圖式理論在高中數學教學中的應用探究

常勇

[摘 要] 在數學教學中應用圖式理論，不僅能夠激發學生學習數學的興趣，而且能夠使思維清晰化、知識條件化和結構動態化. 本文在分析基于圖式理論下的高中數學教學原則的基礎上，提出了基于圖式理論下的高中數學教學策略.

[關鍵詞] 高中數學；圖式理論；原則；策略

作為認知心理研究的重要方面，圖示理論是一種研究人的知識是怎樣表征的，該理論認為單元、構成“組塊”以及組成系統是人腦中儲存知識的形式，其實質是一種關于知識的認知模式. 隨著升學壓力的增大，教師常常弱化了概念性的知識而過度地強化程序性的知識，致使學生知其然，而不知其所以然，未能真正地理解數學知識，然而圖式理論的應用，不僅能夠激發學生學習數學的興趣，而且能夠使思維清晰化、知識條件化和結構動態化. 因此，在高中數學教學中應用圖示理論具有十分重要的意義.

基于圖式理論下的高中數學教學原則

1. 層次性原則

數學是一門邏輯性很強的學科.在具體教學過程中，教師應了解學生已有的數學圖式，遵循教學和數學知識本身的邏輯，先講哪個知識點，后講哪個知識點，注重圖式理論應用的層次性原則. 同時，教學內容要符合學生的認知經驗和認知水平，新舊知識之間的聯系點是什么？學生已經具備了哪些數學活動經驗？只有充分掌握了這些知識，才能取得良好的教學效果.

以人教版高中數學為例，筆者在講授“集合”這節課時，面對的是剛剛升入高中、處于“適應”階段的學生，心理上對高中數學存在著恐懼. 從知識層面上分析，學生已經基本掌握了分類討論思想，學習了數的分類、三角形的分類等，這些知識所蘊含的數學知識與即將學習的集合知識密切相關，要引導學生調動已有的圖式，進一步幫助學生理解新的知識點，幫助學生建立新的數學圖式.

2. 過程性原則

現代教學理念認為，學生是學習的主體.在具體教學過程中，通過動手實驗、小組交流、自主學習等方式，克服學生表面參與、一團和氣的現象，徹底把課堂還給學生. 要從圖式化教學模式出發、從學生的角度出發，幫助學生建立和擴充自己的知識框架，真正達到內化知識、理解知識的目的. 以人教版高二數學“隨機事件的概率”課程教授為例，如果直接給出概率的性質，學生即使能夠正確掌握其性質，但也會產生懷疑，如果通過學生自己拋擲硬幣的方法得到相應的判定性質，讓學生親自參與和感受定會更加牢固.

3. 有效性原則

教案是教師的必備工具，是課前撰寫好為課堂教學服務的，但未必對課堂上發生的所有事情都有所預料，因此，教師在具體教學中因充分調動學生有效的圖式，對于發生的突發情境，應及時改變教學策略，全面提升學生的基本知識和技能. 例如，在講授立體幾何時，按照教案筆者應先介紹球體的形狀，但通過提問學生對球體的形狀已經充分掌握，此時，教師應改變教學策略，將其重點放置在球體的性質上.

基于圖式理論下的高中數學教學策略

1. 充分發揮學生的已有圖式？搖

高中學生已經積累了一定量的數學圖式，在具體教學實踐中，教師應全面了解學生的已有圖式，善于運用學生熟悉的生活場景和已有的知識結構設計教學活動，使學生更易理解概念、公式以及定理成立的條件. 例如，很多學生對于實數的絕對值和平面向量的模常?；煜?，筆者通過錯誤案例的分析，引導學生比較幾何意義和代數形式之間的區別，即絕對值是數軸上的點到原點之間的距離，模是在坐標平面內平面向量對應的點到原點之間的距離，使學生充分理解a=是a=的延伸，是一維向二維轉變的必然趨勢.

2. 注重圖式的練習訓練

眾所周知，羅馬不是一日建成的，對于圖式的建構需要一定量的實踐和積累才能實現，并且當前大多數學生只聽老師的講解，缺乏相關習題的訓練. 因此，教師要注重圖式的變式練習和變式訓練，最大限度地讓學生感知不同題目程序性知識的異同，親自經歷相關題目的解答過程，提高圖式建構的質量. 值得說明的是，圖式的練習訓練并不是讓學生進行“題海戰術”，并不是大量地記憶解題的過程和步驟，而是引導學生形成分析、歸納的數學習慣，讓學生在做題過程中提取相似的知識和方法，積極主動地掌握數學的內在規律，從而幫助學生豐富和形成新的圖式.

例如，在講解等比數列知識時，筆者給出了以下題目并設計相關變式題目進行訓練.

已知數列a1=1，an=2an-1，求出數列{an}的通項公式.

變式1：已知數列a1=1，an=2an-1+1，①求出數列{an}的通項公式；②求證：{an+1}是等比數列.

變式2：已知數列a1=1，an=λan-1+μ，求出數列{an}的通項公式.

變式3：已知數列a1=1，an=2an-1+2n，求出數列{an}的通項公式.

變式4：已知數列a1=1，anan-1+2（n-1）·an-nan-1=0，求出數列{an}的通項公式.

同時，加強練習過程中的指導，如果學生自主學習過程中得出的結論不正確，這樣學生可能會將錯誤的方法和答案構建到自己的圖式中. 因此，教師在講解題目時，通過同時呈現圖式的正例和反例，使學生能夠辨別兩者的不同之處，對于易發生錯誤的地方進行著重強調，從而形成對問題和知識的完整性結構認識，形成有效的圖式.

例如，筆者在章節復習提高課時，遇到了這樣一個題目：

已知-1

對于此題，大多數學生通常采用如下的解法.

由已知條件，-1

①②兩式相加，可得

①②兩式相減，可得-

所以，-<2x-3y<，顯然此題按照此法無法得知答案，甚至有學生理直氣壯地斷言該題本身存在著錯誤或沒有答案.

筆者在得知學生的這種做法后，并沒有及時給予學生解釋，而是引導學生應用線性規劃的方法進行求解.

在坐標系中畫出-1

當目標函數2x-3y經過點B（1，-2）時取得最大值，最大值z=2×1-3×（-2）=8，當目標函數2x-3y經過點A（3，1）時取得最小值，最小值z=2×3-3×1=3，對于這兩種解法，為什么會得出不一樣的結果？此時，學生非常迷惑，筆者以此為契機，提醒學生解答不等式時該注意哪些事項，第二種線性規劃的解法給我們帶來了那些啟示. 最后，引導學生自主思考和總結，不斷補充和完善自己的不等式圖式.

3. 創造良好的課堂氛圍

學習興趣是學生學習動機的重要組成部分，對于圖式的構建具有不可替代的作用，因此，教師應將學生接受知識的意愿和學生的學習緊密地結合起來.通常情況下，學生產生學習的興趣主要與以下幾個方面密切相關：一是符合自己的能力；二是學生關注或好奇的事情；三是通過自己的努力一定能夠獲得成功；四是自己內心抱有成功想法的事情. 因此，教師從以上幾個方面入手，努力改善學生的數學學習.

一是注重生生和師生之間的交流.生生之間的交流既可以幫助迷惑的學生找到問題的答案，而且更為重要的是無形中完善自己的圖式；二是建立和諧的師生關系，營造出一種有利于圖式構建的環境；三是擴大數學活動的范圍，通過開展數學辯論會、舉辦數學講座等方式激發學生學習數學的興趣，促進圖式的有效構建.

4. 加強有意義結構的數學問題圖式教學

完整的問題圖式具有良好的聯想和預測功能，在高中數學教學中，應培養學生敏銳的觀察力，充分挖掘題目中所隱含的初始條件，為問題的高效解決提供一種新的方法、策略和思路. 同時，加強數學結構圖式的應用，指導學生將已經建立的圖式合理地轉化為適用條件、結構特征等具體的問題圖式，形成大量有意義結構圖式，從而達到解題方法的最優化.

例如，筆者在指導學生解答函數f（θ）=的最值問題時，大部分學生能夠迅速識別出問題的本質，利用三角法進行解決，但這種做法費時費力，若將該函數看作是以sinθ、cosθ為變量的函數，則可以將原式看作是經過（sinθ，cosθ）、（1，2）兩點的直線斜率公式這一圖式，則問題迅速地轉化為圓到點（1，2）之間的最值問題，這種解法不僅簡單易行，而且促進學生認知結構不斷完善.

綜上所述，高中數學中應用圖式對于教師的教和學生的學具有十分重要的作用，它存在于學生的長期記憶中，是關于知識的表征，并且能夠通過思維活動的方式表現出來. 因此，在高中數學教學中，教師應最大限度地幫助學生不斷建立和完善數學圖式，不斷提高學生的數學素質.