

2017–03–02

史寧中（1950—），男，江蘇南京人，教授，統計學博士生導師，數學課程與教學論博士生導師，主要從事數理統計與數學教育研究．