站在數學角度品讀《畫廊》

詹家鰭語

【摘 要】埃舍爾作為一名畫家，在藝術界、哲學界乃至數學界、計算機界都聲名顯赫，而他自己最為得意的作品《畫廊》更堪稱驚世之作，其蘊含的數學原理十分耐人尋味，本文將站在數學的角度分析這幅作品。

【關鍵詞】埃舍爾；《畫廊》；Droste Effect；Mathematica

凡是瞻仰過埃舍爾名作《畫廊（print gallery）》（圖1）的人，無一不為其奇妙之極的構圖發出由衷贊嘆。不只是“畫中之畫”那么簡單，埃舍爾把畫中的世界和畫中畫的世界無縫銜接在了一起。畫面的效果正是Droste Effect，而最經典的Droste Effect并沒有畫中這樣“怪異”的效果。

以圖2為例對經典的Droste Effect做一個直觀的表述。原圖是一個黑邊灰底方形，內含一個從左下指向右上的深灰色箭頭，這類同于《畫廊》中“畫的世界”；接著從中截去一塊（虛線圍住的區域），這一塊相當于《畫廊》畫面中心的留白，該區域中的內容之后再不會出現。對這塊區域是有要求的：它的邊長比例要與原圖相同。稱截取后余下的區域為D。

設圖像中每一點的坐標在復平面上，即坐標（x，y）對應復數 x+yI（I是虛數單位），并有指數形式re？茲I，則如圖2-1到圖2-2所示的變化如下所述：

（*）D中的復數坐標取自然對數變換.

（**）沿x軸負方向平移，緊密排列（圖2-1，也就是將圖中的[1]平移為[2]、[3]），圖像整體在縱坐標上的范圍始終是2？仔，再代入以自然常數為底的指數函數。

最后得到如圖2-2的效果，這也就是最經典的Droste Effect。在此基礎上，若要得到《畫廊》中的效果，只需在（*）與（**）之間做一個旋轉加縮小的操作，使[1]的右上角與[1]的左下角橫坐標相等并且[1]在縱坐標上的范圍依舊保持。

《畫廊》與經典Droste Effect的區別在于：自然對數是多值解析函數，對某區域內的復數取自然對數，任一單值分支再經以自然常數為底的指數函數（是單值函數，也是自然對數的反函數）都能還原該區域。如圖2-2的經典Droste Effect的結果位于黎曼面的同一葉片上，而《畫廊》的結果位于黎曼面的不同葉片上。事實上，《畫廊》的畫面雖然十分怪異，但又相當流暢，原因在于它蘊含著共形映射——這樣的映射保證了在除去中央“奇異點”的余下區域具有保角的性質，能使“旋轉角不變”和“伸縮率不變”。

所以，如果埃舍爾在畫面中心的留白處不斷進行作畫，畫面中想必會出現無數個看畫的男孩，并且順著他們的目光望去，眼中會出現無數個“自己”。

（注：本文制圖使用軟件mathematica10.2.0）

參考文獻：

[1]Bruno Ernst. The magic mirror of M.C.Escher[M].Holland： Cordon Art， 2000.

[2]鐘玉泉. 復變函數論[M]. 高等教育出版社， 2013.

[3]http：//escherdroste.math.leidenuniv.nl

[4]Campbell P J. More Mathematics Than Meets the Eye/Mathematician Fills in a Bland for a Fresh Insight on Art （Book）[J]. Mathematics Magazine， 2002， 75.

[5]Smit B D. The Droste-effect and the exponential transform[C]// 2005.

[6]http：//mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html.

[7]https：//en.wikipedia.org/wiki/Print_Gallery_（M._C._Escher）.