淺談基于定積分極限定義的“微元法”

于娟+吳淑君

摘 要：定積分定義是一元函數積分學中一個非常重要的概念，其與一元函數的極限、不定積分等都有著密切的聯系。“微元法”是一類應用定積分解決實際應用問題比較有效的數學方法。本文從定積分極限定義出發，分析并給出尋找待求量微元的一般方法，以加深初學者對微元法的理解。

關鍵詞：定積分定義 微元法 基本思想

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）05-0023-01

1 引言

從古希臘阿基米德的“窮竭法”、魏晉時期數學家劉徽的

“割圓術”，到17世紀德國天文學家開普勒的“行星運動三大定律”，再到牛頓—萊布尼茲微積分理論的初步確立，其基本思想方法均可歸結為“分割，近似代替，求和，取極限”。在應用定積分解決實際問題時，若按定積分定義求解，則需要進行“分割，近似代替，求和，取極限”這四步，顯然這種做法太過繁瑣。因此，在處理實際的幾何、物理、化學及經濟學等問題時，往往把這個過程簡化成一種比較簡捷的數學方法——微元法。對于初學者來說，在用微元法解決實際問題時，往往僅僅是機械的模仿，而并未領會到微元法的核心思想所在。因此本文從定積分的極限定義式（特殊和式的極限）出發，分析如何給出待求量的微元。

2 基于定積分定義的微元法

由上述分析知，微元法是根據定積分的極限定義，把其過程簡化抽出其本質，進而把所求量表示成定積分的一種簡便方法。其思想是“化整為零”，先分析“微元”，再通過“微元”分析整體，也即“積零為整”。通俗地說就是把研究對象化分為無限多個無限小的部分，取其具有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到整體加以綜合考慮的一種思維方法，在這個方法里充分體現了積分的思想。

微元法其實質仍然是一個特殊和式極限，只不過它簡化了分割、近似代替、求和、取極限這種一般描述，而重點突出了用近似方法求微元，把求和與取極限的過程直接變為求定積分，所以用微元法解決實際問題更簡便，應用范圍也更廣。而在具體用微元法解題時，首先要根據已知條件確定與待求量F有關的變量x的取值區間，然后在此區間上任取一個典型小區間[x，x+dx]，最關鍵是找到典型區間[x，x+dx]上部分量△F的近似值， 并設法表示為x的連續函數f（x）與dx的乘積。一般情況下，所求量的變化是非均勻連續變化的，但是在局部，在變化的一瞬間，可近似地把它看成是均勻連續變化的。因此，在實際應用中， 通過在子區間[x，x+dx]上把非均勻變化的量近似看成是均勻的， 這樣以均勻代替不均勻，以不變代變，將所求得的值作為△F的近似值，也即作為F的微元。由此可知，應用微元法的關鍵是寫出正確簡便的微元表達式dF=f（x）dx。而在應用微元法解決問題時，人們往往忽視了近似代替量所需滿足的條件， 即誤差△F-f（x）dx應為△x的高階無窮小，這是由函數微分的定義所決定。現在關鍵的問題是如何檢驗△F-f（x）dx是△x的高階無窮小呢？我們可以采用下面的定理來驗證。

（1）F對區間[a，b]有可加性；（2）對區間[a，b]上的任意子區間

[x，x+dx]有：mdx≤F[x，dx]≤Mdx， 其中m，M分別是f（x）在區間[x，x+dx]上的最大值和最小值。

這樣，便可保證所找待求量F的微元是正確的，從而將待求量表示成一個定積分。

3 結語

微元法是用定積分解決實際應用問題的一種有效的數學方法，但在使用微元法時，要以整體為依托，不能隨意取元。所取微元應具有所研究的整體對象的基本特征。

參考文獻：

[1] 費祥歷，亓健.高等數學（上冊）[M].北京高等教育出版社，2015.8.

[2] 薛長峰.微元素法原理再探討[J].鹽城工學院學報：自然科學版，2007，20（4）：15-16.