一道數列不等式證明方法的深入探究

童昌盛

[摘 要] 本文對一道數列不等式證明深入探討，得到五種不同證法，從而開拓學生的思維，感受數學知識的聯系與應用，提升學生分析問題的能力，開發學生的解題智慧.

[關鍵詞] 放縮；轉化；構造

（聯考試題節選）？搖證明：+++…+<（n∈N*） .

證法一：柯西不等式放縮

+++…+

<++…×（12+12+…12）

=n×++…+

=n×-+-+…+-

=n×-=，

所以+++…+<<，

故原不等式成立.

點評：聯系柯西不等式，構造其形式，達到放縮目的從而可以求和得結論，可很好地考查和訓練學生的知識之間的聯系與應用.

證法二：構造新數列放縮

記Tn=1+++…+，

則T2n-Tn=1+++…++++…+-1+++…+

=1+++…++++…+-2+++…+

=1-+-+-+…+-.

當n≥3時，T2n-Tn<1-+-+=<=.

因為T2n-Tn=++…+，

當n=1時，左=<，當n=2時，左=+=<<，

故原不等式成立.

點評：通過本試題的結構特點，構造新的數列，把后面負數丟掉，從而放大，但要注意不能放得過大，這里可以考慮從哪一項開始放縮.這種證法能很好地培養學生的構造思想，同時也提醒在放縮過程中的放縮大小.

證法三：倒序求和與放縮

設An=+++…+，

An=+++…+，

所以2An=++++…++

=（3n+1）++…+.

又（2n-k）（n+1+k）=2n（n+1）+2nk-（n+1）k-k2=2n（n+1）+（n-1）k-k2

=2n（n+1）+（n-1-k）k≥2n（n+1），

所以<，

所以2An<（3n+1）++…+=（3n+1）

=<=，

所以An<<，

故原不等式成立.

點評：這種證法是根據不等式的特點，利用倒序求和得到另一規律，從而進行放縮求和完成證明. 這種證法考查學生的觀察分析能力.

證法四：定積分應用

+++…+=·++…+，

根據定積分定義得

·++…+

因為ln2-=<0，

所以+++…+<.

點評：根據定積分的定義與其該不等式的結構的關系，從而進行放縮證明.這種證明方法很好地考查學生的知識間的聯系及其相互應用.

證法五：數學歸納法——加強不等式

先證明不等式：

+++…+<-（n≥2，n∈N*）

用數學歸納法證明

當n=2時，左邊=+=<==-=右邊，

所以不等式成立.

當n=k（k≥2，k∈N*）時，不等式成立，即+++…+<-，那么，n=k+1時，

左邊=++…+++

<-++-

<-<-，

所以當n=k+1時，不等式成立.

由上得，不等式+++…+<-（n≥2，n∈N*）成立.

顯然，-<（n≥2，n∈N*），

當n=1時，左邊=<=右邊，

綜上，可得，+++…+<.

點評：數學歸納法中加強不等式構造也是數列不等式證明出現的一種現象，先證明一個可以用數學歸納法證明的不等式，另一個不等式-<（n≥2，n∈N*）顯然成立，從而得證. 這種證法考查學生的數學歸納法的掌握深度.