用ISM法確定系列教科書的教學序列——以人教A版高中數(shù)學必修系列教科書為例

原玉娟，徐章韜

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用ISM法確定系列教科書的教學序列——以人教A版高中數(shù)學必修系列教科書為例

原玉娟1，徐章韜2

（1．河南鄭州龍湖一中，河南鄭州 450100；2．華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北武漢 430079）

用解釋結構模型方法分析人教A版高中數(shù)學必修系列5冊教科書，給出教科書的教學序列安排，為教師選擇合理的教學順序提供參考建議．在進行教材研究時，注意研究方法的創(chuàng)新是值得關注的問題之一．

ISM法；教科書分析；教學序列

1 引 言

教材分析研究是課程研究的重要主題之一．已有不少研究者從不同角度對此主題展開了研究．如，有研究者認為，問題變式是中國數(shù)學教材中問題設計的重要特色[1]；有的研究對高中數(shù)學教材中數(shù)學史的應用現(xiàn)狀進行了分析[2]；還有的研究從HPM的角度對教材的編寫作了對比研究[3]；還有的研究獨辟蹊徑，從封面設計的角度對小學數(shù)學教材的編寫特色進行了分析[4]；還有的研究以某一課程內容為主題，建立課程難度、廣度、深度的定量模型，展開量化研究[5~8]；近年來更多的是一些教材的國際比較研究，如，有的研究從教材整體知識結構的角度對中國和新加坡的教材進行了對比研究[9]，等等．上述研究從多種角度對教材進行深入的分析研究，給教材研究提供了寶貴的借鑒．教材研究的方式還在不斷發(fā)展之中．還有一些研究把圖論的方法用于教材分析之中，針對教材某一章節(jié)的內容進行了一些新嘗試[10~12]．這種方法把量的分析、經(jīng)驗分析融為一體，在方法意義具有一定的參考性．

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》的必修系列課程包含了5個模塊，人民教育出版社根據(jù)上述課程標準研制了相應的教科書《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》，包括A、B兩套教科書，這里以人教A版為例．這一系列教科書，共5冊，分別是必修1、必修2、必修3、必修4和必修5．數(shù)學有其內在嚴密邏輯性，不是按模塊化的方式組織的，但課程標準下的教科書卻是按模塊化的方式研制的，這就給教師確定教科書的教學序列帶來了困惑．有些學校并不是按上述序列安排課程教學，而是選擇了必修1、必修4、必修5、必修2、必修3這樣的教學序列，也有些教師根據(jù)自己的經(jīng)驗體會提出了不同的教學序列安排[13]．據(jù)不完全統(tǒng)計，目前為止，河南省（鄭州、南陽）、山東省、江西省（宜春）、河北省、廣東省（中山）、遼寧省按照必修12345的順序進行教學；深圳市按照必修12435的順序進行教學；重慶市、貴州（遵義）、天津市、江西省按照必修14532的順序進行教學；北京市、福建省、四川省、湖北省按照必修14523的順序進行教學，另外，浙江（臺州）按照必修1452的順序教學（必修三不學）；廈門市按照必修13245的順序進行教學；山西省按照必修13452的順序進行教學.

課程標準只規(guī)定了必修、選修的內容和要求，沒有規(guī)定教材教學系列的安排，那么，對系列教科書，究竟該選擇什么樣的教學序列，使之既符合數(shù)學知識發(fā)展的邏輯順序，又利于學生的心理發(fā)展呢？這里采用科學的、定量的手段來回答這個問題．

2 研究設計

2.1 研究方法

解釋結構模型方法[14]（Interpretive Structural Modeling Method, ISM）是將圖論用于研究社會系統(tǒng)，研究其中復雜要素間關聯(lián)結構的一種分析方法．該方法用于教學系統(tǒng)分析具有很好的效果．教科書是一種復雜的定性系統(tǒng)，為了安排合理的教學序列，需要實現(xiàn)教科書的結構化和序列化．在教科書的分析中，該方法最大限度地納入了人們的經(jīng)驗和主觀認識，并將教科書的結構以易于理解的、可視化的圖形呈現(xiàn)出來．

根據(jù)ISM法，分析教科書結構的基本流程如圖1所示．

圖1 根據(jù)ISM法分析教材結構的基本流程

2.2 研究過程

（1）抽出知識要素．

（2）確定各知識要素間的直接形成關系．

（3）制作形成關系圖．

根據(jù)上面各要素之間直接關系的分析，可以制作形成關系圖，如圖2．

圖2 要素間的關系圖

對于上面的形成關系圖，可以作出網(wǎng)狀有向圖，如圖3．

圖3 要素間的有向圖

（4）計算可達矩陣．

根據(jù)上面的網(wǎng)狀有向圖可以給出鄰接矩陣．鄰接矩陣是一個二值矩陣，矩陣中的每個元素只能是0或1．0表示該元素對應的兩個頂點之間不存在邊，1則表示該元素對應的兩個頂點間存在邊．表示單位矩陣．

在鄰接矩陣中，所表示的形成關系是一種直接形成關系，而可達矩陣中所表示的是一種間接的關系．標有“*”的元素1表示在()矩陣中，該元素為0．即在可達矩陣中，兩要素之間是一種間接的關系．

（4）決定層級的算法．

(S)：從S出發(fā)，可能到達的全部要素的集合，稱可達集合．

根據(jù)給出的可達矩陣，其中(S)、、如表1所示．

表1 可達矩陣中的要素

注：表中的表示2和4是強連接，表示這兩個要素之間的關系相當緊密

表2 要素的層級

2.3 研究結果

這樣就形成了要素間的關系圖，如圖4．

圖4 要素間的關系

3 討論與分析

根據(jù)ISM分析教科書序列得到的層次模型，應該先學習必修1，之后是處于并列地位的必修2、必修4，然后是必修5，最后是必修3，如表3．

表3 必修系列的教學序列安排方法

泰勒曾指出順序性是課程內容的3個基本準則之一[15]．順序性強調每一后繼內容要以前面的內容為基礎，同時又對有關內容加入深入廣泛地展開．課程序列的安排要在邏輯順序和心理順序，直線式和螺旋式之間取得一定的平衡．采取什么樣的教學序列，要受諸多因素的制約，不能僅僅考慮教學的方便，也不能僅僅考慮學起來簡單，更不能想當然來安排，應綜合考慮．如，章建躍編審認為，從內容順序來看，可以考慮：工具性內容（如常用邏輯用語、向量、算法等）在前；確定性數(shù)學在前不確定性數(shù)學（統(tǒng)計、概率）在后；有限在前無限（導數(shù)、積分）在后；代數(shù)（函數(shù)）在前，解析幾何、立體幾何在后[16]．

3.1 從內容的角度看

必修1共有三章，112頁；必修2共四章，144頁；必修3共三章，145頁，必修4共三章，147頁，必修5共三章，103頁．

必修系列課程內容按照4條主線展開．

（1）函數(shù)主線：集合、函數(shù)概念、基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）、基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形）、數(shù)列、不等式．

（2）幾何主線：立體幾何初步、解析幾何初步、平面上的向量、直線方程、圓與方程．

（3）概率與統(tǒng)計主線：隨機事件概率、古典概型、幾何概型、隨機抽樣、樣本估計總體、變量間的相關關系．

（4）算法主線：算法初步、算法與程序框圖、基本算法語句、算法案例．

這4條主線：數(shù)及其運算、函數(shù)、空間觀念、數(shù)形結合、統(tǒng)計、隨機觀念、算法等核心概念和基本思想是數(shù)學課程的“靈魂”，體現(xiàn)了尋求一般性模式的思想和追求簡潔與形式完美的精神等，有助于學生領悟數(shù)學本質，體驗數(shù)學中的理性精神，學會數(shù)學形式下的思考和推理訓練．由于“模塊化”與數(shù)學學科的內在結構之間有一定的矛盾，因此慎重地決定教科書的教學序列顯得非常有意義．

高一上學期因必修1內容相對較少、在整個高中階段難度相對較小，故需要從處于第二層級的必修2和必修4中再選一本繼續(xù)學習．

從內容的主線來考慮：必修2中涉及到空間幾何體，點、直線、平面之間的位置關系，直線與方程，圓與方程等幾何主線的內容；必修4中有三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換三章內容．對于必修1來說，與之聯(lián)系緊密的是必修4，因為其中涉及到了基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)，三角恒等變換），它屬于函數(shù)主線里的內容．

從內容的多少來考慮：必修2共四章144頁，必修4共三章147頁．同時，在可達矩陣中，這兩者之間的關系是強連接，兩者在教學序列中的順序孰先孰后，關系不大．因此，理論上講，這兩者對教學順序的安排幾乎沒有什么影響．

從學生的接受能力、承受能力來考慮：必修2的內容雖比必修4的內容瑣碎、但相對來說較容易些，對于高一學生來講，由初中進入高中需要一個緩沖適應期，學習新知識要由易到難、循序漸進，二者比較，首選必修2．

綜上所述，從內容的主線來考慮，高一上學期的教學序列應該為必修1（第一層級)、必修4（第二層級），高一下學期接著學習必修2（第二層級）、必修5（第三層級），高二上學期學習必修3（第四層級），即14253；從學生的接受能力、承受能力來考慮，高一上學期的教學序列應該為必修1（第一層級）、必修2（第二層級），高一下學期接著學習必修4（第二層級）、必修5（第三層級），高二上學期學習必修3（第四層級），即12453．

3.2 從教學經(jīng)驗的角度看

另外，從教學經(jīng)驗的角度分析，可以得出序列安排的一些原則：（1）代數(shù)內容不宜過于集中，不要“一竿子插到底”，要體現(xiàn)螺旋上升的特點；（2）幾何內容不宜過于滯后，要及早發(fā)展學生的幾何直觀能力，用之于把“抽象的東西棲居在形象之上”，根據(jù)這個原則，也可以對比剖析一下其它的教學序列安排．

如果采用12543或者12453，這兩種方法其實可以看作一類，展開線索是：函數(shù)——幾何——函數(shù)——算法（中學教師不太熟悉的內容）、統(tǒng)計與概率．這種教學序列和以前人教社的混編教材的章節(jié)次序基本類同．有些地方采用的就是第二種方法．

如果采用14253或者14523，若從課程內容的內在連貫性去考慮，由于必修4與必修5的聯(lián)系密切，有利于循序漸進地學習，14523應該是比較合理的順序，因此第四種方法也被很多地區(qū)所采用．但這種次序把幾何模塊的位置放得太后，不利于及早培養(yǎng)學生的空間想象能力和幾何直觀能力．14253顯然是看到了這一點，把幾何模塊放在必修4和必修5之間，雖有隔斷兩者之間聯(lián)系的嫌疑，但也有可取之處，應把圖形直觀能力貫穿課程的始終，不能太滯后．

若采用15423，即是函數(shù)——幾何——算法（中學教師不太熟悉的內容）、統(tǒng)計與概率，很明顯，函數(shù)內容或代數(shù)內容過于集中，幾何內容太滯后．

若采用列15243，其實和14253差不多，但還如第三種序列合理．

由此，教學序列12453，14253是比較合理的選擇．其中12453序列和中國傳統(tǒng)的教材序列其本類同，體現(xiàn)了傳統(tǒng)經(jīng)驗的寶貴價值；但由于新課程無論在理念上，還是在內容的選擇、編排上都有些變化，故選擇14253也有其合理之處．教學序列的安排若能考慮到一線教師的教學經(jīng)驗，推動起來遇到的阻力必然會小得多，教師的經(jīng)驗也是必須考慮的重要因素之一．

3.3 從學習心理的角度看

中學生發(fā)展不僅與心理特征有關，而且還與生理特征有關，教科書序列的安排也要考．人有兩種不同的思維方式或習慣，一種是語言——邏輯方式，一種是視覺——圖形方式．有的中學生傾向于語言——邏輯方式，有的傾向于視覺——圖形的思考方式，還有的中學生并不偏好哪一種方式，屬“中間型”．生理學的研究也表明，左半腦長于語言、數(shù)值運算等方面的邏輯推理，右半腦在空間問題、想象力等方面起主導作用．根據(jù)心理學、生理學的研究，要統(tǒng)籌考慮代數(shù)、幾何內容的教學序列．必修1、必修4和必修5研究的主要內容是代數(shù)，必修2的主要內容是幾何，必修3是算法和概率統(tǒng)計等新增內容．按模塊化的原則，必修1、4和5由于內在關聯(lián)強，凝聚為一個大模塊是合理的，但若按這種方式來安排教學序列的最大缺陷是幾何課程出現(xiàn)得太晚．而20世紀八九十年代按分科課程授課時，空間立體幾何在高一下學期就出現(xiàn)，因此，立體幾何出現(xiàn)的時機不能太晚．那么幾何課程應現(xiàn)在何時呢，結合前面的分析，按14253的順序有其合理性．章建躍編審也指出[17]，按現(xiàn)行課程標準的順序，高一（上）要學習函數(shù)的概念與性質、基本初等函數(shù)（Ⅰ）、立體幾何、解析幾何（直線與圓）等，學生的認知基礎不夠，難點過于集中，“螺旋上升”變成了“蜻蜓點水”，相隔一年后再學習圓錐曲線、空間向量與立體幾何等，前面的知識已淡忘．必修5的三章內容關聯(lián)性不強，相關內容可適當集中，可以按函數(shù)、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計與概率、微積分的順序安排．高中數(shù)學教材結構主要應體現(xiàn)數(shù)學的內在邏輯性，不人為割裂相關知識．同時要兼顧學生的認知發(fā)展水平．例如，《解析幾何》應在高二集中學習．

學習從屬于發(fā)展，學習要有必要的重復和一定的螺旋度．根據(jù)隨機進入教學理論的觀點，要提高學習者的理解能力和知識遷移能力，需要對同一教學內容，在不同時間，不同情境下，為不同目的，用不同方式加以呈現(xiàn)的要求．可以有意識地將不同分支串聯(lián)在一個知識系統(tǒng)，為學生提供從不同數(shù)學環(huán)境中看到同一現(xiàn)象的機會．代數(shù)、幾何交替出現(xiàn)，使學生看到同一數(shù)學現(xiàn)象的多種表征，多試圖溝通它們之間的內在關聯(lián)，將有助于他們的理解，這也是課程的目標之一．

4 結 論

在進行教科書教學序列的安排時，只要4個模塊不影響相關聯(lián)系和知識儲備，老師教學經(jīng)驗、價值觀、思考方法、認知特點的不同，學校根據(jù)自己的情況安排教學內容，為教學的多樣性提供空間，這也體現(xiàn)了“構建共同基礎，提供發(fā)展平臺”、“提供多樣課程，適應多樣選擇”的新課程基本理念[13]．教育信息大多是一些量度水平較低的信息，對這些信息的處理較為困難，如何使教育研究走上科學的量化之路是值得研究的．經(jīng)驗篩選、數(shù)據(jù)挖掘、敘事分析相互平行、互補互證是重要的研究方法[18]．

數(shù)學是邏輯性比較強的學科，數(shù)學教材的邏輯性十分清楚，解釋結構模型得到的教材要素層級有向圖能夠為教師備課優(yōu)化教學設計，為學生自主學習提供理論幫助，為教師教育教學順序提供了一個科學有效的方法，研究基于ISM方法、結合學習心理、教學經(jīng)驗做了一種嘗試，給出了教科書的教學序列安排即必修12453，以期拋磚引玉．

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[16] 章建躍．當前中小學數(shù)學課程改革中的一些問題[EB/OL]．http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jszj/gsjcbxry/zhangjy/ jcyj/201104/t20110408_1034024.htm

[17] 章建躍．大家都來關心高中數(shù)學課標的修訂[J]．中小學數(shù)學，2014，（9）：66．

[18] 上海市青浦實驗研究所．教師“行動教育”——青浦實驗新世紀探索[J]．課程·教材?教法，2014，（3）：3-12．

[責任編校：周學智]

Determine Teaching-Learning Sequence of Series of Textbooks by ISM——Take PEP High School Mathematics Compulsory Series of Textbooks as Example

YUAN Yu-juan1, XU Zhang-tao2

(1. The No.1 High School of Longhu, Henan Zhengzhou 450100, China;2. Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Interpretive Structural Modeling Method was a method that used to study social system by Graph Theory’s method, which studied one of the methods between the complex elements of associative architecture analysis. The method was used for the analysis of teaching system had a very good effect. Taking ISM teaching material analysis method as the main research methods to analysis people’s education press compulsory series high school mathematics textbook five copies, then the textbooks could be serialized, thus the teachers could get suggestions from it to choose reasonable teaching order. In the textbook research, paying attention to the innovation of research method was one of the issues of concern.

ISM method; analysis of teaching material; teaching-learning sequence

G632

A

1004–9894（2017）02–0055–05

2017–01–20

湖北省高等學校省級教學研究項目——卓越數(shù)字化教師培養(yǎng)的路徑和條件分析——以數(shù)學教師為例（2015095）；華中師范大學重大科研課題及創(chuàng)新示范基地培育項目——TPACK視角下卓越數(shù)字化教師的培養(yǎng)研究（CCNUE2015-05）

原玉娟（1986—），女，河南鶴壁人，碩士，主要從事中學數(shù)學教與學研究．徐章韜為本文通訊作者．