繁中求簡 簡亦有道

沈亞琴

[摘 要] 運算求解是高中數學學習中必備的能力之一，在解決解析幾何的相關題目中顯得尤為重要. 很多學生在解決解析幾何題時總是知難而退，半途而廢. 筆者認為，我們要學會優選解題方法，適時調整運算思路，繁中求簡.

[關鍵詞] 解析幾何；運算求解；簡化計算

波利亞說過“掌握數學就是意味著善于解題”，那么何為“善于”，如何做到“善于”，是我們作為數學老師應該思考的問題. 縱觀歷年高考題、模考題，學生們在解析幾何題目的得分總是令人遺憾，很多學生都覺得有解題思路，但是總是被煩瑣的計算給難住了，更讓人懊惱的是很多學生堅持了計算，則最終的結果不是這錯就是那錯，題目分沒得到卻大大消耗了做題時間. 但是運算求解一直是高考考查的數學基本能力，在考試說明中明確規定運算求解的考查要求是：能夠根據法則公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理簡潔的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估算和近似計算. 那么在解析幾何的教學中我們更應該引導學生認真審題，多角度嘗試，選擇恰當的方法，把握好運算方向，提高學生運算的信心. 下面筆者來談一談解析幾何中的化簡之道.

回歸定義，從雙基出發

例1：已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與橢圓相交于A，B（點A在第一象限）兩點. 若3=，則k=__________.

解法1：因為橢圓離心率為，所以a=2b，半焦距c=b. 故直線AB方程為x=y+b. 聯立橢圓與直線方程可得：4+y2+y-b2=0，故y1=，y2=. 由3=可得：3y1=-y2，解得k=.

解法2：==e，設AF=m，BF=3m，da==，db==.

設直線AB的傾斜角α，則cosα==，k=tanα=.

評注：解法1純粹按照題意，體現了橢圓與直線相交的相關計算，但是再審題后會發現所涉及的兩個線段很特殊，是橢圓上的點到右焦點的距離，由此立即聯想到第二定義，轉化為點到右準線的距離. 利用基本定義，化繁為簡.

關注圖形特點，不走尋常路

例2：已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P，Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，求m的值.

解法1：把圓方程x2+y2+x-6y+m=0與直線方程x+2y-3=0聯立，代入消元，設P（x1，y1），Q（x1，y1），不求坐標，由根與系數關系，設而不求，根據OP⊥OQ即x1x2+y1y2=0，求出m值.

常規解法實現了從條件到結論的數學解題過程，但很多學生不太容易攻克計算這一難關. 細細想想題目中有圓這個優美圖形，還有直角三角形、等腰三角形，試試去挖掘一下圖形的特點.

解法2：由圓心M坐標及直線l1：x+2y-3=0，求出與直線l1：x+2y-3=0垂直的圓直徑所在直線方程l2：2x-y+4=0；再求出兩直線的交點N（-1，2）；求得？搖ON=，N為PQ中點；最后由Rt△OPQ的性質ON=PN，坐標P（3-2a，a），求出P，Q坐標為（-3，3），（1，1）.

代入圓方程x2+y2+x-6y+m=0，得m=3.

評注：解法1的思路非常常規，是解決垂直問題的通法，解法2充分關注圖形的特點，大大降低了運算量.

利用常用結論，減少繁雜運算

例3：平面直角坐標系xOy中，已知過點1，的橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），過焦點F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點B關于坐標原點的對稱點為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準線l于M，N兩點.

（1）略；（2）略；（3）記M，N兩點的縱坐標分別為yM，yN，試問yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

這是2014屆南京鹽城高三一模的18題，當時第三問的得分極低.很多學生解題時都知道運用設而不求的方法，先設出點B的坐標，但是在后期算點A的坐標時比較煩瑣，很多學生知難而退，半途而廢.其實在算點A的坐標比較煩瑣時可以嘗試將它先設出來，再結合

常用結論：P是橢圓+=1上任意一點，P1P2是過中心O的任意一條弦，則kPP1·kPP2=-和點差法就可以迎刃而解.

解：（3）當kAB不存在時，易得yMyN=-9.

當kAB存在時，設A（x1，y1），B（x2，y2），則P（-x2，-y2），所以+=1，+=1，兩式相減， 得= -，

所以=-=kPA·kAB .令kAB=k=，則kPA=-，？搖

所以直線PA方程：y+y2=-（x+x2），所以yM=-（x2+4）-y2，

所以yM=--y2. 所以直線PB方程：y=·x，所以yN=，？搖

所以yMyN=-3×-. 又因為+=1，所以4y=12-3x，

所以yMyN=-3×= -9，所以yNyN為定值-9.？搖？搖

評注：在解析幾何中有著很多常用的結論，這些結論更多的是圖形變化過程中的一些不變的關系，在解題時善于運用這些結論，以不變應萬變.

優選解題方法，規避煩瑣運算

例4：已知橢圓E：+y2=1的左、右頂點分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動點 P，P在x軸的上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB.（1）略；（2）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍.

解法1：設P（x0，y0），直線PA的方程為y=（x+2），代入橢圓方程E：+y2=1，得x2+（x+2）2-4=0.

因為x+y=4，所以x2+（x+2）2-4=0，

整理得（10-3x0）x2+（32-16x0）x+24-20x0=0.

此方程有一根為-2，設D（x1，y1），則x1=，

代入直線PA方程，得y1=.

則k1=，k2===.

因為k1=λk2，所以x0=.

因為-2

解法2：因為點P在x軸的上方，所以易知k1·k2≠0. 設直線

AP的斜率kAP=-，則與直線CD：y=k2（x-1）聯立，得D，. 將點D的坐標代入橢圓E：+y2=1，得（k1k2）2+4（k1k2）-12k=0.

兩邊同時除以k，得k=12-4=12-4λ>0，所以λ<3.又因為λ=≠0，

所以λ的取值范圍為（-∞，0）∪（0，3）.

評注：解決直線與圓錐曲線的一種通法就是設而不求，整體消元，那么第一步究竟設哪個點.點P是一切變化的根源，解法1也在情理之中. 但是點D也非常特殊，它不僅是直線AD與橢圓的交點，同時也是直線AP，CD的交點. 簡單一點說直線AP，CD和橢圓三線共點，那么為什么一定要聯立直線AP與橢圓求點D，這是為了優化一下解題方法，聯立直線AP，CD算出點D，在代入橢圓方程，不僅可以解題，而且簡化了計算.

縱觀上述題目，解析幾何中的計算煩瑣是公認的，但有時的煩瑣卻是人為的. 在解析幾何的教學中要加強學生數學思想方法的指導和訓練，積極引導學生多角度考慮，發現解析幾何的本質，并通過問題不同解法的比較分析不斷積累解題經驗，若能長期堅持定能收到良好的效果.