妙用轉(zhuǎn)化思想，巧解平面向量模長最值問題

陳波

摘 要：平面向量具有代數(shù)與幾何雙重身份，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。查閱近幾年來的高考試卷，發(fā)現(xiàn)向量與最值有關(guān)的問題每年都有考查。主要結(jié)合具體實例談?wù)勥@類問題的常用解題策略與方法。

關(guān)鍵詞：平面向量；轉(zhuǎn)化思想；最值

平面向量具有代數(shù)與幾何雙重身份，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。縱觀最近幾年的高考數(shù)學試卷，其中出現(xiàn)不少有關(guān)平面向量模長最值問題。由于這類問題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，大部分試題不以“圖形”為載體，導(dǎo)致題目很抽象，學生往往很難入手。解決此類問題關(guān)鍵在于正確運用相關(guān)知識，進行合理轉(zhuǎn)化。本文主要結(jié)合具體實例談?wù)勥@類問題的常用解題策略與方法。

一、利用向量基本知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題

例1.（2013浙江理17題）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量■=xe1+ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為■，則■的最大值為 .

解：■=■=■

當x=0時，■=0

當x≠0時，

■=■=■

■=■

∵■∈R，∴■≤2

解題思路：借助向量的模長公式，使■轉(zhuǎn)化成關(guān)于■的一個二次函數(shù)最值問題。

二、利用坐標進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖形求向量最值

例2.如圖，點M在扇形AOB的弧AB上且弧AM為弧AB的四分之一。動點C、D分別在OA、OB上，OC=BD。若|■|=1，∠AOB=120°，則|■|+|■|的最小值為______.

解：建如圖所示坐標系

■

因為C、D分別在OA、OB上，

所以設(shè)■=λ■，則■=（1-λ）■

∴A（1，0），B（-■，■），C（λ，0），D（■，■），M=（■，■）

∴|■|=■

|■|=■=■

∴|■|+|■|=■+■

此時的問題可以轉(zhuǎn)化成點（λ，0）到點（■，■）和（1，-1）間的距離之和，即|■|+|■|=■+■，

∴|■|+|■|≥■

∴|■|+|■|≥■∴|■|+|■|的最小值為■.

解題思路：本題通過建立平面坐標系得到關(guān)于向量模長的有關(guān)表達式，因為涉及兩點距離公式，轉(zhuǎn)化成動點到兩定點距離最值問題，回歸到通識通法上去解決問題。

三、轉(zhuǎn)化成有關(guān)三角函數(shù)的式子，利用三角函數(shù)的有界性求最值

例3.（2010浙江卷）已知平面向量■，■（■≠0，■≠■）滿足|■|=1，且■與■-■的夾角為120°，則|■|的取值范圍是 。

解：令θ=（■，■-■），由正弦定理可知：■=■

∴|■|=■sinθ，又∵0<θ<120°，∴0

即0<|■|≤■

解題思路：本題主要考查向量模長及向量減法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，關(guān)鍵是利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的有界性來求最值。

四、利用基本不等式求向量模長的最值

例4.若向量■，■滿足4■2+■■+■2=1，則|2■+■|的最大值為 。

解：4■2+■■+■2=1？圯（2■+■）2=1+3■■

∵■■=■·2■·■≤■（2■+■）2

∴（2■+■）2≤1+■（2■+■）2

∴（2■+■）2≤■？圯|2■+■|≤■（當且僅當2■=■時等號

成立）

平面向量模長最值的有關(guān)問題還有很多種形式，不需要一一掌握。只需要抓住向量模長的最值問題的命題意圖：考查學生建模能力和求最值能力，若能從這兩個方面多下工夫，一定能收獲頗多。類似的方法和結(jié)論也可遷移到空間向量中。

參考文獻：

[1]朱賢良，付朝華.平面向量巧搭臺，“取值范圍”唱好戲[J].數(shù)學教學研究，2014（6）.

[2]陳燕.多視角探尋平面向量最值問題[J].數(shù)學通訊，2014（4）.