感觸 追尋 表達

高益蘭

摘要：習題教學是高三復習課的重要形式，學生的數學復習離不開解題，數學解題與錯誤如影隨形。本文筆者結合自身的高三教學實踐，歸納整理了學生日常作業與模擬考試解題中易犯的高頻錯誤，并對各種錯誤成因進行分類剖析，“感觸問題，追尋錯誤的根源，學會正確而永恒的表達結果”給出針對性的教學對策以期能幫助學生在解題中減少失誤，提高數學解題能力，進而使高三解題教學更加高效給力。

關鍵詞：感觸；追尋；表達

G633.6

一、課題的提出

解題教學占據了高三數學教學的大部分時間，學好數學離不開解題，學生通過解題可以加深對概念的理解，優化數學認知結構，訓練數學思維，提高自身分析和解決問題的能力。

現象一：上課聽得懂，作業不會做。

現象二：難的做對，簡單的反而失分。

現象三：老師反復講，學生照樣錯。

現象四：老師講的津津有味，學生無動于衷。

……

“人非圣賢，孰能無過”，但為什么會一錯再錯呢？用一個心理學上的名詞來說，叫做“動力定型”。所謂“動力定型”，就是大腦皮層對刺激的定型系統所形成的反應定型系統。簡單的說，就是先入為主和習慣成自然的效應。錯誤的概念、習慣和方法搶先刺激了學生的大腦皮層，刻下了深刻的印象。具體來說，“一錯再錯”大致有以下幾種原因：

1.學生層面

（1）知識性錯誤。（2）習慣性錯誤，習慣成自然。（3）思維性錯誤。

2.教師層面

（1）沒有全面了解學生具體的錯誤情況。（2）教師講，學生看，學生再模仿老師的解題過程進行強化訓練。這樣的教學過程缺乏數學學習中本應該經歷的直覺、想象、類比、概括表達等一系列思維過程，這樣講解習題學生能聽懂，但是缺乏真正的啟發，學生難以體會理解題中所蘊含的真正的思想方法，沒有經歷將知識化歸的心理過程，所以會出現“一錯再錯”也在所難免。

二、“一錯再錯”現象的策略研究

不同的錯題類型產生的原因迥然不同，其解決的策略也各異，方法也有別。如果不加以區別對待的話，是不可能做到輕松學習，更談不上學會學習和享受學習了。要根據錯誤的原因運用相應的對策，對癥下藥才能不斷收獲進步的果實。以下是相關策略的初步應用。

（一）感觸錯題的根源，撥云見日

1.正本清源，暴露學生思維受困過程

學生易犯錯的第一大原因是“認知結構不足”。在高三第一輪復習中，學生雖然對教材的內容都已學過，但所學知識只是零零星星、模模糊糊的，沒有形成一個良好的知識體系，而且對數學概念、定理、公式及一些常用的方法的理解、掌握僅停留在表面層次，不能舉一反三、靈活運用，更不能對知識進行有效的遷移等等。

【案例1】：已知等差數列{}與{}的前項和分別為Sn和Tn，且，求

通過實物投影，兩位學生的解答：

甲的解法是：等差數列{an}與{bn}的前項和分別為Sn和Tn，

乙的解法是：

全班同學滿臉困惑地盯著投影。

師問：一道題目，兩個答案！孰是孰非？

丙（發現）說：我認為甲的解法絕對正確，乙的解法覺得有問題。

師問：那么問題在哪里呢？

通過學生共同討論，反復推敲，

丙（再次起立）說：我發現這樣的設法有問題。

，這種設法雖然保證了條件的成立，但等差數列的前項和Sn不是的n一次函數，而是n的二次函數，即這樣設法就錯誤了。

錯誤的原因找到了，學生十分激動。但我沒有就此罷休，一個強烈的念頭迫使我沿著學生的思路繼續下去。

師問：既然Sn是n的二次函數，那么把上面的設法改一下如何？

丁說：

師說：結果完全正確！是巧合嗎？那么可以在課后對一般情況加以驗證，證明這個方法是正確的。那么能否這樣？

戊毫不猶豫的說：這樣設絕對有問題，因為中常數項為零。所以只能設常數項為零的二次形式。

師說：對呀！我們的學習就應該看到本質特征，那么一個問題可滲透一連串的知識。達到事半功倍的效果，我們應該有積極探索的精神。

對于已經出現的知識性錯誤，需要點面結合，在應對“一錯再錯”的同時，實現錯題效用最大化。事物是普遍聯系的，錯題的形成也許并非一個孤立現象，錯題涉及的知識本身只是一個“點”，但這個點上的錯誤，很有可能是由于學生對于整塊知識的掌握偏差所導致的。因此，在學生自主分析整體錯題的同時，教師也應當深究學生錯題的知識點分布以及之間的內在聯系，引導學生從錯誤點出發，形成對一個或若干知識塊的掌握與體系構建，尋找導致錯誤的更加廣泛的原因，在普遍聯系中避免“一錯再錯”情況的發生。

2.研究錯題，以問題驅動讓學生從根源上徹底解決原有的知識性錯誤。

“問題驅動”，就是教師把問題作為學生學習的動力源，讓學生產生學習的欲望，全心投入解決問題的活動中.教師在設置具體的問題情境時，需要注意的是把握好問題設置的難度和梯度，一定要在學生“最近發展區”內設置問題，應遵循以下原則：一是低起點原則.問題起于知識原點、背景材料、學生的認知障礙、自然現象等。二是邏輯鏈原則。設置的問題應構成一條邏輯線索，根據知識層次設置問題或根據方法設置問題，即知識線和方法線，問題之間必須存在邏輯聯系，是一個邏輯鏈.三是梯度小原則.筆者比喻為盤山公路式，起點低、坡度小、路程長、目標達成度高.當然在教學過程中，如果學生能提出問題（生成性問題），那是更好更高的境界。

【案例2】問題1：函數的零點是__________；

生1：（2，0）（馬上有學生爭論：不對，應該是2）

師：到底是（2，0）還是2呢？（教師沒有立刻給予評價，而是指導學生回憶零點概念等有關知識）

總結梳理：函數零點概念：對于函數，把使方程的實數x稱為函數的零點.實際上函數的零點就是方程的實數根，也是函數的圖象與x軸交點的橫坐標.即：

方程有實數根函數圖象與x軸有交點函數有零點

變式1：若函數有一個零點3，那么函數的零點是___

變式2：函數的零點個數為________.

本問題的設計目的與意圖是通過問題驅動帶動學生去復習鞏固知識，通過總結梳理零點的概念，函數零點與函數圖象與x軸交點橫坐標、方程有實數根之間的等價關系，并通過友情提醒的方式，讓學生明白“零點不是點，而是一個數”。應該說問題設計的起點非常低，通過問題變式的設計，難度逐漸提升，很好地將函數與方程的思想滲透在問題解決之中。

教學過程中學生在教師的問題鏈引導下總結提煉解決函數零點問題常用的三種方法，即（1）解方程法；（2）零點存在性定理法；（3）圖象法.取得了很好的效果。

3.重視數學閱讀，提高有效審題能力

數學是一種語言，由于其高度抽象，符號眾多，成了學生解題時的障礙，“閱讀能力”實際上是一種搜索、整理、提煉信息的能力。很多學生對這類題往往無從下手。本人嘗試指導學生“整體把握文本內容，理清思路，劃出重點語句，轉化成數學符號語言”來進行閱讀，達到了較好的效果。

因審題不清而導致出錯的情況舉不勝舉，那么學生應當怎么應付這種低級錯誤呢？筆者認為應當從以下四方面入手

（1）審題型

為什么要審題型？實際問題是各種各樣、千差萬別。但可以對其進行分門別類，歸納為有限的問題模型后再進行解題，從這個角度上說，題型決定了出題的方向、解題的方法，也

就決定了我們緊接下來的其他審題步驟。

【實例1】

其實對題型的判斷不僅是審題中的重要環節，它還是一個對解題模式的識別和應用過程。這就需要解題者一方面具有豐富的信息貯存；另一方面又善于在通曉基本題型的基礎上以靈活、流暢的思維去解決千百萬化的各種問題，尋找到最合理、最恰當的解題方法。

（2）審文字

審文字除了逐字逐句認真閱讀題目外，還必須把你現在碰到的題目與以前的題目相聯系。注意題目中文字有沒有增多或減少，尤其在題目中出現一些看起來本不應該在生物題目中出

現的修飾語時，更應該引起你充分的警覺，因為這些修飾語往往很可能是解題的關鍵所在。

【實例2】求過曲線點（1，-1）的切線方程

學生的錯解：

錯解分析：過曲線上的點（1，-1）的切線方程與切線的切點可能是（1，-1），也可能不是（1，-1），本題錯誤的原因就是把（1，-1）當成了切點。這里的“過”與“在”一字之差，但意義完全不同。

（3）審方法

同樣一道題目，解題方法可能會有很多，這時不要以為隨便給出一種方法就可以了。其

實，方法的好壞不僅決定了解題速度的快慢，在有些情況下，解題方法很可能影響到學生的

成績。

【實例3】

顯然，思路1做不下去，思路2計算繁瑣，思路3事半功倍。

（4）審全程

一般認為，審題是解題的首要步驟，是正確解題的前提。事實上，應該把審題貫穿于解

題過程的始終，與解題“同生共長”。尤其碰到難題時，這種解題方法尤為重要。

（二）經歷追尋錯誤的過程

對于教學過程中學生偶然出現的此類錯誤，不能一帶而過，教師需要指出、引導、探究、糾正，讓這些課堂生成的教學情境發揮作用。解決“一錯再錯”中的思維偏差，就必須在錯題探究中強化思維方法引導。對于錯題，學生不僅要“知其然”，而且要“知其所以然”，不僅要從知識層面“知其所以然“，還要從思維模式方法上有所反思和改進。

1.以錯題本的形式將錯題整理成冊

這種做法可謂一舉兩得，一方面讓學生對此類錯誤產生“預警”，另一方面讓以往的錯題成為今天的教學資源。

對此，我們可以采用“日減一誤”的方式，一次考試或者訓練后，讓學生總結，在這次考試中有多少題目是因為不良的審題習慣，粗枝大葉導致的。例如，這次考試共十處此類錯誤，那么下一次考試計劃減少到八次，通過這種方法，讓學生有計劃地消滅錯題，看到自己每天的進步，循序漸進地改變審題習慣。

2.編制《憶往昔崢嶸錯題》的練習卷，開設《敢問錯在何方》的活動課

在學生整理的同時，教師也應當整理出一個“錯題題庫”，并定期采用“題庫”中的題目進行“錯題再練”，以實現良好審題素養的培養。錯題再練的試卷在編制過程中應當有所混合，即保證大部分都是“錯題再練”的情況下，混入一些普通題目；對錯題本身不應照搬照抄，對題干題枝，材料問題可以適當地做一些創新和調整，以防止學生對錯題進行機械記憶。“錯題題庫”應當豐富多樣，可以是選擇題，可以是判斷題，也可以是改錯題。題庫也應當經常更新，使得題庫能夠有序流動。

在高三大量的復習課背后，如果能定期的開展一節以《敢問錯在何方》為主題的課堂，一方面糾正了錯誤，另一方面加深了學生對錯題的印象，更加強化了師生、生生之間的互動和情感。

（三）合作與探究，形成正確表達方式

教育家羅杰斯說過：“凡是教師能夠講述的，能夠傳授的知識，多半是死的，凝固的，無用的知識；只有學生自己發現、探究的知識，才是活的，有用的知識。”思維是具有高度抽象性的意識活動，很多情況下只可意會不可言傳，對于這種類型的錯誤，單純依靠教師的講解分析是蒼白無力的，教師應當在充分表達自己的解題思路的同時，鼓勵學生自主探究，形成屬于學生自己的正確合理，且個性化的思維方式。

1.學生自我剖析錯題，重視學生心理素質的培養

波利亞提出的數學教學的三原則之首是主動學習原則，弗賴登達爾也認為學校的教學必須使學生由被動地聽發展到主動地獲取知識.讓學生說題，本質上是對老師說題活動的模仿，就是把審題、分析、解答和回顧總結的思維過程按一定準則說出來，促使學生暴露面對題目的思維過程，通過老師引導，同學相互補充，去偽存真，系統地把握解題過程。

案例：已知平面向量滿足，則的取值范圍是_________ .

生甲：①知識點：此題主要涉及向量模的概念及其運算.

②切入點：本題的關鍵是如何將條件進行有效轉化，使等量關系轉化為不等量關系.本題條件為等量關系，而要求的結論是不等量關系即的取值范圍，一般可以通過“與的不等關系”、“向量的幾何表示”、“模的運算轉化為數量積的運算”、“向量的坐標表示”等途徑將兩者聯系在一起.

③解題思路：

方法1（不等式法）：根據三角不等式可得，即.

方法2（幾何法）：當不共線時，可構成如圖三角形，根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得，所以.

方法3：兩邊平方得，整理得，解得.

方法4：記，，則.以所在直線為軸，以為坐標原點建立直角坐標系，則可求得點的軌跡方程為，則的取值范圍.

④溯源：從本題的方法4可以看出本題源自阿波羅尼斯圓（筆者曾經作過專題復習，所以學生經過自己深入分析能找到題目的本源），即三角形一邊為定值，另兩邊的比值為定值的動點軌跡

⑤延伸：

結論的延伸：（2008江蘇）滿足條件的三角形面積的最大值是 ___________.

題設的推廣：（2010浙江）已知平面向量滿足，且與的夾角為120°，則的取值范圍是 ___________.

由于說題的技能涉及到程序性知識，所以，開始時教師要多通過自己的說題來示范，否則，學生可能會感到無從下手；要明確要求每一位同學在說題之前有自己的想法，要在說題之前有充分的準備；所說的題目以中等難度或稍微偏難一點的，不能太難，太難則沒有思路，不能太容易，太容易則沒有挑戰性；說題訓練要有專門的時間安排，并且要長期堅持，比如每兩個星期選一節自修課進行訓練；說題的重點在于對學習過程中對思維活動的檢查和調節，要反思自己是怎樣發現和解決問題的，要立足于反思數學問題解決過程的3個階段：解題目標的認定與計劃的擬定、解題中的實際控制、解題后的反思；通過一段時間的說題，可以進行測驗以檢驗說題效果，讓同學們看到效果會激發同學以更大的熱情投入到這一訓練活動中。

2.課堂例題教學中，形成有效的反思示范

反思是為了把從反思過程中所獲得的感性認識悟化到理性認識的過程，從中發現規律，洞察本質。這個過程對學習數學，理解數學具有特殊的重要性，但這恰恰又是學生感到比較困難的地方。因此，如何進行反思，如何從反思中發現規律，這些都需要教師在課堂教學中進行示范、點撥。比如我在對高三學生進行三角恒等變形教學過程中，師生一起進行了如下的解題反思：

案例、求值：

解：原式==

==.

反思解題過程 這個題目的特點有：

（1）三角名稱中既有正弦，又有正切，所以應減少函數種類，方法是“切化弦”，這是求解這類題的通法。

（2）在化簡的第二步，分子中出現了同一個角的正弦與余弦的和，可考慮應用來進行化簡。

（3）同一個角的正弦與余弦的積利用了二倍角公式來化簡。

通過這個反思，學生基本上能理解這個題目的實質，類似情境下的問題學生能輕易解決了。當然這個反思過程需要教師在課堂中與學生一起探索，學生才能掌握并逐步形成反思性學習習慣。

參考文獻：

[1]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，1998.

[2]杜曉新、馮震著.元認知與學習策略[M] .北京：人民教育出版社，1999

[3]章建躍.為什么學生聽懂了卻不會用[J].中小學數學（高中版）2010（12）

[4]董榮森 以“目標”引領教學以“三動”激活課堂。中學數學教學參考2014.12