童昌盛
[摘 要] 本文對一道數列不等式證明深入探討,得到五種不同證法,從而開拓學生的思維,感受數學知識的聯系與應用,提升學生分析問題的能力,開發學生的解題智慧.
[關鍵詞] 放縮;轉化;構造
(聯考試題節選)?搖證明:+++…+<(n∈N*) .
證法一:柯西不等式放縮
+++…+
<++…×(12+12+…12)
=n×++…+
=n×-+-+…+- =n×-=, 所以+++…+<<, 故原不等式成立. 點評:聯系柯西不等式,構造其形式,達到放縮目的從而可以求和得結論,可很好地考查和訓練學生的知識之間的聯系與應用. 證法二:構造新數列放縮 記Tn=1+++…+, 則T2n-Tn=1+++…++++…+-1+++…+ =1+++…++++…+-2+++…+ =1-+-+-+…+-. 當n≥3時,T2n-Tn<1-+-+=<=. 因為T2n-Tn=++…+, 當n=1時,左=<,當n=2時,左=+=<<, 故原不等式成立. 點評:通過本試題的結構特點,構造新的數列,把后面負數丟掉,從而放大,但要注意不能放得過大,這里可以考慮從哪一項開始放縮.這種證法能很好地培養學生的構造思想,同時也提醒在放縮過程中的放縮大小. 證法三:倒序求和與放縮 設An=+++…+, An=+++…+, 所以2An=++++…++ =(3n+1)++…+. 又(2n-k)(n+1+k)=2n(n+1)+2nk-(n+1)k-k2=2n(n+1)+(n-1)k-k2 =2n(n+1)+(n-1-k)k≥2n(n+1), 所以<, 所以2An<(3n+1)++…+=(3n+1) =<=, 所以An<<, 故原不等式成立. 點評:這種證法是根據不等式的特點,利用倒序求和得到另一規律,從而進行放縮求和完成證明. 這種證法考查學生的觀察分析能力. 證法四:定積分應用 +++…+=·++…+, 根據定積分定義得 ·++…+ 因為ln2-=<0, 所以+++…+<. 點評:根據定積分的定義與其該不等式的結構的關系,從而進行放縮證明.這種證明方法很好地考查學生的知識間的聯系及其相互應用. 證法五:數學歸納法——加強不等式 先證明不等式: +++…+<-(n≥2,n∈N*) 用數學歸納法證明 當n=2時,左邊=+=<==-=右邊, 所以不等式成立. 當n=k(k≥2,k∈N*)時,不等式成立,即+++…+<-,那么,n=k+1時, 左邊=++…+++ <-++- <-<-, 所以當n=k+1時,不等式成立. 由上得,不等式+++…+<-(n≥2,n∈N*)成立. 顯然,-<(n≥2,n∈N*), 當n=1時,左邊=<=右邊, 綜上,可得,+++…+<. 點評:數學歸納法中加強不等式構造也是數列不等式證明出現的一種現象,先證明一個可以用數學歸納法證明的不等式,另一個不等式-<(n≥2,n∈N*)顯然成立,從而得證. 這種證法考查學生的數學歸納法的掌握深度.