解決立體幾何綜合問題的常用四個方向

紀堯兵

[摘 要] 立體幾何中的動態問題綜合性強，能有效考查學生對所學內容靈活應用的能力. 求解此類問題應立足基礎，充分利用線面平行、垂直原理，平面幾何性質等基礎知識，以及常用解題技巧.

[關鍵詞] 立體幾何；動態幾何；高考數學

題目：如圖1所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1， E，F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB′，DD′交于M，N，設BM=x，x∈（0，1），給出以下四個命題：

①四邊形MENF為平行四邊形；

②若四邊形MENF面積s=f（x），x∈（0，1），則f（x）有最小值；

③若四棱錐A-MENF的體積V=p（x），x∈（0，1），則p（x）是常函數；

④若多面體ABCD-EMFN的體積v=h（x），x∈，1，則h（x）為單調函數.

其中假命題為（ ）

A. ① B. ② B. ③ D. ④

把握平行、垂直原理

空間中的平行關系包括：線線平行、線面平行、面面平行.問題處理中要準確把握三者之間相關推導關系.

對于命題①，利用面面平行的性質即可推出線線平行.

因為平面ADD′A′∥平面BCC′B′，平面EMFN∩平面ADD′A′=EN，平面EMFN∩平面BCC′B′=MF，所以EN∥NF.

同理EM∥NF，所以四邊形EMFN為平行四邊形，故命題①正確.

變式1：如圖2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱CC1上的一個動點，平面BED1交棱AA1于點F，則下列命題中假命題是___________.

①存在點E，使得A1C1∥平面BED1F

②存在點E，使得B1D⊥平面BED1F

③對于任意的點E，四棱錐B1-BED1F的體積均不變

對于命題①，欲使A1C1∥平面BED1F，只需在面BED1F內找到一條直線與A1C1平行即可，易知若點E為CC1的中點，則A1C1∥EF，故①正確.

對于命題②，如圖3，連接B1D，A1D. 設B1D⊥平面BED1F，則B1D⊥D1F. 易知A1D為B1D在平面ADD1A1內的射影，由射影定理知A1D⊥D1F. 顯然不成立，故選項B錯誤.

命題③略.

評析：針對存在型問題的處理，可通過先假所要判斷的點、線、面存在，再通過探究來驗證其真偽.若探究可得滿足命題的關系存在，則命題為真. 反之為假.

借助平面幾何性質

點、線、面是構造空間幾何體的基本元素，因此平面幾何中的某些線、面原理可直接應用于立體幾何中.

對于命題②，因為AC⊥平面DBB′D′，EF∥AC，所以EF⊥平面DBB′D′，MN？奐平面DBB′D′，所以EF⊥MN，所以四邊形MENF的面積S=EF×MN. 因為EF為定值，所以當M，N分別為BB′，DD′的中點時有最小值. 故命題②正確.

變式2：如圖4所示，正三棱錐V–ABC中，側棱長為2，且∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°. 從點A作一截面，使截面與VB，VC相交于E，F兩點，則截面三角形AEF周長的最小值為___________.

解析：截面三角形AEF周長的最小值，即為從點A出發繞側面一周回到點A的最短距離.若將正三棱錐的側面沿側棱VA剪開后展開，如圖5，則所求的最短距離即為該平面圖形中點A與A′的連線長.

因為∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°.

所以∠AVA′=90°，而VA=VA′=2，

所以AA′=2，即截面三角形AEF周長的最小值為2.

評析：在某些幾何問題的求解中，通過將幾何體的表面沿著某些線剪開，將其展開為平面圖形，然后利用平面幾何知識求解，常可有效降低問題求解的難度.

用好分割策略

對于命題③，由圖易知VA-MENF=VN-AEF+VM-AEF，因為S△AEF為定值，M，N到平面AEF的距離為定值，所以A-MENF的體積為定值，即p（x）為常函數，故命題③正確.

變式3：如圖6所示的幾何體為一簡單組合體，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2.

（1）求證：平面PAB⊥平面QBC；

（2）求該組合體的體積.

解析：（1）略.？搖？搖

（2）如圖7所示，連接BD，過B作BO⊥AD， 因為PA⊥平面ABCD，BO？奐平面ABCD，所以PA⊥BO. 因為PA⊥BO，AD⊥OB，PA∩AD=A，所以BO⊥平面PADQ. 因為SPADQ=3，所以VB-PADQ=SPADQ·BO=. 因為QD⊥平面ABCD，S△BDC=，所以VQ-BDC=S△BDC·QD=，所以該組合體的體積為VB-APQD+VQ-BDC=.

評析：分割法是求立體幾何體積問題的有效策略. 通過分割將所求幾何體分解為易于求解的幾個部分，分別求解后再相加即可解決問題. 問（1）要證兩個平面垂直，轉化為證明一個平面內有一條直線與另一個平面垂直；問（2）的關鍵根據條件利用分割法化整體為部分再分別求解即可.

構造目標函數

對于命題④，如圖8過點M作平面MF′N′E′∥平面ABCD，分別交CC′，DD′，AA′于點F′，N′，E′，則多面體ABCD-EMFN的體積V=VABCD-E′M ′F′N ′+VM-E′N′NE+VM-F ′FNN ′，而VABCD-E′MF′N′=1×1×x=x，VM-E′N′NE=×1-2x+-x×1×1=-x，

VM-F′FNN′=×1-2x+-x×1×1=-x，

所以V=x+-x=為常數，故命題④錯誤.

故選D.

變式4：（2016年浙江卷）現需要設計一個倉庫，它由上、下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如圖9所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.

（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少；

（2）若正四棱錐的側棱長為6m，當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

解析：（1）因為PO1=2m，則OO1=8m，VP-A1B1C1D1=SA1B1C1D1·PO1=×62×2=24m3，VABCD-A1B1C1D1=SABCD·OO1=62×8=288m3，V=VP-A1B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1=312m3，

故倉庫的容積為312m3.

（2）設PO1=xm，倉庫的容積為V（x），則OO1=4xm，A1O1=m，A1B1=·m.

VP-A1B1C1D1=SA1B1C1D1·PO1=×（）2×x=（72x-2x3）=24x-x3m3，

VABCD-A1B1C1D1=SABCD·OO1=（）2×4x=288x-8x3m3，

V（x）=VP-A1B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1=24x-x3+288x-8x3=-x3+312x（0

當x∈（0，2）時，V′（x）>0，V（x）單調遞增；

當x∈（2，6）時，V′（x）<0，V（x）單調遞減.

因此，當x=2時，V（x）取到最大值，即PO1=2m時，倉庫的容積最大.

評析：解答與立體幾何最值有關問題的常用策略是根據題目條件構造目標函數，再利用函數最值的求解方法解答，如配方法、均值不等式法、導數法等.另外要注意函數的定義域應結合立體幾何的實際情況.