奇思妙解通題關

胡曉月

【摘 要】圓錐曲線是高中數學的重點之一，也是近幾年高考數學試題命題的 熱點和重點；它往往是綜合題，在高考試卷中常處于壓軸題的位置，題型變化靈活，能考查學生多方面運用能力，是出活題，考能力的典范；學生在面對一些圓錐曲線的綜合題時往往思維不暢，甚至出現“會兒不對，對而不全”等現象

【關鍵詞】直線參數方程中的幾何意義；參數法；圓錐曲線弦長公式；根與系數的關系

高中數學難，圓錐曲線又是難中之難，這已經成為幾乎所有高三學生的心頭痛.特別是直線與圓錐曲線問題，以其獨有的特點——用代數方法解決幾何問題，以其重要的思想——數形結合的思想將幾何問題化為代數問題，被視為高中數學的重點內容，它與代數、向量、數列、導數等知識的交匯問題，體現了知識面廣、綜合性強、命題新穎等特點，一直是高考的重點、熱點.也是學生們失分點.其實，解析幾何題目自有路徑可循，方法可依。只要經過認真的分析和正確的推理，再結合知識體系的構建完全可以讓高考數學的圓錐曲線難題變成讓我們都很有信心的、得分的中等題目.下面就以2016年課標Ⅰ卷解析幾何題為例談談我解題的感悟。

一、應用傳統解析幾何答題模板解決圓錐曲線弦長問題

設直線l與圓錐曲線C：f（x，y）=0交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點.弦長|AB|公式的計算方法如下：

1.求交點坐標法：

將直線與曲線的方程聯立，求出A、B的坐標，根據|AB|= 求弦長.

2.根與系數關系法：

若直線l的方程為y=kx+m，將其代入f（x，y）=0中得？琢x2+bx+c=0，得x1+x2，x1x2，|AB|= = .若直線l的方程為x=n，代入f（x，y）=0，得？琢x2+by+c=0，得y1+y2，y1y2，|AB|=|y1-y2|.

【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

試題分析：根據|EA|+|EB|可知軌跡為橢圓，利用橢圓定義求方程；（II）分斜率是否存在設出直線方程，當直線斜率存在時設其方程為y=k（x-1）（k≠0），根據根與系數的關系和弦長公式把面積表示為x斜率k的函數，再求最值.

解：（Ⅰ）因為|AD|=|AC|，EB//AC，所以∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又因為圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，所以|AD|=4，由題設得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由橢圓的定義可得點E的軌跡方程為： + =1（y≠0）.

（Ⅱ）當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1） + =1得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0.則x1+x2= ，x1x2= .

所以|MN|= |x1-x2|= .

過點B（1，0）且與l垂直的直線m：y=- （x-1），A到m的距離為 ，

所以|PQ|=2 =4 .

故四邊形MPNQ的面積S= |MN||PQ|=12 .

可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8 ）.

當l與x軸垂直時，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12.

綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8 ）.

由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難點在于引出參，活點在應用參、重點在消去參.而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合題求解的一條有效通道.

二、巧設參數簡化解題步驟

對于過一點P（x0，y0）設直線方程時，為了避免向上面解題中對直線的斜率存在與否進行分類討論，我們可以把直線方程設為x-x0=m（y-y0），達到簡化解題過程的目的.以上例的第二問為例解法如下：

數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心，以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程.在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等）做到思維縝密.推理嚴密.通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力.

三、利用直線的參數方程解決弦長問題能獲得意想不到的效果

直線與圓錐曲線的綜合問題是我們高考的重點問題，也是我們考試的難點問題，這類問題綜合性強，難度大，重點考查運算求解能力，推理論證能力和探索問題能力，一般來說解題入口寬，但進入容易深入難，運算量大，費時耗力，若方法不當，則常常無功而返.但是對于直線與圓錐曲線的有關問題，我們若運用直線的參數方程中t的幾何意義來處理，則可簡化運算，提高解題效率.

經過點P0（x0，y0），傾斜角為？琢的直線的參數方程為x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢（t為參數）

設P是直線上任一點，則t表示有向線段P0 的數量，利用t的幾何意義計算弦長，有時比較方便.具體方法是：

把l：x=x0+tcos？琢y=y0+tsin？琢代入圓錐曲線C：F（x，y）=0，即可消去x，y；從而得到關于t的一元二次方程：？琢x2+bx+c=0（？琢≠0）.當△>0時，l與C有兩個公共點；此時方程？琢x2+bx+c=0（？琢≠0）有兩個不同的實根t1、t2，把參數t1、t2代入l的參數方程，即可求得l與C的兩個交點M1、M2的坐標；另外，由參數t的幾何意義可知弦長|M1M2|=|t1-t2|= .

下面給出例題第二問的第三種解法.

解（Ⅱ）：由題意可設直線l的參數方程為l：x=1+tcos？琢y=tsin？琢（t為參數，0<？琢<？仔），將l的方程代入曲線C1：： + =1中得，3（1+tcos？琢）2+4（tsin？琢）2=12，化簡得（sin2？琢+3）

總之，在解題過程中，我們應該學會從觀察、思考、聯想、變換思考角度方面去分析問題，進而確定解題的思路和方法.我們也應該養成良好的學習品質，勇敢地面對遇到的任何困難，樹立戰勝困難的信心和決心.在我們的思維處于困難的時候，從條件的持定含義分析和解決問題，是解決數學難題的一種有效途徑。