論相對運(yùn)動(dòng)的圖示
——從一道高考真題的去留之爭談起

程靖龍

(陜西省瀚普思教育咨詢有限公司 陜西 西安 710072)

論相對運(yùn)動(dòng)的圖示
——從一道高考真題的去留之爭談起

程靖龍

(陜西省瀚普思教育咨詢有限公司 陜西 西安 710072)

與相對運(yùn)動(dòng)相關(guān)的一道高考真題被熱議多年，至今物理學(xué)界尚沒有統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，暴露了當(dāng)下相對運(yùn)動(dòng)分析方法存在的不足．文章給出了一種新的相對運(yùn)動(dòng)圖示法，該方法以伽利略變換為依據(jù)，創(chuàng)新點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)了有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)可以分別用來表示研究對象和參考系．

相對運(yùn)動(dòng) 相對運(yùn)動(dòng)圖示法 相對速度關(guān)系圖 相對位移關(guān)系圖 相對加速度關(guān)系圖

2013年高考上海物理卷第20題被持續(xù)熱議數(shù)年．至今，中學(xué)物理教師群體主張的兩種不同的參考答案各說各話．一些教師在專業(yè)期刊發(fā)文，支持上海考試院給出的參考答案[1～5]．可是，就在這道題被“品讀”[1]、“賞析”[2]和“釋疑”[3]將近3年之后，對上海考試院公布的參考答案持不同見解的一方提出了“再思考”[6]．該作者給出的結(jié)論是，該題會(huì)使得“師生在教學(xué)過程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突”，也會(huì)像作者那樣“陷入不可知論”，建議該題“被各類教學(xué)資料舍棄，使之離開中學(xué)物理教學(xué)”．

筆者認(rèn)為，2013年上海卷第20題是一道多年來罕見的好題．這道題的存在，強(qiáng)有力地提醒著我們不能濫用平行四邊形矢量合成法則，同時(shí)也逼迫著我們認(rèn)識(shí)到高效簡潔的相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖示方法的缺位．(如果這道題從中學(xué)教學(xué)中淡出，非常可惜．)

1 對“再思考”一文的幾點(diǎn)質(zhì)疑

“再思考”一文“也有其他理由說明選項(xiàng)D正確”的3個(gè)理由，均有待商榷．具體如下：

(1)“其一，駁船是無動(dòng)力船，必須在拖船的牽引下運(yùn)動(dòng)．拖船A，B對駁船C的牽引力的合力控制和約束著駁船C的運(yùn)動(dòng)．這樣的話，船C的速度必然在CA繩與CB繩的夾角范圍內(nèi)．”顯然，作者存在認(rèn)知錯(cuò)誤．速度跟合外力并不存在必然聯(lián)系．跟合外力存在必然聯(lián)系的那是加速度！

(2)“其二，正常情況下，如果船C的速度在CA繩與CB繩夾角范圍之外，就會(huì)發(fā)生C船速度偏向一側(cè)的拉繩發(fā)生松弛的情況……”這樣的分析，是作者脫離了題意后的主觀想象．

(3)“其三，由于C船速度在垂直于CB方向的分速度存在，導(dǎo)致CB繩的方向瞬時(shí)變化……”作者沒能把握好題目討論的只是某個(gè)瞬間的狀態(tài)關(guān)系，并不關(guān)注這一狀態(tài)是否可以持續(xù)．

2 高效簡潔的圖示方法支持上海考試院的答案

筆者曾于2015年9月在《中學(xué)物理教學(xué)參考》發(fā)表了《畫相對速度矢量圖 解相對運(yùn)動(dòng)問題》一文[7]，文中，2013年上海卷第20題是作為“相對速度關(guān)聯(lián)關(guān)系的動(dòng)態(tài)分析”的例題呈現(xiàn)的．相對速度關(guān)系圖，最初發(fā)表時(shí)稱作相對速度矢量圖，是筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的圖示相對速度關(guān)聯(lián)關(guān)系的新方法．利用相對速度關(guān)系圖，筆者形象直觀、全局、簡潔地給出了2013年上海卷這道考題的解析過程．

【題目】圖1為在平靜海面上，兩艘拖船A和B拖著駁船C運(yùn)動(dòng)的示意圖．A，B的速度分別沿著纜繩CA，CB方向，A，B，C不在一條直線上．由于纜繩不可伸長，因此C的速度在CA，CB方向的投影分別與A，B的速度相等，由此可知C的( )

A.速度大小可以介于A，B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A，B的速度大小

C.速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內(nèi)

圖1 題目示意圖

解析：首先畫有向線段表示A船和B船的對地(海面)速度vA，vB并標(biāo)注節(jié)點(diǎn)“地”、“A”、“B”．

由于纜繩不可伸長，C船相對于A船的速度必垂直于A和C之間的纜繩、C船相對于B船的速度必垂直于B，C之間的纜繩．完成相對速度關(guān)系圖如圖2所示．

圖2 相對速度關(guān)系圖

題中對vA，vB的大小關(guān)系和夾角均沒有限定，按vA，vB的夾角為銳角另作一圖，保持vB長度不變，令vA長度由很小逐漸增大，節(jié)點(diǎn)C即依次出現(xiàn)在5種不同位置如圖3所示．顯然，vC的方向不一定在vA，vB的夾角范圍內(nèi),且vC既可能大于vA和vB，也可能等于vA和vB的其中一個(gè)．

圖3 節(jié)點(diǎn)C出現(xiàn)不同位置

另，據(jù)圖3通過想象可知，vA，vB的夾角為直角或鈍角時(shí)，節(jié)點(diǎn)C的位置只有C3一種可能，此時(shí)，vC的方向一定在vA，vB的夾角范圍內(nèi)且一定大于vA和vB．

綜上，選項(xiàng)B和C正確．

解析中畫的相對速度關(guān)系圖，大家也許不會(huì)馬上就能領(lǐng)會(huì)其所以然，這需要從速度的圖示說起．

3 相對速度的圖示

筆者查閱了數(shù)十本大學(xué)物理教材，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的最后一節(jié)的標(biāo)題多為《相對運(yùn)動(dòng)》，但是，沒有一本教材明確指出如何就相對速度關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行圖示．再看中學(xué)物理教材，雖然存在著一些圖示速度關(guān)系的圖，卻也從來沒有把速度的圖示當(dāng)作課題研究過．似乎認(rèn)為，懂得了力的圖示就自然懂得了速度的圖示，理由是速度跟力一樣都是矢量．這正是問題的根源．

講授力的圖示之前，教材先介紹了力的三要素，這樣，也就明確了力的圖示的內(nèi)容，即力的圖示必須表達(dá)3個(gè)內(nèi)容：作用點(diǎn)、大小和方向．假如我們把速度的圖示也能當(dāng)作課題研究，就會(huì)很自然地發(fā)現(xiàn)，速度的圖示有4個(gè)要素需要表達(dá)：研究對象、參照物(參考系)、大小和方向．

對于速度方向限定在一條直線上的運(yùn)動(dòng)情形，我們可以建立一維速度坐標(biāo)軸；對于速度方向限定在一個(gè)平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情形，我們可以建立二維速度坐標(biāo)平面；對于速度方向不在同一平面上的運(yùn)動(dòng)情形，我們可以建立三維速度坐標(biāo)空間．下面以速度方向被限定在同一平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情形為例探求圖示速度的4個(gè)要素的方法．

以大家都熟悉的小船渡河的情境為例(圖略)，選大地為參考系，在vxOvy直角坐標(biāo)系中畫出表示水的流速和船的對地航速的有向線段．為了區(qū)別這兩個(gè)速度，我們通常采用標(biāo)注有向線段的辦法，分別標(biāo)記為v水和v船，由于默認(rèn)參考系都是大地，我們沒有在標(biāo)記中指出參考系，如圖4所示．

圖4 選取大地作參考系

假如要求標(biāo)注參考系，我們通常會(huì)標(biāo)記為v水地和v船地，如圖5所示．

圖5 標(biāo)注參考系

筆者發(fā)現(xiàn)，在vxOvy直角坐標(biāo)系中，表示速度的兩條有向線段的箭頭位置，分別跟兩個(gè)運(yùn)動(dòng)對象“船”和“水”有對應(yīng)關(guān)系，兩條有向線段的共同起點(diǎn)“O”跟共同的參考系“地”有著對應(yīng)關(guān)系，如圖6所示．為方便敘述，我們把坐標(biāo)系中跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的點(diǎn)稱作節(jié)點(diǎn)，圖4中即有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，“船”、“水”、“地”即為對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)名．連接圖6中“船”和“水”兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖7所示．

圖6 研究對象有對應(yīng)關(guān)系的點(diǎn)作節(jié)點(diǎn)

圖7 連接“船”和“水”兩個(gè)節(jié)點(diǎn)

根據(jù)基于伽利略變換的速度合成定理，即絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和，可以判定：由節(jié)點(diǎn)“水”指向節(jié)點(diǎn)“船”的有向線段表示了船對水的相對速度，由節(jié)點(diǎn)“船”指向節(jié)點(diǎn)“水”的有向線段表示了水對船的相對速度．

進(jìn)一步可以得出結(jié)論：速度坐標(biāo)空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的每一條線段同時(shí)表示一對相對速度．具體表示某一相對速度時(shí)，箭頭位置標(biāo)注研究對象，箭尾位置標(biāo)注相應(yīng)參考系．

圖7中，各運(yùn)動(dòng)對象之間相對速度的關(guān)聯(lián)關(guān)系由各節(jié)點(diǎn)在速度坐標(biāo)空間中的相對位置表示出來，跟各個(gè)運(yùn)動(dòng)對象對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值的絕對值無關(guān)，故畫相對速度關(guān)系圖時(shí)速度坐標(biāo)系隱去不畫，如圖8所示．

圖8 隱去坐標(biāo)系的相對速度關(guān)系圖

相對速度關(guān)系圖中每一條線段同時(shí)表示了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)對象之間的一對相對速度，只有明確指出某條線段的具體含義時(shí)才畫出相應(yīng)的箭頭．

4 相對位移關(guān)系圖和相對加速度關(guān)系圖

速度坐標(biāo)空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的每一條線段同時(shí)表示一對相對速度．具體表示某一相對速度時(shí)，箭頭位置標(biāo)注研究對象，箭尾位置標(biāo)注相應(yīng)參考系．這樣畫出的圖，稱作相對速度關(guān)系圖．這個(gè)結(jié)論可以拓展應(yīng)用．

在研究相對位移時(shí)可以拓展為：位移坐標(biāo)空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的每一條線段同時(shí)表示一對相對位移．具體表示某一相對位移時(shí)，箭頭位置標(biāo)注研究對象，箭尾位置標(biāo)注相應(yīng)參考系．據(jù)此畫出的是相對位移關(guān)系圖．

在研究相對加速度時(shí)可以拓展為：加速度坐標(biāo)空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的每一條線段同時(shí)表示一對相對加速度．具體表示某一相對加速度時(shí)，箭頭位置標(biāo)注研究對象，箭尾位置標(biāo)注相應(yīng)參考系．畫出的是相對加速度關(guān)系圖．

5 例題

【例1】(2016年高考江蘇卷第14題)如圖9所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細(xì)線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上.滑輪左側(cè)的細(xì)線水平，右側(cè)的細(xì)線與斜面平行.A和B的質(zhì)量均為m.撤去固定A的裝置后，A和B均做直線運(yùn)動(dòng).不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g.求：

(1)A固定不動(dòng)時(shí)，A對B支持力的大小N；

(2)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，B的位移大小s；

(3)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)的速度大小vx.

圖9 例1題圖

解析：(原解析略)下面僅就(2)、(3)問分別畫出相對位移關(guān)系圖和相對速度關(guān)系圖求解．

根據(jù)細(xì)線不可伸縮，知物塊B對斜面A的位移大小等于斜面A對地的位移大小，均為x，結(jié)合角度關(guān)系畫出相對位移關(guān)系圖，如圖10所示．

圖10 相對位移關(guān)系圖

由余弦定理得

同樣根據(jù)細(xì)線不可伸縮，知物塊B對斜面A的速度大小等于斜面A對地的速度大小，均為vA，結(jié)合角度關(guān)系畫出相對速度關(guān)系圖，如圖11所示．

圖11 相對速度關(guān)系圖

其中

vBA=vA=vx

由余弦定理得

物塊B和斜面A構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，物塊B的重力勢能減少量等于A和B動(dòng)能增加量．

物塊B下降高度為xsinα，有如下方程

聯(lián)立以上各式，得

【例2】如圖12所示，質(zhì)量為m2的小球靜止在質(zhì)量為m1，傾角為θ的斜面上，斜面與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．若使小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，加在斜面上向左的拉力F應(yīng)滿足什么條件？

圖12 例2題圖

解析：小球加速度豎直向下，大小為g,即a球=g，依題意，斜面加速度水平向左．小球恰好自由下落時(shí)，斜面對小球的加速度方向與水平方向夾角為θ，斜向左上方，相對加速度關(guān)系圖如圖13所示．

圖13 相對加速度關(guān)系圖

要小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，即斜面不能影響小球的下落，斜面體相對于小球的加速度，即圖13中a斜球的方向與水平方向的夾角不能大于θ，據(jù)圖中幾何關(guān)系有

又

a球=g

結(jié)合受力分析由牛頓第二定律有

m1a斜=F-μm1g

聯(lián)立以上各式，得

受以上兩道例題啟發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)：相對運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對位移關(guān)系圖和相對速度關(guān)系圖二者同型；相對運(yùn)動(dòng)均為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對位移關(guān)系圖、相對速度關(guān)系圖和相對加速度關(guān)系圖三者同型，可以給相對運(yùn)動(dòng)分析帶來一定的方便.

6 結(jié)束語

2013年高考上海物理卷第20題被熱議多年，物理學(xué)界對此尚未達(dá)成共識(shí)，甚至出現(xiàn)了讓這道題淡出中學(xué)物理教學(xué)的呼聲．這一現(xiàn)象充分表明，當(dāng)下的物理教學(xué)針對相對運(yùn)動(dòng)的分析方法尚存在著不足．

以節(jié)點(diǎn)為特色的系列相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖解決了這一問題．基于伽利略變換的速度合成定理，僅在論證這個(gè)圖的科學(xué)性時(shí)被用到，利用圖解決問題時(shí)則無須考慮，這給分析相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系帶來了極大方便．

“簡單性原理正是理論物理的一個(gè)重要方法論原則．”[8]在系列相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖中，把大地這樣的“絕對”參考系跟其他研究對象平權(quán)處置，跟物理學(xué)獨(dú)有的統(tǒng)一、和諧、簡單的美學(xué)追求相吻合．在絕對參考系被無視的情況下，圖中各節(jié)點(diǎn)之間的線段均表示一對相對運(yùn)動(dòng)，圖中幾何關(guān)系呈現(xiàn)出來的正是各相對運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系．故，把該圖稱作相對運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)關(guān)系矢量圖，簡稱為相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖．需要特別提示的是，用矢量合成圖的眼光審視該圖是不合適的．

在系列相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖中，用節(jié)點(diǎn)表示的研究對象可以是物理情境中的物體、物體上的點(diǎn)或者其他任何確有所指的運(yùn)動(dòng)對象．很顯然，相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖并不局限于平面圖形，也可以是立體圖形或者一維的圖線．

求解2013年高考上海物理卷第20題時(shí)，矢量合成法則不能用.一部分中學(xué)物理教師也在糾結(jié)為什么.筆者認(rèn)為，造成這種局面是因?yàn)楦咧形锢斫滩陌严鄬\(yùn)動(dòng)問題按運(yùn)動(dòng)的合成和分解處理，存在不當(dāng).

1 邱菊燕.品讀2013年上海高考第20題.物理教師，2013(12)：76～77

2 王磊，馮守燦.賞析2013年上海高考物理第20題.物理通報(bào)，2014(11)：96～97

3 丁士亮.2013年上海高考物理第20題釋疑.中學(xué)教學(xué)參考，2014(29)：76

4 李愛華.“母”“子”反目——圖說一道競賽題與高考題的孰是孰非.物理教學(xué)，2014(9)：74

5 楊培軍，王鵬.再議“母”“子”反目——利用相對運(yùn)動(dòng)解決雙繩拉船問題.物理教學(xué)，2015(3)：66～68

6 鐘傳波.2013年上海高考物理卷第20題的再思考.物理教師，2016(4)：76～80

7 程靖龍.畫相對速度矢量圖 解相對運(yùn)動(dòng)問題.中學(xué)物理教學(xué)參考，2015(9)：43～45

8 沈葹.美哉物理.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2010

DiscussionontheGraphicofRelativeMotion——fromtheBattleovertheFutureofaCollegeEntranceExaminationProblem

ChengJinglong

(ShaanxiHapassEducationConsultingCoLtd，Xian,Shaanxi710072)

There is no identicalview on a college entrance examination problem related relative motion ,although that has been hotly debated for years. As a result, we could conclude that the relative motion analysis method of present is not perfect. This paper is going to give a new kind of relative motion graphic method which is based on Galileo transformation. And a Innovative point is found that two endpoints of a directed line segment can be used to represent the research object and reference frame Individually.

relative motion；relative motion graphic method；relative velocity diagram；relative displacement diagram；relative acceleration diagram

2016-09-07)