勾股定理易錯題解析

林學明

摘要：勾股定理是初中幾何學習中重要的定理之一，體現了數形結合的思想方法.剖析勾股定理易錯題，有助于加深學生對勾股定理的理解和掌握，也有助于提高學生的解題能力.

關鍵詞：勾股定理 易錯題

一、審題不到位，受思維定式的干擾

思維定式是人們受已有知識經驗的影響，在分析和解決問題時，傾向于固定的思路和習慣.在解勾股定理題時，有些學生受思維定式的干擾和影響，審題不夠嚴謹、到位，忽略題設條件，草率作答，從而導致錯解產生.

例1 已知直角三角形的兩邊長分別為3和4，求第三邊的長.

錯解：第三邊得長為32+42=25=5.

錯因分析：有些學生由于習慣了“勾三股四弦五”的說法，在解答時會不假思索地直接應用.在本題中，由于受思維定式的影響，未認真審題，直接套用了“勾三股四弦五”，從而導致錯解.事實上，“勾三股四弦五”這一理解是存在前提條件的，即若兩直角邊為的長3和4時，斜邊長為5，而在本題，并沒有直接指明3和4一定為兩直角邊的長.所以，第三邊有可能為直角邊，也有可能為斜邊.在解答時，需要分類討論.

解：（1）當兩直角邊的長為3和4時，第三邊長為32+42=25=5.（2）當一直角邊的長為3，斜邊長為4時，第三邊長為42-32=7.綜上，第三邊長為5或7.

二、理解不透徹，勾股定理及其逆定理混淆

清

在解答勾股定理題時，有些學生對勾股定理及其逆定理的概念理解不透徹，往往將兩者混淆起來，導致出現錯解.

例2 在A港有甲乙兩艘輪船，若甲船沿北偏東30°方向以每小時15海里的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時20海里的速度前進，2小時后，甲船到達B島，乙船到達C島，B、C兩島相差50海里.請問：乙船是沿哪個方向航行的？

錯解：甲船航行的距離為AB=15×2=30（海里），乙船航行的距離為AC=20×2=40（海里）.因為302+402=50（海里），且BC=50（海里），所以△ABC為直角三角形.所以∠BAC=90°.所以乙船是沿著南偏東60°方向航行.

錯因分析：本題解法雖然最終的判斷結果是正確的，但是解題過程卻存在錯誤.錯誤原因在于，勾股定理及其逆定理兩者概念理解不透徹，混淆了勾股定理及其逆定理.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題沒有給出明確的提示，需要我們對三角形做出判斷.本題應運用勾股定理的逆定理進行求解.

解：甲船航行的距離為AB=15×2=30（海里），乙船航行的距離為AC=20×2=40（海里）.因為302+402=2500，502=2500，AB2+ AC2= BC2，所以△ABC為直角三角形.所以∠BAC=90°所以乙船是沿著南偏東60°方向航行.

三、分析不深入，以偏概全而造成漏解

以偏概全錯誤是解數學題時比較常見的錯誤之一.在解勾股定理題時，有些學生分析不夠深入，考慮不夠全面，以偏概全，從而造成漏解，導致答案不完整.

例3 在△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，求△ABC的周長.

錯解：如圖1，應用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.所以BC=BD+CD=16+9=25.所以△ABC的周長=AB+AC+BC=20+15+25=60.

錯因分析：上述解法犯了以偏概全錯誤，只考慮了三角形的高在形內的情況，遺漏了三角形高可能在形外這一情況，因而導致出現漏解，造成解題答案不完整.

解：由用勾股定理，得BD=202-122=16，CD=152-122=9.（1）若∠C是銳角（如圖1），則BC=BD+CD=16+9=25，這時△ABC的周長=AB+AC+BC=20+15+25=60.（2）若∠C是鈍角（如圖2），則BC=BD-CD=16-9=7，這時△ABC的周長=AB++BC+CA=20+7+15=52.故△ABC的周長為60或52.

總之，在解勾股定理題時，錯誤是難以避免的，知錯能改，善莫大焉.只要學生有恒心，有信心，善于找錯、糾錯，就能輕松掌握勾股定理.