中美高等數學教材內容的比較研究——以美國賓夕法尼亞九版和中國同濟七版為例

田仕芹，王玉文

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中美高等數學教材內容的比較研究——以美國賓夕法尼亞九版和中國同濟七版為例

田仕芹1，2，王玉文1

（1．哈爾濱師范大學教育科學學院，黑龍江哈爾濱 150025；2．常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500）

采用定性和定量研究相結合的方法，對賓夕法尼亞九版和同濟七版高等數學教材進行比較分析．研究發現：兩版教材內容體系編排及難度差別較大．同濟七版注重數學知識體系的系統性和數學理論的嚴密性，習題側重純數學問題；賓夕法尼亞九版注重數學直觀、現實應用和學習指導，習題側重有真實數據來源的實際問題．同濟七版的總體難度高于賓夕法尼亞九版．在共有內容中，同濟七版的知識點數量是賓夕法尼亞九版的1.3倍；同濟七版在基礎性知識、微分和積分3個知識團的內容深度與習題難度均高于賓夕法尼亞九版．建議在教材的編寫中，體現高等數學在學科中的應用價值、適當增加直觀呈現、注重數學知識的生成過程、融入學習指導．

高等數學；教材；內容；難度；比較

1 問題提出

系統性、抽象性、應用性很強的《高等數學》作為高校的一門基礎課程，教材內容編排及難度高低直接影響到學生數學素質的提高和相關專業課程的學習．中央電視臺播出的一期《開講啦》節目中，在開講嘉賓樊綱教授與觀眾交流互動環節，復旦大學經濟系的一位大一新生提出這樣一個問題：“作為經濟學的必備基礎，高等數學……對于我們來說真的是很困難……您怎么看待這些非常惡心的數學工具？”究竟是什么原因使學生覺得高等數學難學，甚至用“惡心”來形容？是否因為高等數學教材內容真的太難？如果難，具體難在哪些方面？又該如何改進？

國內對數學教材難度的研究取得了不少有意義的結果[1~12]，但對高等數學教材難度的研究較少，目前能查到的高等數學教材難度研究的文獻只有文[4]．已有研究集中于中小學數學教材方面，且主要是數學教材難度模型的構建和教材難度的比較，孔凡哲等在文[12]中建立課程難度定量模型，、、、分別表示課程難度、課程深度、課程廣度和課程時間，其中，被稱為加權系數，滿足0<<1．鄺孔秀等在文[7]中構建小學數學教科書難易程度的數學模型，、、分別表示內容廣度、內容深度和習題難度，、、為相應的權重．基于高等數學課程教學基本要求，高等數學教材的編寫和修訂主要從內容深度、內容廣度和習題3個方面進行，參考文獻[7]中的教材難度模型，選取教材內容廣度、內容深度及習題難度3個維度，建立高等數學教材難度模型，并遵循系統優化原則，組織同行專家進行分析對比，采用統計平均法確定各維度的權重．鑒于在高等教育領域，美國有著較為先進的教育理念，通過對美國賓夕法尼亞九版和中國同濟七版高等數學教材的比較分析，明晰兩版高等數學教材在內容選擇、編排、呈現、難度等方面的差異，拓展高等數學課程建設中的教材編寫思路，優化教材的結構體系，為高等數學教材編寫提供新的案例參照，進而為教師和學生提供更適合的教材．

2 研究設計

2.1 高等數學教材的選取

選取的美國高等數學教材為（Ernest F. Haeussler, Jr. Richard S. Paul. The Pennsylvania State University. Prentice Hall InternationalInc, Ninth edition. Simon & Schuster A Viacom Company Upper Saddle River, NJ 07458），共I、II、III三冊，以下簡稱賓夕法尼亞九版，適用于普通高等院校的商業、經濟、生命和社會科學等專業．據研究者調查了解，國內不同院校的商業、經濟、生命和社會科學等專業所用的高等數學教材不一，有些院校用的是同濟大學數學系編的《高等數學》，有些院校用自編教材，如復旦大學經濟學院用的是宋禮民等主編的《高等數學》．由于同濟大學數學系編的《高等數學》是國內使用量大、適應面廣的優秀教材，其它不同版本的高等數學教材內容體系與同濟大學數學系編的《高等數學》基本一致，因此國內高等數學教材選取《高等數學》（同濟大學數學系編，高等教育出版社，第七版），共上、下兩冊，以下簡稱同濟七版．

2.2 研究方法和工具

研究采用定量和定性相結合的方法．

定性分析方面，主要是兩國教材整體內容框架、呈現形式、習題、特色內容方面的比較．

定量研究方面，選取教材內容廣度、內容深度及習題難度3個維度，參考文獻[7]建立教材難度模型

內容深度和習題難度的維度及水平劃分如表1所示．

表1 內容深度和習題難度的維度及水平劃分

3 結果與討論

3.1 中美高等數學教材內容的整體比較

（1）內容框架．

中美高等數學教材各章節內容如表2所示．

表2 中美高等數學教材各章節內容

①整體上：兩版教材體系編排差別較大．

②基礎性知識部分：賓夕法尼亞九版函數內容比同濟大學七版詳細得多，極限內容兩本教材占各一章，同濟七版更注重嚴密的理論基礎和理論說明、證明，賓夕法尼亞九版更注重借助圖象或數據幫助讀者理解并得出結論．

③微分部分：同濟七版安排了4章，賓夕法尼亞九版安排了5章．導數、微分概念及其應用部分，同濟七版在曲線的凹凸與拐點、曲率、方程的近似解、全微分的應用、微分法在幾何上的應用等內容上，都做了比較詳細的介紹和講解．賓夕法尼亞九版將對數函數的微分、指數函數的微分、隱式微分、對數微分和高階導數的內容作為一章；曲線作圖單獨作為一章；微分的應用單獨作為一章，內容主要有最大值和最小值的應用、微分、需求彈性、牛頓法．中值定理的內容，在同濟七版中單獨作為一節，教材從羅爾定理到拉格朗日中值定理到柯西中值定理，自上而下的定理由來環環相扣、步步深入，邏輯結構鮮明緊湊，而在賓夕法尼亞九版中未做詳細介紹．同濟七版將微分方程單獨作為一章，而賓夕法尼亞九版未有這部分內容．較之國內教材內容體系的縝密嚴謹，賓夕法尼亞九版內容更細致、更注重應用．

④積分部分：同濟七版安排了5章，賓夕法尼亞九版安排了3章，同濟七版更注重數學知識的系統性和理論的嚴密性，賓夕法尼亞九版更注重應用性，以運算、數據來得出和說明結論．

⑤其它內容：同濟七版安排了空間解析幾何與向量代數、無窮級數．賓夕法尼亞九版安排了矩陣代數、線性規劃、金融數學、概率和統計、概率的附加專題、連續隨機變量．事實上，線性代數和概率統計在中國是單獨作為一門課程來安排的．

（2）內容呈現形式．

教材內容的呈現形式多種多樣，除了文字這一主要呈現形式以外，還有公式、圖表、圖形等輔助呈現形式，同濟七版和賓夕法尼亞九版在微分和積分模塊的配圖數如表3．

表3 中美高等數學教材共有模塊配圖數

由表3可以看出，賓夕法尼亞九版用了大量的圖表和圖形，數形結合，直觀清晰，這種多圖呈現方式使教材理論更易為學習者接受，激發學生的學習興趣，提高學習自主性．

（3）習題．

從教材習題來看，賓夕法尼亞九版題量大，題型豐富，注重應用．每一小節結束后有概念題、常規計算、應用題、探索題等，每章結束后有復習題、情境題（Mathematical snapshot形式）等，特別是教材中里的應用題涉及社會生活的方方面面，且列出了應用題的數據來源．相比較而言，同濟七版習題更側重于應用數學定理和公式去解決純數學問題，講究解題技巧，應用性問題主要涉及微積分在近似計算中的應用和積分學在物理、力學方面的傳統應用，難以使學生體會到高等數學的應用價值．

（4）學習指導．

從教材對學生的學習指導方面來看，賓夕法尼亞九版中有具體問題解決方法和策略的指導，如導數部分給出求導策略，同時在每章之后都有內容回顧（Review），列出重要的數學術語和符號、內容概要．同濟七版在這方面有待加強．

根據上述兩部教材的內容框架分析，以下對教材總體難度、內容廣度、內容深度及習題難度的比較分析主要從基礎性知識、微分和積分3個知識團來進行．

3.2 中美高等數學教材的總體難度分析

依據教材難度模型，對同濟七版和賓夕法尼亞九版各個維度的指標進行賦值計算，結果見表4．

表4 中美高等數學教材難度比較

結果表明，同濟七版的總體難度高于賓夕法尼亞九版，且同濟七版在內容廣度、內容深度和習題難度上均高于賓夕法尼亞九版．

具體地，同濟七版和賓夕法尼亞九版基礎性知識團的難度分別為0.692、0.595，微分知識團的難度分別為0.778、0.635，積分知識團的難度分別為0.741、0.612．同濟七版在各知識團的難度都高于賓夕法尼亞九版．

3.3 中美高等數學教材的內容廣度分析

同濟七版和賓夕法尼亞九版各知識團的知識點分布情況如表5．

表5 中美高等數學教材內容廣度比較

從表5可以看出，同濟七版基礎性知識、微分和積分三知識團的知識點數量均大于賓夕法尼亞九版．總體上，同濟七版的知識點數量是賓夕法尼亞九版的1.3倍，兩版教材的知識點交集較大，有55個共有知識點．

3.4 中美高等數學教材內容深度分析

中美高等數學教材的內容深度比較如圖1和圖2所示．

圖1 中美高等數學教材的內容深度（不同知識團）

圖1表明，同濟七版基礎性知識、微分、積分各知識團的內容深度均高于賓夕法尼亞九版，兩版教材分別在各知識團的內容深度相對均衡．

從“認知要求”及“呈現方式”兩個維度對兩版教材的內容深度進行分析，在認知要求上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為0.762和0.597，其中同濟七版認知要求為“了解”、“理解”、“掌握與應用”的比例分別為7.1%、21.3%、71.6%，賓夕法尼亞九版對應比例分別為8.8%、22.5%、68.7%，兩版教材都以掌握和應用為主．在呈現方式上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為 0.682和0.575，其中同濟七版呈現方式為“直觀”、“歸納”、“抽象”的比例分別為9.2%、6.3%、84.5%，賓夕法尼亞九版對應比例分別為77.3%、9.1%、13.6%，同濟七版以抽象呈現為主，賓夕法尼亞九版以直觀呈現為主．

圖2 中美高等數學教材的內容深度（不同維度）

3.5 中美高等數學教材習題難度分析

中美高等數學教材的習題難度比較如圖3和圖4所示．

圖3 中美高等數學教材的習題難度（不同知識團）

圖3表明，同濟七版基礎性知識、微分、積分各知識團的習題難度均高于賓夕法尼亞九版，兩版教材分別在各知識團的習題難度相對均衡．

從“認知要求”及“背景”兩個維度對兩版教材的習題難度進行分析，在認知要求上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為 0.752 和0.592，其中同濟七版認知要求為“模仿”、“遷移”、“探究”的比例分別為21.8%、55.7%、22.5%，賓夕法尼亞九版對應比例分別為24.7%、56.2%、19.1%，兩版教材都以遷移為主．在習題背景上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為0.580 和0.655，其中同濟七版呈現方式為“無背景”、“社會生活背景”、“相關學科專業背景”的比例分別為85.4%、5.7%、8.9%，賓夕法尼亞九版對應比例分別為13.1%、54.3%、32.6%，同濟七版以無背景為主，賓夕法尼亞九版以社會生活背景和相關學科專業背景為主．

4 結論與討論

4.1 結 論

（1）兩版高等數學教材內容編排差別較大．在共有內容中，賓夕法尼亞九版基礎性內容比同濟七版詳細得多；微分模塊，同濟七版安排了4章，賓夕法尼亞九版安排了5章；積分模塊，同濟七版安排了5章，賓夕法尼亞九版安排了3章．另外，同濟七版還安排了空間解析幾何與向量代數、無窮級數，賓夕法尼亞九版還安排了矩陣代數、線性規劃、金融數學、概率和統計、概率的附加專題、連續隨機變量，而線性代數和概率統計在我國是單獨作為一門課程來安排．同濟七版更注重教材內容體系的系統性和理論的嚴密性，賓夕法尼亞九版更注重借助圖象、數據或案例等“數學直觀”幫助讀者理解數學思想并得出結論，同時注重學生學習方法與策略的指導，內容呈現形式較之同濟七版更豐富．賓夕法尼亞九版的習題側重有真實數據來源的實際問題，同濟七版的習題側重純數學問題．

（2）同濟七版的總體難度以及內容廣度、內容深度和習題難度均高于美國賓夕法尼亞九版．同濟七版的知識點數量是賓夕法尼亞九版的1.3倍，且同濟七版基礎性知識、微分和積分三知識團的知識點數量均大于賓夕法尼亞九版．同濟七版在基礎性知識、微分和積分三知識團的內容深度與習題難度均高于賓夕法尼亞九版，兩版教材分別在各知識團的內容深度和習題難度相對均衡．在內容的認知要求上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為0.762和0.597；在內容呈現方式上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為0.682和0.575．在習題認知要求上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為0.752和0.592；在習題背景上，同濟七版和賓夕法尼亞九版的深度分別為0.580和0.655．

4.2 討 論

（1）體現高等數學在學科中的應用價值．

比較發現，同濟七版的總體難度以及內容廣度、內容深度和習題難度均高于美國賓夕法尼亞九版，賓夕法尼亞九版更注重應用，同濟七版更注重數學知識的系統性和理論的嚴密性．一方面，考慮到高等數學知識的整體性和連貫性，不能因為難度大而盲目刪減教材內容、降低內容深度和習題難度，正如課程理論專家施瓦布（Schwab J. J.）指出，學科結構對教育具有雙重意義：第一，教育工作者在設計課程和準備教材時就必須考慮學科結構，否則課程計劃可能被錯誤地實施，教材可能被誤教；第二，一定要把學科結構深入到課程的各個方面，使其成為課程內容的實質，否則就會把學生引入歧圖[13]．另一方面，在編寫教材時考慮高校不同學科專業對高等數學的需求，加強高等數學教材內容與學科、專業課程的融合，適當增加與學科專業、社會生活相關的背景性知識、實例和習題，并設置運用數學知識、思想和方法解決有關專業問題的探究性課題等，同時給出題目中的數據來源，使學生體驗數學與所學專業的密切聯系，提高對高等數學在學科中應用價值的認識，促使學生積極投入高等數學課程的學習．

（2）適當增加直觀呈現．

研究發現，賓夕法尼亞九版的內容呈現形式更多樣化，且以直觀呈現方式為主，而同濟七版以抽象呈現方式為主，抽象的呈現方式也是導致國內大學生學習數學產生困難的一個原因．數學直觀，既是數學抽象思維的問題信息源，又是途徑信息源．即使是較為高深、抽象的數學知識，同樣需要直觀模型，只不過這種直觀的層次較高，距離生活直觀較遠一些，需要相應的基礎知識和更多的想象[14]．應借鑒荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾的“現實、數學化、再創造”的數學教育思想[15]，適當增加數學直觀呈現，如圖象、數據或案例等感性材料，降低學生學習抽象數學概念和命題的困難，使思維與直觀建立聯系，學生在豐富的直觀信息的支持下，數學思維被激活，高等數學的學習不再是一種沉重的負擔．

（3）注重數學知識的生成過程．

在比較中發現，中國高等數學教材更關注知識的邏輯結構，強調定義的準確性、邏輯的嚴密性等，對知識的發生發展過程以及學生的主體活動重視不夠．數學知識不僅表現為數學概念、定理、法則、公式等陳述性知識，還表現為數學思想方法等程序性知識．在知識的形成和應用過程中滲透數學思想方法，是引導學生體驗、感悟數學思想方法的有效策略[16]．教材應充分考慮繼承、借鑒、發展、創新的辯證關系，注重數學知識的生成性，為學生“預留”探索與交流的空間，使學生在觀察、思考、探究、歸納的過程中，達成對數學知識的“知其源、會其神、通其用”[17~28]．

（4）融入學習指導．

賓夕法尼亞九版中有具體問題解決方法和策略的指導，同時在每章之后都列出重要的數學術語和符號、內容概要，有利于學生自主學習．國內一些學生抱怨高等數學“難學”，教材缺乏一定的學習方法與策略的指導也是其中一個重要原因．為更好地促進學生自主學習，教材編寫應關注學生“怎樣學”，在教材中融入高等數學學習方法與策略的指導，既可以在具體章節中某個問題解決之前展示問題解決的方法和策略，也可以在教材中專門辟出幾個問題解決欄目，配有一定的策略指導，以減少學生在高等數學學習過程中的挫敗感和畏難心理，調動學生學習高等數學的自主性．

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[責任編校：周學智]

Comparative Study on Advanced Mathematics Textbook’ Content between China and America——Taking America Pennsylvania Ninth Edition Textbook and China Tongji Seventh Edition Textbook as Examples

TIAN Shi-qin1, 2, WANG Yu-wen1

(1. Faculty of Education, Harbin Normal University, Heilongjiang Harbin 150025, China;2. School of Mathematics and Statistics, Changshu Institute of Technology, Jiangsu Changshu 215500, China)

Adopting the combination of qualitative and quantitative research methods, this article compared China advanced mathematics textbook with America. The study found that: there was a greater difference of the content system arrangement and difficulty between the two version textbooks. Tongji seventh edition paid attention to the system of mathematics knowledge and the rigor of mathematics theories, and the exercises focused on pure mathematics problem; Pennsylvania ninth edition paid attention to the mathematical intuition, realistic application and study guiding, and the exercises focused on the practical problems with real data source. Tongji seventh edition was higher than Pennsylvania ninth edition on the whole difficulty. The number of Tongji seventh edition’s knowledge point was 1.3 times of Pennsylvania ninth edition in the common content. The contents depth and problems’ difficulty of Tongji seventh edition was higher than Pennsylvania ninth edition in the knowledge groups of “basic knowledge”, “differential”, and “integral”. Based on the above analysis, it was suggested that we should pay attention to the embodiment of the advanced mathematics application value in different subjects, increase intuitive present appropriately, paid attention to the generation process of mathematics knowledge, and the learning guidance when compiling advanced mathematics teaching textbook.

advanced mathematics; textbook; content; difficulty; comparison

G642

A

1004–9894（2017）02–0075–05

2017–02–10

天津市教育科學規劃（一般）項目——智慧教育背景下智慧型教師培養策略研究（HE3064）

田仕芹（1977—），女，山東日照人，哈爾濱師范大學博士生，常熟理工學院講師，主要從事數學教學與數學教育評價研究．