基于HPM教學的學生認知發展個案研究

吳 駿

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基于HPM教學的學生認知發展個案研究

吳 駿

（云南師范大學初等教育學院，云南昆明 650092）

數學教學中融入數學史是一個重要的研究課題．在八年級數學教學中，進行數學史融入統計概念教學的實驗研究，選取6名學生作為個案研究對象，對其認知發展進行定性分析，結果發現：參與研究的5名學生的認知水平得到明顯提高，而有1名學生的認知依舊停留在原有的水平．研究表明，數學史融入統計教學加強了學生對統計概念的理解，促進了學生認知的發展，不過，并非所有學生的認知水平都得到明顯提升，可能某些學生收效甚微．

HPM；認知發展；個案研究；SOLO分類法

1 問題提出

數學史融入數學教學的有效性歸根到底要經過課堂實踐的檢驗．因此，HPM的一項重要研究工作就是教學實驗．其中，關于學生情感變化的研究比較多，所得結論大多是正面的，得到了人們的普遍認可；相對于情感方面，如何檢測認知范疇的實驗效果是重要的，也是比較困難的．近年，國內外一些學者考察了數學史融入數學教學，對學生數學認知產生的影響[1~4]，但研究涉及的學科領域和研究對象都很有限，還缺乏更多關于學生認知方面的實證研究．Kjeldsen在2012年HPM大會報告中指出，數學史融入數學教學有兩個核心問題：如何融入數學史更有利于學生學習；如何使用數學史素材幫助學生學習數學，發展學生的歷史意識．可見，尋找數學史融入數學教學的切入點，使之能夠提高教學效率正是人們最為關心的問題[5]．

在統計內容的教學中，統計量的計算相對簡單，但要真正理解其意義卻是困難的[6~9]．已有研究表明，學生對統計概念的理解具有一定的歷史相似性[10]，這進一步支持了教師在統計教學中運用數學史的觀點．以八年級平均數、中位數和眾數等概念為具體教學內容，進行HPM教學實驗研究，采用個案研究的方法，考察HPM教學促進學生認知發展的效應．

2 研究方法

2.1 研究對象

Barbin和Groth等人指出，在數學史融入數學教學的過程中，考察學生思維水平的研究應該采用質性的研究方法[11]．為了分析學生認知發展的變化，選取某中等城市的一所初中學校八年級兩個班的學生作為研究對象，在教學實驗前后對這兩個班級的學生進行測試，采用目的性抽樣的方法訪談了20名學生，從中選取6名學生作為個案研究對象．在教學實驗前對學生進行測試，界定其認知水平，HPM教學實驗之后，再次測定其認知水平，并分析認知水平的提升與HPM教學的關系．

2.2 教學案例

采用以下方法設計教學案例：（1）直接采用歷史上的數學問題和解法，如古印度人估計大數的故事、《九章算術》中的平分術、估計船員人數問題、貨幣檢查箱的故事、中位數的歷史起源、利用指南針確定航海位置、數城墻磚塊數目，等等；（2）根據歷史材料，編制數學問題，如估計數學測驗的總分、尋找質點中位數、鞋子的顏色、員工工資問題、你是“平均學生嗎”？身高和體重的問題．（3）在現代情境下，選用體現歷史發生思想的數學問題，如帽子平均數問題、公共汽車載客量問題、獻愛心捐款活動[12]．

對于數學史的運用，數學教學中所追求的不應是真實歷史的簡單重現，而應是歷史的適當重建，這就是指，數學史的適當“改造”應看成是數學史融入數學教學的一個基本途徑[13]．由于學生缺乏統計概念的歷史背景知識，他們也擁有前人未知的一些知識，因此，研究中更多地采用后兩種方法設計教學案例，注重把歷史現象轉化為有意義的教學現象．

2.3 測試工具

在Watson、Zawojewski、Marnich、曲元海等人研究的基礎之上[8，14~16]，把學生對平均數、中位數和眾數的理解劃分成本意理解、選擇使用和問題解決3種水平，并編制了兩套平行試卷，分為前測和后測，在教學實驗前后進行測試，測試題的歸類和數量如表1所示．兩份問卷設計完畢之后，分別寄給不同的專家征求意見．試測之后，對題目又作了一些修改才正式施測．

表1 前后測試題的水平及其數量

2.4 數據處理

Groth和Bergner在考察小學職前教師對統計概念的理解時，采用SOLO水平的分析框架：單一結構水平（U）、多元結構水平（M）、關聯水平（R）、拓展抽象水平（E）[11]．Watson和Moritz研究學生對平均數理解的縱向發展時，把SOLO分類法劃分為6個水平：（1）前結構水平；（2）單一結構水平；（3）多元結構水平；（4）表征水平；（5）應用水平1；（6）應用水平2[17]．

在測試和訪談中發現，有相當一部分學生的認知水平介于多元結構水平和關聯結構水平之間，為了更好地區分這些學生的認知水平，有必要在其間設立過渡水平，也可稱為前關聯水平，用T表示．另外，為了更好地考察學生對統計量的運用，把該階段分為兩個應用水平A1和A2，具體描述見表2．測試題也劃定了最高限度水平，見表3．學生對統計概念的理解，單從測試卷的回答中很難準確判斷學生達到的認知水平，因此，結合測試之后的訪談，從總體上界定學生達到的認知水平．

表2 學生對集中量數認知水平的描述

表3 每道題目的最高限度水平

3 結果與分析

3.1 教學實驗前學生的認知水平

教學實驗前對兩個班學生進行測試和訪談，按照學生認知水平的人數比例來劃分個案研究人數，即U水平的1人，M、T水平各2人，R水平1人，如表4所示．以下以江同學、尹同學、陳同學和柳同學為例，逐一分析他們教學實驗前后達到的認知水平．

表4 前測中學生的認知水平

前測及訪談結果表明：江同學能夠從總體上理解平均數、中位數和眾數是表示集中趨勢的統計量，認識到平均數比中位數更易受極端值的影響，能夠正確選擇使用平均數、中位數和眾數，其認知水平達到R水平．以下是其中的一段訪談：

研究者：平均數、中位數和眾數這3個概念有什么共同的特征嗎？

江同學：代表平均水平．

尹同學了解平均數、中位數和眾數的概念，但不清楚它們的用途，還存在一些錯誤認識，如高于平均數就表示超過了一半的人數（如下述第1題），平均數應該具有實際意義等，她僅達到U結構水平．

第1題．有19位同學參加歌詠比賽，所得的分數互不相同，取得分數排在前10名的同學進入決賽，某同學知道自己的分數后，要判斷自己能否進入決賽，他需要知道這19名同學比賽成績的平均數、中位數還是眾數？說明理由．

研究者：你為什么選擇平均數？

尹同學：要把所有的成績用上，就要計算平均數．

研究者：知道了平均數又如何呢？

尹同學：高于平均分就進入決賽．

陳同學基本能理解平均數、中位數和眾數的概念，能夠運用這3個概念去解決相關問題（如下述第2題），但還存在一些模糊認識，如平均數就是大多數等，還不能從總體上把握它們的特征，他的認知水平為M水平．

第2題．某班學生去登山，他們順著臺階拾級而上，每個同學邊爬邊數臺階，最后每個同學都得到一個數字，則臺階級數可以由這組數據的平均數、中位數和眾數中的哪一個表示出來？說明理由．

陳同學認為，數臺階一個比較簡單的問題，每個人數的臺階數不會差異太大，出現次數最多的就是正確的，也就是由眾數來確定臺階級數是合理的．中位數是一組數據中間的數，不一定是正確的．如果使用平均數，那么有些人數的多了，有些人數的少了，會對平均數的計算產生影響，而且平均數還可能是一個小數，就更無法表示臺階數了．

柳同學能用平均數、中位數和眾數去解決簡單問題，對概念的本意理解有了一些正確的認識（如下述第3題），但她還沒有認識到這3個概念的代表性特征，她的認知水平達到T水平．

第3題．一個教師為了調查某鎮每個家庭的平均孩子數，他數出這個鎮上所有的孩子個數，然后再除以家庭總數50，得到每個家庭的平均孩子數為2.2．

柳同學對這個問題的一些認識：平均數為2.2并不一定代表有一半家庭孩子個數超過2個；有3個孩子的家庭不一定比有2個孩子的家庭多；平均數并不代表精確值，即2.2為平均值，不具有實際意義；孩子總數除以50等于2.2，則孩子總數為2.2×50=110．

3.2 教學實驗后學生的認知水平

在第二次訪談中，關注數學史融入數學教學實驗之后，學生在哪些方面取得了進步，以及產生進步的原因．后測及訪談結果表明：

江同學進一步鞏固了對這3個概念的理解，對概念的選擇使用有了較大的進步，她成功地解決了后測中的兩個復雜問題，認知水平達到了A2水平．以下是江同學對第5題回答的訪談：

第5題．某電影院5天的觀眾分別為：72人、97人、70人、71人、100人，求出平均數、中位數和眾數，你認為用哪一個數能更好地反映這5天每天看電影的觀眾人數？說明理由．

研究者：你答題時說取平均數誤差小，為什么？

江同學：因為算出來的平均數為82，在這組數據中處于中間位置，它與97和100的差距較小，因此選擇平均數．

研究者：為什么不選擇中位數？

江同學：中位數72與97和100的差距較大，故不用．

江同學的認知發展概述如表5所示．

尹同學能利用這3個概念去解決簡單問題，但還存在一些模糊認識，不了解這3個概念能夠表示數據的集中情況，不能區分平均數和中位數的選擇使用，她的認知水平僅達到M水平．

研究者：平均數和中位數有什么區別？

尹同學：平均數表示平均情況，中位數表示中間位置的數．

研究者：平均數、中位數和眾數這3個概念反映了一組數據的什么特征？

尹同學：總體情況．

尹同學的認知發展概述如表6所示．

陳同學不能區分平均數和中位數的使用，僅知道平均數易受極端值的影響，而不清楚中位數不易受極端值的影響，對中位數的運用僅限于尋找中間位置．他并未理解這3個數都是表示集中趨勢的量，也不能區分它們之間的選擇使用，他的認知水平仍然停留在原來的M水平．以下是陳同學對第4題回答的訪談：

第4題．某人11天看電視的時間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數、中位數和眾數中的哪一個數最能描述他看電視的時間？說明理由．

研究者：這組數據有什么特點？

陳同學：沒有看出來．

研究者：什么情況下選用中位數？

陳同學：尋找中間位置的時候．

陳同學的認知發展概述如表7．

表5 江同學的認知發展概述

表6 尹同學的認知發展概述

表7 陳同學的認知發展概述

柳同學已經認識到這3個概念表示數據的平均水平，認識到一組數據中存在極端值的情況下要用中位數，而且在下述第7題中能利用“減多益少”的方法解決單個復雜問題，她的認知水平達到A1水平．

第7題．有7幢建筑物的高度如圖1所示（單位：米）．問：請你估計它們的平均高度是多少？說明你是如何估計這個高度的．

研究者：如何估計建筑物的高度？

柳同學：把第2幢建筑多的部分補到第1幢上，再把第5幢多余的部分補到第3、6和7幢上．我估計建筑物的高度為26米．

柳同學的認知發展概述如表8所示．

圖1 建筑物的高度

3.3 教學實驗前后學生認知發展水平的比較

教學實驗前后學生的認知發展水平見表9所示．研究表明，參與數學史融入數學教學實驗的5名學生明顯加強了對平均數、中位數和眾數的理解，其中1名學生發展到研究劃分的最高認知水平，另外4名學生的認知水平也分別提高1~3個層次不等．然而，數學史融入統計教學的效果也并非都是明顯的，有1名學生的認知水平依舊停留在原有的水平．通過對學生認知發展原因的探究，發現每個學生的進步記錄都與研究設計的教學案例有關．盡管有一名同學的認知發展并不顯著，但從他的認知發展概述中可以看出，他已經認識到眾數可以表示非數字類型，中位數把數據分成個數相等的兩半，其驅動力正是研究設計的教學案例．

4 結 論

研究結果表明，數學史融入統計教學加強了學生對統計概念的理解，促進了學生認知的發展．不過，當把融入數學史作為一種教學手段時，并非所有學生的認知水平都得到明顯提升，可能某些學生收效甚微，但利用數學史素材設計的教學案例，可能也為學生創造了一種積極和有效的學習環境．需要注意的是，數學史融入數學教學是一個長期回應的過程，很難在短期產生明顯的效果，不能奢望學生在一夜之間獲得較高的考試分數，但它確實可以讓學生體驗到學習數學是一個有意義的、充滿活力的過程，從而使學習變得更容易和更深入．

表8 柳同學的認知發展概述

表9 教學實驗前后學生認知發展水平的比較

注：*表示前測認知水平，**表示后測認知水平

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[責任編校：周學智]

Case Study on Students’ Cognitive Development Based on HPM Instruction

WU Jun

(College of Primary Education, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650092, China)

Integrating the history of mathematics in teaching and learning of mathematics was always a central topic of HPM. The research explored case of six students in eighth grade of junior high school based on HPM instruction. The case of six students showed that five students’ understanding of mean, median and mode were notably strengthened, one of them moved an entire cognitive level, four students’ cognitive levels were increased respectively by 1 and 3 levels, and another one did little growth. The research showed that it was an important cause to promote the students’ cognitive ability which mathematics history integrated into teaching of statistics concepts.

HPM; cognitive development; case research; SOLO taxonomy

G420

A

1004–9894（2017）02–0046–04

2017–01–12

全國教育科學規劃教育部重點課題——邊疆少數民族地區小學數學教學中融入數學文化的調查研究（DMA150217）

吳駿（1968—），男，云南宣威人，教授，博士，碩士生導師，主要從事概率統計教學、數學史與數學教育研究．