歸納法及數學歸納法區別

吳方躍

摘 要：本文介紹了歸納法及數學歸納法的定義，并舉例說明了我們在使用歸納法及數學歸納法時應注意的問題，告戒我們不能盲目的歸納，避免得出錯誤的結論，本文還重點介紹了我們在使用數學歸納法解題時應注意的步驟，并且比較了歸納法與數學歸納法之間的差異，還介紹了歸納法及其數學歸納法推理的常用技巧。

關鍵詞：數學歸納法；歸納假設；歸納推理

歸納法與數學歸納法，在初等數學及高等數學中都要著廣泛的應用，特別是在定理證明中占非常重要的地位，所以我們必須引起注意，下面我主要從三個方面來闡述歸納法及數學歸納法。

1歸納法

1.1歸納法的定義

由一系列有限的特殊事例得出結論的推理方法叫歸納法。

歸納法包含不完全歸納法和完全歸納法兩類。

1.1.1不完全歸納法：根據事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般結論的推理方法。

1.1.2完全歸納法：根據事物的所有特殊事例得出一般結論的推理方法.

注意：不完全歸納法是從特殊出發，通過實驗、觀察、分析、綜合、抽象概括出一般性結論的一種重要方法，運用不完全歸納法可通過對數列前n項的計算.觀察、分析、推理出它的通項公式，或推測出這個數列的有關性質.應注意用不完全歸納法探索發現的規律，必須用數學歸納法對結論的正確性予以證明。

1.2使用歸納法要謹慎

我們在使用歸納法時，經常盲目歸納，從而得出錯誤的結論，所以我們應該引起注意，下面我們通過幾個例子看看。

例、求前n個奇數的和 [1+3+5+……+（2n-1）]

解：用S（n）表示這個和，令n=1，2，3，4，5，則有

S（1）=1

S（2）=1+3=4

S（3）=1+3+5=9

S（4）=1+3+5+7=16

S（5）=1+3+5+7+9=25

可見，對n=1，2，3，4，5，前n個連續奇數的和等于[n2]，但是，我們不能由此馬上斷定，對任意的n，都有S（n）=[n2]，因為，由“類比”而得到的結論有時是錯誤的.我們用幾個例子來說明這一點。

考慮形如[22n+1]的數.當n=0，1，2，3，4，時，這些數[220]+1=3，[221]+1=5，[222]+1=17，[223]+1=257，[224]+1=65537都是素數.十七世紀一位著名的法國數學家P.費爾馬由此猜想，凡是這種形式的數都是素數.然而，在十八世紀，另一位偉大的數學家，彼得堡科學院院士，L.歐拉發現[225]+1=4294967297=[641×6700417]是一個合數。

這里還有一個例子，十七世紀著名的德國數學家，高等數學的創始人之一G.W萊布尼茲證明了，對任意的正整數n，[n3-n]能被3整除，[n5-n]能被5整除，[n7-n]能備整除，據此，他差一點猜想：對任意奇數k和自然數n，[nk-n]能被k整除，幸虧他自己很快發現[29-2]=510不能被9整除。

現在我們回到求前n個基數的和的問題.從上述可知，不管驗證了多少個n ，公式

S（n）=[n2] [……]（1）

總不能認為已證明了，因為總有一種可能性，對某個未檢驗過的n，公式（1）不再成立.為了確信公式（1）對所有n正確，我們必須證明：無論在自然數列中走到多遠，我們決不能從使公式（1）成立的n值走到使（1）不再成立的數值。

2 數學歸納法

2.1 數學歸納法的定義

n=1正確時，若在n=k正確的情況下，n=k+l也是正確的，便可遞推下去.雖然我們沒有對所有的自然數逐一的加以驗證，但事實上，這種遞推就已經把所有自然數都驗證了，這種方法就是數學歸納法。

2.2 運用數學歸納法證題的步驟

（Ⅰ）驗證當n=1時，某命題是正確的。

（Ⅱ）假設n=k時，命題也是正確的，從而推出當n=k+l時，命題也是正確的.因此，命題正確。

容易悟錯的是：既然k是任意的自然數，n=k是正確的，那么k+l也是正確的.即k+l與k應該表示同一個意思.何必還要證明呢？這很容易理解，k雖然是任意假設的自然數，但是，一旦假定了n=k時，k就是一個固定的自然數了，換句話說，k就是一個有限的數.因而，能否從n=k時命題正確，推出n=k+l時命題也是正確的，這就不一定.如在n=k時正確，推出了n=k+1也是正確的，這時，問題就出現了一個跨越，發生了本質的變化，從k到k+l，便是由有限變化到無限的過程，這正是數學歸納法之精髓。

在比較復雜的情況下，數學歸納法的兩個步驟都要有一些相應的變化，下面有兩種變形.

形式1：證明中的第一步不一定從1開始，如果當n=[k0]的時候，命題是正確的，又假設n=k（k≥[k0]）時，這個命題是正確的，可以推出當n=k+l時，這個命題是正確的，那么這個命題當n=k+l時都正確，從而得出命題正確。

例、當n>1且n∈N時，求證：

[1n+1+1n+1+1n+3+…+13n>910]

證明： （1）n=2時，左邊[=13+14+15+16=1920>910]

左邊[>]右邊，所以不等式成立.

（2）假設n=k時不等式成立，即

[1k+1+1k+1+1k+3+…+13k>910]

當n=k+1時，

[1（k+1）+1+1（k+2）+2+…+13k+13k+1+13k+2+13k+3]

[=][（1k+1+1k+2+…+13k）+] [（13k+1+13k+2+13k+3-1k+1）]

[>910+（13k+3+13k+3+13k+3-1k+1）]

[=910]

即n=k+l時，不等式成立。

根據（1）與（2）得，對于n>1且n∈N，所證不等式成立。

形式2：運用數學歸納法證明時，第一步不只驗證第一個值，而是要驗證從初始值始連續若干個值的特殊值時命題都是正確的，第二步假設n=k是正確的，推出n=k+l是正確的，那么這個命題就是正確的。

例、如果[r0]=2，[r1] =3，并且對所有自然數k有[rk+1=3rk-2rk-1]

試證：[rn=2n+1]

證明：由題意，需驗證n=0，n=1兩值。

（1）當n=0時，[r0]=2，另一方面[r0]=[20]+1=2命題是正確的；還有n=1時，[r1] =3，另一方面[r1=21+1=3]命題是正確的。

（2）假設當n=k時命題是正確的，當然n=k-1也 是正確的。

即 [rk-1=2k-1+1]，[rk=2k+1]成立。

則 [rk+1+1=3（2k+1）-2（2k-1+1）=2k+1+1]故在n=k+l時，命題也成立，于是可以斷定原命題成立。

應注意，運用數學歸納法論證某一問題時，它的兩個步驟是缺一不可的.沒有第一步的證明就沒有基礎，而不做第二步的證明，就無法斷定命題在一般情況下是否成立.如果二者缺一，將可能會得出十分荒謬的結論。

參考文獻：

[1]（蘇）L.I格拉維娜 I.M雅格洛姆著 姚時宗、童增祥《數學歸納法在幾何中的應用》，莫斯科米爾出版社，1979年

[2]華羅庚的主編《數學歸納法》上海教育出版社，1963年

[3]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編《高等代數》（第二版）

[4]周性偉著《實變函數》科學出版社出版，2000年