線性方程組的案例教學(xué)

陳永鵬

【摘 要】在目前的線性代數(shù)教學(xué)中，過(guò)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性，缺少線性代數(shù)與實(shí)際相結(jié)合的教學(xué).在國(guó)家大力倡導(dǎo)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的大背景下，這種狀況需要改變。本文考察了在線性方程組的教學(xué)中，案例教學(xué)的應(yīng)用。對(duì)線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行嘗試性教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】線性方程組；案例教學(xué)

線性代數(shù)課程在大學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，這使得廣大數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)其教學(xué)內(nèi)容，教書手法進(jìn)行了大量的研究.就目前的大部分教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，過(guò)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性，缺少線性代數(shù)與實(shí)際相結(jié)合的教學(xué).使學(xué)生對(duì)這門課程只是學(xué)會(huì)了一些理論，而不知道線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。在國(guó)家大力倡導(dǎo)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的大背景下，這種情況是需要改變的。也就是在線性代數(shù)教學(xué)中，要適合地融入案例教學(xué)，以提高學(xué)生的實(shí)際運(yùn)用水平和學(xué)習(xí)興趣。本文作者就線性方程組的案例教學(xué)進(jìn)行了這方面的嘗試。

在32學(xué)時(shí)的線性代數(shù)教學(xué)中，線性方程組是核心內(nèi)容，利用初等行變化求解線性方程組也是學(xué)生必須掌握的手法。但是講完這章以后，作者發(fā)現(xiàn)學(xué)生只是會(huì)了求解線性方程組，往往對(duì)其實(shí)際應(yīng)用很模糊，就慢慢地在教學(xué)中融入案例教學(xué)。讓學(xué)生感到學(xué)有所用的同時(shí)，強(qiáng)化了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力， 進(jìn)而增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解。

本文將給出幾個(gè)典型的線性方程組應(yīng)用實(shí)例。

1. 人力資源分配問(wèn)題

例1. 某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)表所示。

設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段開始時(shí)上班，并連續(xù)工作8小時(shí)，問(wèn)該公交線路應(yīng)怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又使配備司機(jī)和乘務(wù)人員的人數(shù)最少？

解：設(shè)表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)，

這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。

這本來(lái)是運(yùn)籌學(xué)中的線性規(guī)劃模型，在線性代數(shù)中，我們只考察約束條件，這和線性方程組非常相似，但是不一樣。為了轉(zhuǎn)化成方程組，首先引進(jìn)6個(gè)變量讓六個(gè)約束左邊分別減去這六個(gè)變量，則得到如下線性方程組：。

2. 套裁下料問(wèn)題

例2. 某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的需求切割后售出. 從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)得到原料鋼管都是19m長(zhǎng). 現(xiàn)有一客戶需要50根4m長(zhǎng)，20根6m長(zhǎng)和15根8m長(zhǎng)的鋼管，應(yīng)如何下料最節(jié)省？

解：首先考察所有的下料方案，見[1]。通過(guò)下料方案可以引進(jìn)7個(gè)變量。用表示按照第i種模式（i=1，2，…，7）切割的原料鋼管的根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。

3. 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題

生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題

例3.某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問(wèn)題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過(guò)鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問(wèn)：公司為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？

通過(guò)以上分析，可建立如下的數(shù)學(xué)模型：

目標(biāo)函數(shù)： max=

約束條件：

為了轉(zhuǎn)化成方程組，首先引進(jìn)3個(gè)變量讓三個(gè)約束左邊分別減去這三個(gè)變量，則得

到如下線性方程組：

通過(guò)以上兩個(gè)案例，就把線性方程組與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)了。使學(xué)生了解了線性方程組是如何應(yīng)用于實(shí)際的，進(jìn)而對(duì)這門課程的理論有了新的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)習(xí)興趣，從而增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。另外為了求解這些方程組，可以在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)軟件 Matlab、Mathematic，從而使學(xué)生更加覺(jué)著線性代數(shù)不僅有用，而且好學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 謝金星，薛毅. 優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[2] 黃玉梅. 應(yīng)用型人才培養(yǎng)的《線性代數(shù)》課程教學(xué)改革探索[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2013， 38（11），157-161.

基金項(xiàng)目：

基于高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的大學(xué)數(shù)學(xué)課程模塊化教學(xué)改革研究與實(shí)踐（項(xiàng)目編號(hào)：2015JGA425）.