運用數形結合，提煉數量關系

謝博超

一、以形助數，著眼意義理解

分數解決問題的基礎和關鍵是對“分數的意義”和“一個數乘分數的意義”的理解，學生只有對這兩個意義理解到位，才能將較復雜的分數解決問題轉化歸結為“一個數×幾分之幾=另一個數”這樣的數量關系去解決問題。而一個數的幾分之幾是多少其實是一個數的幾倍是多少的延伸，也就是整數倍到分數倍的延伸，雖然在之前學生已經建構了“一個數×倍數=這個數的幾倍”這一數學模型，但要讓學生從整數倍過渡到分數倍，還是比較抽象。因此，借助圖形幫助學生理解是非常有必要的。

數形結合，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形聯系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支撐作用，揭示數和形之間的內在聯系，實現抽象概念和具體形象之間的轉化，發展學生的思維。根據小學生的認知規律，如何借助直觀的圖形展現一個數乘分數的意義呢？教師可以通過創設一個情境解決，就如，給一面墻刷油漆，每小時刷這面墻的 ，那2小時刷了這面墻的幾分之幾？ 小時呢？ 小時呢？讓學生根據舊知先列出算式，然后利用長方形表示這面墻，讓學生畫出長方形中 ×2的部分并說出它的意義（圖1）。再讓學生在長方形中畫出 × 和 × 的部分，并讓學生根據畫的過程說出它們的意義（圖2、圖3）。

圖形深化了學生的學習體驗，也讓學生直觀感受一個數乘分數的意義。以形助數，學生不僅對分數的意義有了進一步的了解和認識，更對一個數乘分數的意義形成過程有了更深的感受和體驗，這能為接下來應用分數解決問題打下堅實的基礎。

二、轉數為形，簡化問題類型

學生之所以會覺得分數解決問題難，一方面因為對一個數乘分數的意義理解不到位，另一方面是由于分數乘除法的解決問題類型繁多，對此教師可以引導學生對分數解決問題的類型進行整合分類，化繁為簡。縱觀所有的分數解決問題，其實主要分為兩大類型：“一個數是另一個數的幾分之幾”和“一個數比另一個數多（少）幾分之幾”，用字母表示就是“a是b的幾分之幾”和“a比b多（少）幾分之幾”。前者屬于部分與整體之間的關系，后者屬于不同數量間相比較的關系。如何幫助、引導學生清晰地區分兩種類型的數量關系呢？借助線段圖是非常直觀有效的方法。第一種類型：a是b的幾分之幾，是屬于部分與整體的關系，所以只需要用一副線段圖就能表示出a和b之間的關系（圖4）。第二種類型：a比b多（少）幾分之幾，是屬于兩個數量間相比較的關系，所以需要畫兩條線段圖體現a和b比較的關系（圖5、圖6）。

轉數為形，幫助學生把復雜多樣的分數解決問題簡化為兩大類型，并直觀地讓學生能清晰區分這兩種類型，為學生解決分數問題提供了明確的方向。

三、數形結合，提煉數量關系

運用數形結合能使數量之間的內在聯系變得比較直觀，它是解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，把數和形結合起來考察，根據問題的具體情境，先把數量關系的問題轉化為圖形的問題，再把圖形的問題轉化為數量關系的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。在教學一個數乘分數的意義時，教師就可以鋪墊分數乘法的數量關系：“單位‘1×分率=對應具體量”。在之后的分數解決問題教學中，基于一個數乘分數的意義，教師讓學生畫出線段圖，再次強化數量關系。例如，第一種類型“a是b的幾分之幾”（圖4）。線段圖中的b是單位“1”， 是分率，a就是對應的具體量。所以根據一個數乘分數的意義，數量關系就是“b× =a”。在這個數量關系中，要求a也就是對應具體量，直接用b× =a，也就是用“單位‘1×分率”；如果要求b也就是求單位“1”，就可以用方程解的方法，假設單位“1”為x，當然用算術的方法也可以用a÷ =b；如果要求 也就是求分率，根據數量關系同樣可以用方程解的方法，設分率為x。也就是說根據線段圖提煉出來的數量關系，只要已知單位“1”，分率和對應具體量這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個未知的量。又如“a比b多幾分之幾”（圖5）。學生觀察線段圖，b是比較的標準也就是單位“1”，a是與b比較的比較量。所以根據線段圖得到數量關系是“b+b× =a”，用文字描述也就是“單位‘1+單位‘1的幾分之幾=比較量”。根據線段圖提煉出的這個數量關系，亦能求出未知的量。圖形與代數式有著文字敘述無可比擬的優勢，小學生在接受此類知識時可能有困難，但這個困難不是不可以克服的，一旦克服，提高便是飛躍性的。

總之，分數解決問題的教學是個循序漸進的過程，教師教學時應以形助數，著眼于意義的理解，化數為形，化繁為簡，為學生解決分數問題提供明確的方向和主線，最終提煉出解決問題的核心——數量關系，幫助學生走出解決分數問題的困境。

（作者單位：福建省廈門市集美區新源小學 責任編輯：王彬 黃哲斌）