勾股定理易錯(cuò)題解析

林學(xué)明

摘要：勾股定理是初中幾何學(xué)習(xí)中重要的定理之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.剖析勾股定理易錯(cuò)題，有助于加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解和掌握，也有助于提高學(xué)生的解題能力.

關(guān)鍵詞：勾股定理 易錯(cuò)題

一、審題不到位，受思維定式的干擾

思維定式是人們受已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，在分析和解決問(wèn)題時(shí)，傾向于固定的思路和習(xí)慣.在解勾股定理題時(shí)，有些學(xué)生受思維定式的干擾和影響，審題不夠嚴(yán)謹(jǐn)、到位，忽略題設(shè)條件，草率作答，從而導(dǎo)致錯(cuò)解產(chǎn)生.

例1 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，求第三邊的長(zhǎng).

錯(cuò)解：第三邊得長(zhǎng)為32+42=25=5.

錯(cuò)因分析：有些學(xué)生由于習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說(shuō)法，在解答時(shí)會(huì)不假思索地直接應(yīng)用.在本題中，由于受思維定式的影響，未認(rèn)真審題，直接套用了“勾三股四弦五”，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.事實(shí)上，“勾三股四弦五”這一理解是存在前提條件的，即若兩直角邊為的長(zhǎng)3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5，而在本題，并沒(méi)有直接指明3和4一定為兩直角邊的長(zhǎng).所以，第三邊有可能為直角邊，也有可能為斜邊.在解答時(shí)，需要分類(lèi)討論.

解：（1）當(dāng)兩直角邊的長(zhǎng)為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)為32+42=25=5.（2）當(dāng)一直角邊的長(zhǎng)為3，斜邊長(zhǎng)為4時(shí)，第三邊長(zhǎng)為42-32=7.綜上，第三邊長(zhǎng)為5或7.

二、理解不透徹，勾股定理及其逆定理混淆

清

在解答勾股定理題時(shí)，有些學(xué)生對(duì)勾股定理及其逆定理的概念理解不透徹，往往將兩者混淆起來(lái)，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)解.

例2 在A港有甲乙兩艘輪船，若甲船沿北偏東30°方向以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)20海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到達(dá)B島，乙船到達(dá)C島，B、C兩島相差50海里.請(qǐng)問(wèn)：乙船是沿哪個(gè)方向航行的？

錯(cuò)解：甲船航行的距離為AB=15×2=30（海里），乙船航行的距離為AC=20×2=40（海里）.因?yàn)?02+402=50（海里），且BC=50（海里），所以△ABC為直角三角形.所以∠BAC=90°.所以乙船是沿著南偏東60°方向航行.

錯(cuò)因分析：本題解法雖然最終的判斷結(jié)果是正確的，但是解題過(guò)程卻存在錯(cuò)誤.錯(cuò)誤原因在于，勾股定理及其逆定理兩者概念理解不透徹，混淆了勾股定理及其逆定理.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題沒(méi)有給出明確的提示，需要我們對(duì)三角形做出判斷.本題應(yīng)運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行求解.

解：甲船航行的距離為AB=15×2=30（海里），乙船航行的距離為AC=20×2=40（海里）.因?yàn)?02+402=2500，502=2500，AB2+ AC2= BC2，所以△ABC為直角三角形.所以∠BAC=90°所以乙船是沿著南偏東60°方向航行.

三、分析不深入，以偏概全而造成漏解

以偏概全錯(cuò)誤是解數(shù)學(xué)題時(shí)比較常見(jiàn)的錯(cuò)誤之一.在解勾股定理題時(shí)，有些學(xué)生分析不夠深入，考慮不夠全面，以偏概全，從而造成漏解，導(dǎo)致答案不完整.

例3 在△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，求△ABC的周長(zhǎng).

錯(cuò)解：如圖1，應(yīng)用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.所以BC=BD+CD=16+9=25.所以△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=20+15+25=60.

錯(cuò)因分析：上述解法犯了以偏概全錯(cuò)誤，只考慮了三角形的高在形內(nèi)的情況，遺漏了三角形高可能在形外這一情況，因而導(dǎo)致出現(xiàn)漏解，造成解題答案不完整.

解：由用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.（1）若∠C是銳角（如圖1），則BC=BD+CD=16+9=25，這時(shí)△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=20+15+25=60.（2）若∠C是鈍角（如圖2），則BC=BD-CD=16-9=7，這時(shí)△ABC的周長(zhǎng)=AB++BC+CA=20+7+15=52.故△ABC的周長(zhǎng)為60或52.

總之，在解勾股定理題時(shí)，錯(cuò)誤是難以避免的，知錯(cuò)能改，善莫大焉.只要學(xué)生有恒心，有信心，善于找錯(cuò)、糾錯(cuò)，就能輕松掌握勾股定理.