雙參數指數分布平均壽命比率的區間估計

袁守成

（普洱學院數學與統計學院，云南普洱665000）

雙參數指數分布平均壽命比率的區間估計

袁守成

（普洱學院數學與統計學院，云南普洱665000）

假定產品壽命服從雙參數指數分布，在無替換定數截尾壽命試驗場合下通過分布的Edgeworth展開和對應分位數的Cornish-Fisher展開方法得到了兩獨立產品平均壽命比率的漸進分布及置信區間。經過分析，所給出的置信區間不僅適用于大樣本的情況，而且在小樣本的條件下同樣令人滿意。

雙參數指數分布；置信區間；Edgeworth展開；Cornish-Fisher展開

0 引言

產品質量是一個企業發展與競爭的重要因素之一，而產品的壽命是產品質量的重要評價指標。在生產中，經常會碰到這樣一些問題：某產品壽命與其升級前或與其他同類產品壽命相比較是否有相對優勢，是否能夠達標。因此，兩種產品平均壽命比率的估計是一個不可忽視的問題。雙參數指數分布是產品壽命分析中常見的一種分布，設某產品的壽命X服從雙參數指數分布，其密度函數為：

f(x;μ，θ)=θ-1e-(x-μ)/θ， x≥μ

記做X～EXP(μ，θ)，其中θ＞0為尺度參數，-∞＜μ＜∞為位置參數。容易得到產品的平均壽命為μ+θ，故兩種獨立產品的平均壽命的比率為它們各自參數之和的比率。關于這方面的研究已有一些成果。例如，在文獻[1]中，給出了平均壽命比率樞軸量的漸進分布是標準正態分布，但該方法收斂速度很慢，在小樣本要求下，效果不令人滿意。在文獻[2]中，作者基于廣義變量的方法討論了平均壽命比率的置信區間，但該方法涉及大量模擬計算，所得結論不具有一般性。本文主要研究兩獨立產品平均壽命比率的區間估計問題，主要依據Edgeworth展開和Cornish-Fisher展開的方法，該方法在很多統計推斷問題[3-6]中有廣泛的應用，但是在產品壽命的分析中卻很少見到。本文利用這種方法對分布函數進行合理的逼近，利用更多的分布信息來減少平均壽命比率區間估計的誤差。通過分析比較，本文給出的置信區間不僅適用于大樣本的情況，在小樣本的條件下同樣令人滿意。

1 預備知識及引理

由于在無替換定數截尾壽命試驗中得到的數據是不完全的，故不能用樣本均值的比作為平均壽命比率的估計。又因為產品的平均壽命為兩參數之和，即θ+μ，所以一個自然的想法是用兩參數的UMVUE之和作為平均壽命的估計，從而可以用來作為平均壽命比率的相合估計，因為當截尾數r→∞時，，所以。

定義2[3]：設是未知參數θ的樣本容量為n的相合無偏估計，方差，且服從漸進，那么稱：

關于累積量[3]的計算，設ξ為標準化后隨機變量，則前四階累積量分別為，而三、四階的累積量κ3和κ4被認為是偏度和峰度，在正態逼近中用于糾正產生的偏差。在實際應用中，通常展開到第二項，也就是保留到：

定義3[3]：設Vn的分布函數滿足Edgeworth展開，表示Vn的α分位點，即zα表示

為Vn分位點的Cornish-Fisher展開，其中：

V的分位點wα的Cornish-Fisher展開為：

利用中心極限定理，有：

而

2 主要結果

U的分位點wα的Cornish-Fisher漸進展開為：

其中

定理2：平均壽命比率R在置信水平為1-α的近似置信區間為：

其中

3 總結

由于所構造的置信區間是從平均壽命比率樞軸量的分布函數入手，其中保留了重要的分布信息，所以該區間不僅適用于大樣本的情況，而且對小樣本的估計也是令人滿意的。不難發現，在無替換定數截尾壽命試驗中，當截尾數r趨于無窮時，區間(3)和區間(4)是無差別的，但是當r不是很大時，置信區間中的關鍵wα因素也隨著r做適當的調節。從而本文給出的置信區間與文獻[1]中的區間相比較，本文給出的效果更優。

[1]Shi J H,Lin H M.Inferences on the Difference and Ratio of the Means of Two Independent Two-Parameter Exponential Distribution [J].Chinese Journal of Applied Porbability and Statistics，2013,1,(19).

[2]李建波，張日權.雙參數指數分布參數比率統計推斷的研究[J].應用概率統計，2010,34(1).

[3]Hall P.The Bootstrap and Edgeworth Expansion[M].New York: Springer，1992.

[4]Abramovitch L,Singh K.Edgeworth Corrected Pivotal Statistics and The Bootstrap[J].Ann.Statist.，1985,(13).

[5]Beran R.Simulated Power Functions[J].Ann.Statist.，1986,(14).

[6]Fujikoshi Y,Ulyanov V V,Shimizu R.Multivariate Statistics: High-distribution and Large-sample Approximations[M].America: Wiley，2009.

[7]周源泉,劉文生，田勝利.雙參數指數分布的可靠性評估(I)[J].質量與可靠性，2004，(1).

（責任編輯/亦民）

Interval Estimation on the Ratio of Average Life for Two-Parameter Exponential Distribution

Yuan Shoucheng
(College of Mathematics and Statistical Science,Puer University，Pue Yunnan 665000,China)

Assuming that product life follows two-parameter exponential distribution,we obtain the asymptotic distribution and confidence interval of the ratio of two independent product life based on the Edgeworth expansion and Cornish-Fisher expansion in the case of fixed-number censored life time testing without replacement.Analyses indicate that the proposed confidence interval is not only suitable for large samples,but also equally effective for small samples.

two-parameter exponential distribution;confidence interval;Edgeworth expansion;Cornish-Fisher expansion

O211.3

A

1002-6487（2017）11-0014-03

普洱學院科學研究項目資助（201334）

袁守城（1981—），男，甘肅景泰人，博士研究生，講師，研究方向：應用統計學。