反思在數學化教學中的應用

秦海慧

數學化，是指人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，以發現規律的過程。弗賴登塔爾首先提出把“數學化”作為數學教學的基本原則之一。作為教育任務的具體數學，數學化教學的課堂，其實就是讓學生經歷將實際問題抽象成數學模型的過程。在這一過程中，孩子像專家一樣思考，經歷知識的來龍去脈，尤其突出反思能力的培養，使反思成為一種生長的力量。

一、數學化教學需要與反思結伴而行

反思習慣只是數學習慣的一部分，為什么數學化教學對此情有獨鐘？究其原因，是數學化教學過程中的高度抽象特點決定的。

弗賴登塔爾把數學化分為兩種類型，一種是“橫向數學化”，即強調生活問題到數學模型，這一過程是建模的過程，如1個蘋果加上1個蘋果等于2個蘋果，諸如此類的生活問題，都可以抽象地用算式1+1=2表示，形成一種數學的符號模型；另一種是“縱向數學化”，即強調數學符號到數學符號，這一過程是變模的過程，如根據乘法算式12×3=36，可以寫出兩道除法算式36÷3=12和36÷12=3，從乘法模型變化成除法模型。學習的過程是兩種數學化交織的過程，抽象不離其中，困難與機遇并存。

進一步說，孩子浸潤在兩種類型的數學化過程中，如果不反思建模和變模的全過程，只是囫圇吞棗地接受一些精密的數學結果和事實，其過程必然是痛苦的，學習結果可想而知。所以，為了孩子的終生發展，數學化教學拒絕單向知識“傳播”，著重引導經歷知識發生的過程，從無到有，從粗糙到精細，從外顯到內化。可以確定的是，沒有反思在場，學習很難像呼吸一樣自然。

二、反思促進數學化教學縱深推進

1.從無到有，反思知識的發生

數學本身就是最好的數學化例證。很多知識“為什么是這樣的”，也就是說，知識發生的原因是什么，如果不能追根溯源弄明白，困擾就會糾纏左右。數學化教學著重引導孩子經歷知識從無到有的過程，并從反思走向理解。

例如在《升的認識》一課中，先通過比較兩只玻璃杯盛水量的多少，自然過渡到裝水多的，其容量就大的事實，直觀感知容量大和小的存在；接著再比較與兩個容量比較接近的水壺的容量，通過“小包大，小的吃不下”和“大包小，大的有剩余空間”的視覺沖擊，初步建立整體的、模糊的容量表象；然后將研究的視角聚焦到大水壺上，“這個水壺容量到底是多大呢？”借助大小兩個不同的杯子，左邊倒滿5杯，右邊倒滿4杯，盡管沒有剩余，但是到底選擇哪個來代表水壺的容量呢？順勢引導反思：“如果再換不同的杯子，其結果又會怎樣？”孩子在積極思考中發現，原來對于相同的水壺，如果用不同的標準去計量它的容量，其結果不統一，不方便交流，這樣做也就沒有現實意義。基于這樣的情感積淀，自然過渡到“為了準確測量或計量容器的容量，要使用同一的單位。”最后，升的出場，認識和了解它變得水到渠成。

2. 從粗到細，反思知識的經過

教材呈現的知識，有些是過程性的，而有些只是結果。孩子的學習不能只有“告訴”，被動接受粗糙的知識，還應該有入木三分的精細解讀。換句話說，就是怎樣將靜態的文本知識有序地轉化為動態的問題，并引導孩子積極參與。

例如在《垂線和平行線》的第一課時，主要是引導孩子從已知的線段出發，線段向一端無限延長，得到的圖形就是射線；而向兩端無限延長，得到的圖形就是直線，然后，再比較三種圖形的相同點和不同點。顯然，這樣的課堂，是把距離當成事實性知識在傳授，孩子被動接受的痕跡明顯。當追問“為什么從這個點到另一點的線段就是兩點之間的距離？”更多的是師者不明白，孩子更糊涂。其實，教師可以借助書中的主題圖，通過三種不同顏色線的對比，引導孩子反思對比，“兩點之間的連線還可以怎樣畫？能畫多少條？要描述兩點之間的長度，選擇哪一條線比較合適？”通過小組討論，逐步逼近數學定律的本質，原來在這些線中，兩點之間線段的長度是確定的，而其他線的長度不確定，所以為了方便交流，“兩點之間線段的長度是兩點之間的距離”的規定，就自然被選擇和確定下來。有了反思的過程，粗糙的數學事實變成了靈動的數學思考。

3.從外到內，反思知識的聯系

知識也是有其自身的結構的，尤其是數學學科邏輯性較強，其結構特征更為明顯。數學化教學強調知識之間緊密的聯系，提倡將知識點嵌入整個知識鏈中，然后縱橫交錯成完整的知識體系。而建構完美的知識大廈，需要反思來助力。

例如在《多邊形面積計算的復習》中，一般情況下，課堂從復習圖形面積公式開始，注重公式的背誦和運用。而圖形之間的聯系，也只是參照書中的主題圖，以學習的先后順序，通過圖形的變化來感知公式內在的聯系。看似每個圖形面積都復習了，由表及里細細分析，其實只是“炒冷飯”，思考沒有深度，對圖形面積的掌握，只會是費時卻不達標。缺少了反思，知識之間恰似一盤散沙。可以引導思考“面積計算中最基本的圖形是誰？”“未知的圖形都轉化成了已知的圖形，轉化的過程一樣嗎？”“為什么三角形和梯形的面積公式中要除以2，而平行四邊形的公式卻不需要？”“圓的面積轉化又有什么有別于其他轉化的地方？” 通過不同層次和不同角度的反思，有力地促進了孩子對轉化本質的把握。◆（作者單位：江蘇省如皋市外國語學校）

□責任編輯：潘中原