擬蒙特卡洛模擬方法在期權定價中的應用研究

楊首樟　任燕燕

摘要：不斷變化的市場利率、匯率，難以預測的突發事件，以及各種復雜情形都對金融衍生產品定價方法提出了更高的要求。蒙特卡洛模擬是一種比較有效的衍生品定價方法，它通過偽隨機序列模擬標的資產價格的路徑，對相應的期權進行定價，但它存在著一定的弊端：收斂速度慢，不能通過增加模擬次數有效地逼近真值。擬蒙特卡洛模擬對蒙特卡洛模擬進行了改進，用低差異序列代替偽隨機序列，提高了模擬的準確性。論文利用蒙特卡洛和擬蒙特卡洛模擬方法 對歐式期權進行定價，對兩種方法進行比較分析，結果表明在低維情況下擬蒙特卡洛模擬方法可以得到更加精確地效果，收斂速度也比較快；在高維情況下通過修正也達到同樣的效果。

關鍵詞： 蒙特卡洛；擬蒙特卡洛； 歐式期權；Black-Scholes定價模型

中圖分類號：F830.91；F224 文獻編碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-8256.2017.01.007

0 引言

在過去的二十年中，期權作為管理風險和投機的工具得到了迅速的發展，同時也引發了對于期權定價的研究。由于期權的價格受市場供求的影響，進而影響交易雙方的收益，使得期權定價研究成為期權交易中的一個重要部分。但由于市場的復雜性以及不可預見性，使得期權的定價非常復雜，當所求問題的維度不高于三維的時候，運用傳統的數值方法，例如，二叉樹方法、有限差分法等就可以得到比較理想的結果，但當問題的維度比較高的時候，這些傳統數值方法表現就不太理想，這就是所謂的“維度災難”。為了解決更加復雜的問題，諸多學者提出了蒙特卡洛方法。蒙特卡洛方法的基本思想是通過建立一個統計模型或者隨機過程，使它的參數等同于所求問題的解，再通過反復的隨機取樣，計算參數的估計值和統計量，從而得到所求問題的近似解，當抽樣次數越多的時候近似解就越接近于真實值，其基本原理就是大數定理和中心極限定理。

然而任何方法都不可避免地存在誤差，蒙特卡洛方法也不例外，為了得到更加精確地結果，往往需要誤差減小方法來降低誤差，對于蒙特卡洛方法來說，其收斂速度是O（N^[-1/2]）（其中，N 是模擬次數），顯然只通過增加模擬次數來降低模擬誤差的方法不是有效的。因此學者提出利用低差異序列來代替蒙特卡洛模擬方法所采用的偽隨機數列，使得收斂速度變為O（N^[-1]），這種方法就是擬蒙特卡洛模擬方法，該方法采用低差異序列進行數值積分以解決其他問題。

Boyle（1997）首次使用蒙特卡洛模擬方法對單一資產的歐式期權進行定價，并指出方差減小技術可提高蒙特卡洛方法的精度，在大多數情況下使用擬蒙特卡洛模擬亦可以改進蒙特卡洛方法。Paskov和Traub（1995）利用蒙特卡洛模擬及采用低差異序列的擬蒙特卡洛模擬計算高維積分，并將兩者的結果進行比較，驗證了擬蒙特卡洛模擬方法比蒙特卡洛模擬方法具有許多優勢。Joy.Boyle和Tan（1996）的實驗結果也證明了擬蒙特卡洛模擬的效率更高，模擬結果更加精確，誤差收斂速度也更快。

國內對于歐式期權定價的蒙特卡洛方法研究起步較晚。馬俊海、張維（2000）用蒙特卡洛模擬方法對衍生證券及套期保值參數進行直接模擬，李亞妮（2007）詳細闡述了方差減小技術對期權定價的蒙特卡洛方法的改進，向文彬、向開理（2008）提出了利用低差異序列（Halton序列）的擬蒙特卡洛模擬，并以歐式期權定價為例，比較了擬蒙特卡洛方法與蒙特卡洛方法的結果，得出擬蒙特卡洛方法更具優勢的結論。

1 期權定價方法

1.1 歐式期權

歐式期權是指買入期權的一方必須在期權到期日當天才能行權的期權，根據權利的不同，歐式期權可分為歐式看漲期權和歐式看跌期權。歐式看漲期權是指期權的持有方具有在到期日以提前約好的執行價格買入標的資產權利的交易。歐式看跌期權是指期權的持有方具有在到期日以提前約好的執行價格賣出標的資產權利的交易。期權給予其持有人的是權利而非義務，也就是說，期權持有人可拒絕行權。因此，期權的價格一定大于或者等于零。

假設， 歐式看漲期權的價格為V， 那么V一定服從以下條件：

V隨著執行價格K的增加而減少。

V取決于到期日T。

V隨著標的資產價格S的增加而增加。

V取決于無風險利率r。

對于歐式期權的價值，可以通過運用數理金融方法得到。

1.2 期權定價模型

由于股票現價與它未來的預期價格有關，并且現價、到期日、無風險利率和執行價格等這些變量都可以影響期權定價，因此，二十世紀七十年代，Black 和 Scholes發表了題為《THE PRICING OF OPTIONS AND CORPORATE LIABILITIES》的文章，文中提到的期權定價模型很好的解決了期權定價的問題，但Black-Scholes期權定價模型需要一定的假設條件：

股票價格是波動的并服從對數正態分布，也就是說，標的資產收益是正態分布的。

在期權的存活期，無風險利率，期望收益和股票價格波動是常數。

市場是完全流動市場并且不存在交易費和印花稅。

在期權存活期，標的股票是不分紅的。

期權是歐式期權，不能再到期日之前提前行權。

市場中不存在無風險套利機會。

在這個模型中，期權的價格并不依賴于投資者對于資產的預期收益率。可以說Black-Scholes期權定價模型提供了一種在除波動率以外其他變量都能被觀察到的情況下精確估計期權價格和控制風險的方法。

1.3 歐式期權定價的蒙特卡洛模擬方法

2 研究方法

2.1 蒙特卡洛模擬方法

蒙特卡洛模擬方法的基本思想是通過建立一個統計模型或者隨機過程，使它的參數等同于所求問題的解，再通過反復的隨機取樣，計算參數的估計值和統計量，從而得到所求問題的近似解，當抽樣次數越多的時候近似解就越接近于真實值。其基本原理就是大數定理和中心極限定理。

但是蒙特卡洛模擬的計算量非常大，計算速度也很慢。蒙特卡洛隨機取樣所采用的隨機數服從偽隨機序列，而偽隨機序列存在聚類特點，且樣本的分布不服從真實分布，這使得計算結果會出現偏差。其誤差可以通過中心極限定理得到：

從誤差式中可以看出蒙特卡洛模擬的誤差與方差和樣本數量n有關。為了降低其誤差，需要選擇合適的隨機變量使方差減小，但是蒙特卡洛模擬的隨機數取自偽隨機數列，因此并不能得到最小的方差，也就無法有效的減小誤差，且蒙特卡洛模擬的收斂速度為，這個收斂速度很慢且很難得到高正確率的結果。

2.2 擬蒙特卡洛模擬方法

與蒙特卡洛模擬相同，擬蒙特卡洛模擬也是在單位區間中通過計算積分，其與蒙特卡洛模擬最基本的區別在于的選取，換句話說，擬蒙特卡洛模擬改善了蒙特卡洛模擬的收斂效果，用低差異序列代替偽隨機序列。低差異序列具有低偏差的特征，例如Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常見的低差異序列。

擬蒙特卡洛模擬的方法也存在誤差，只是可以經過修正得到改進。擬蒙特卡洛模擬的誤差可以通過以下運算進行估計。對于單位區間中的點集，定義：

因此，已知擬蒙特卡洛模擬的誤差，可以得到擬蒙特卡洛模擬的熟練速度為。

相對于蒙特卡洛模擬效果，通常情況下擬蒙特卡洛模擬的收斂速度更好，則其結果的準確性也就更高。但并不能說擬蒙特卡洛模擬在任何情況下都優于蒙特卡洛模擬，從擬蒙特卡洛模擬的誤差項中可以看出擬蒙特卡洛模擬的收斂速度與維度d有關，而低差異序列也只有在低維的情況下才能均勻的分布在單位區間內，且隨著維度的增高，這種均勻性也就開始降低。對于蒙特卡洛模擬來說，其收斂速度與維度沒有關系，也就是說，蒙特卡洛模擬適用于任何維度的問題。因此，在擬蒙特卡洛模擬中，在生成序列之前，必須定義維度，一些學者定義擬蒙特卡洛模擬的維度，一般限制維為40維，有些學者則認為是12或者15維。對于許多金融問題其問題維度是很高的，而蒙特卡洛模擬的結果又存在一定的偏差，為了得到更加準確的結果，在高維情況下可以采用布朗橋的方法，這個方法可以使擬蒙特卡洛模擬適用于高維情況。

3 實證分析

接下來運用蒙特卡洛方法和擬蒙特卡洛方法對歐式期權進行定價，并用Black-Scholes模型結果作為標準來判斷兩種方法的好壞。

將以上參數帶入Matlab程序，并設定模擬次數為50000次，對于蒙特卡洛模擬用Matlab自帶的隨機數生成器來產生股票價格路徑，擬蒙特卡洛模擬則采用Halton序列來產生股票價格路徑，再通過前文提及的定價方法，得到以下結果：

圖1中擬蒙特卡洛模擬從28.0819的最大值開始逼近真實值，最終得到20.0036的期權價格，與Black-Scholes定價的結果的誤差僅為0.015.而蒙特卡洛模擬則是從41.4396的最大值開始逼近真實值，最終結果為19.7392，與Black-Scholes定價的結果的誤差為0.2494.

圖2中擬蒙特卡洛模擬從0的最小值開始逼近真實值，最終得到1.4247的期權價格，與Black-Scholes定價的結果的誤差僅為0.0008.而蒙特卡洛模擬則也是從0的最小值開始逼近真實值，最終結果為1.4376，與Black-Scholes定價的結果的誤差為0.0137

從圖1，圖2可以看出代表擬蒙特卡洛方法的紅線以更快的收斂速度靠近真實值，并且最終結果也更接近真實值。與此同時，代表蒙特卡洛方法的藍線靠近真實值的收斂速度要稍慢于擬蒙特卡洛方法，并且其最終結果相對于真實值存在一定的偏差。因此可以得出結論，擬蒙特卡洛方法具有更好的收斂速度和結果。

接下來應用布朗橋方法來產生股票價格路徑，帶入蒙特卡洛和擬蒙特卡洛方法，得到以下結果；

圖1中采用布朗橋方法的擬蒙特卡洛模擬從20.5383的最大值開始逼近真實值，最終得到19.9906的期權價格，與Black-Scholes定價的結果的誤差僅為0.002.而采用布朗橋方法的蒙特卡洛模擬則是從21.7321的最大值開始逼近真實值，最終結果為19.8327，與Black-Scholes定價的結果的誤差為0.1559。

圖2中采用布朗橋方法的擬蒙特卡洛模擬從1.1256的最小值開始逼近真實值，最終得到1.4241的期權價格，與Black-Scholes定價的結果的誤差僅為0.0003.而采用布朗橋方法的蒙特卡洛模擬則也是從2.2732的最大值開始逼近真實值，最終結果為1.4259，與Black-Scholes定價的結果的誤差為0.002。

可以看出在采用了布朗橋方法之后，擬蒙特卡洛模擬和蒙特卡洛模擬的結果都有所改進。

從圖3，圖4中可以看出，代表應用布朗橋的擬蒙特卡洛模擬的黑線具有最快的收斂速度，沒有應用布朗橋的擬蒙特卡洛模擬的收斂速度較應用布朗橋的擬蒙特卡洛模擬的收斂速度要稍微慢一些，同時，蒙特卡洛模擬的收斂速度是最慢的。對于最終結果，應用布朗橋方法的擬蒙特卡洛模擬結果更接近于真實值，且蒙特卡洛模擬結果較真實值的偏離程度比應用布朗橋的蒙特卡洛模擬的偏離程度要大。因此，可以得出結論，擬蒙特卡洛模擬和蒙特卡洛模擬應用布朗橋方法可以得到更好的結果。

4 結論

論文在給出具體歐式期權的參數情況下，分別采用蒙特卡洛和擬蒙特卡洛模擬方法對具體的歐式期權進行定價，并以Black-Scholes歐式期權定價模型的結果作為標準對兩種方法進行比較。兩種方法的模擬結果顯示擬蒙特卡洛模擬方法較蒙特卡洛模擬方法更加有效，收斂速度也更快。但由于論文只對歐式期權進行定價，且問題的維度比較低，因此只能概括出在低維的情況下擬蒙特卡洛模擬更加有效。根據蒙特卡洛模擬的收斂速度公式，可以看到其有效性與問題的維度沒有太大的關系，也就是說蒙特卡洛模擬方法適用于所有維度的問題，應用面也更廣。而根據擬蒙特卡洛模擬的收斂速度公式可以推出，當問題維度提高的情況下，擬蒙特卡洛方法會出現一定的偏差，尤其在高緯度問題情況下該方法的偏差也很大，因此為了得到更好的模擬結果，論文通過布朗橋等恰當的路徑產生法結合運用控制變量法等誤差減小方法縮小模擬的誤差，從而改善擬蒙特卡洛模擬在高維情況下的表現，使模擬結果更加接近真實值，使該方法適用于高維的問題。

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（編輯：張萌）

Abstract： Varying interest rates， unpredictable cases， and other complications all put forward higher requirements in the financial derivatives pricing methods. Monte Carlo simulation is an appropriate approach for financial derivatives pricing. It uses the pseudorandom sequence to simulate the price path of the underlying asset， then prices the corresponding options. But this method has some drawbacks： its convergence speed is slow and It can not approach true value effectively by increasing the number of simulation. Quasi-Monte Carlo method improves the shortcomings of Monte Carlo method.，using low-discrepancy sequences instead of pseudorandom sequence， then improves the accuracy of the simulations. This paper prices the European vanilla options using Monte Carlo method and Quasi-Monte Carlo method， then does the comparative analysis for the two methods. The results show that under the condition of low dimensional Quasi- Monte Carlo simulation method can get more precise result， and the convergence speed is faster. Under the condition of high dimension the Quasi-Monte Carlo method can arrive the same results by correction.

Keywords：Monte Carlo；Quasi-Monte-Carlo； European options，；Black-Scholes option pricing model