數形結合方法在小學數學高段問題解決教學中的運用

【摘要】在小學數學高段問題解決教學中，不論是在新授課，還是在練習課，都離不開數形結合方法的運用。數形結合方法的運用價值在于能基于數學現象或事實進行合理猜想;增加合情推理結果的可靠性;利用直觀描述，讓問題解決的方法更明了;遵循探究軌跡，讓問題意識得以增強;與生活相聯系，讓問題解決更具現實意義。因此，在教學中，教師要在鉆研教材、探究體驗、知識遷移、練習訓練、歸納總結等過程中運用數形結合方法，以發揮數形結合方法對問題解決教學的作用。

【關鍵詞】數形結合方法;問題解決;小學數學

作者簡介：曹飛（1988—），女，江蘇省南京市瑯琊路小學柳洲東路分校。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”“學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想?！盵1]數形結合方法在小學數學高段教學中應用廣泛，具有諸多價值。教師要讓學生適時、靈活地運用這種方法去解決問題。

一、數形結合方法在小學數學高段問題解決教學中的運用價值

（一）基于數學現象或事實進行合理猜想

數學猜想的提出常常是從觀察開始的。運用數形結合方法有利于學生進行觀察，提出合理的猜想。

例如，在學習“釘子板上的多邊形”一課時，學生通過觀察教材中的釘子板上的圖形，發現多邊形邊上的釘子數與多邊形的面積之間存在2倍的關系。由此，有的學生猜想所有多邊形邊上的釘子數均是多邊形面積的2倍。為了驗證學生的猜想，教師拿出1塊釘子板，上面分別用橡皮筋圍成了1個內部沒有釘子的三角形、1個內部有1枚釘子的四邊形和1個內部有2枚釘子的梯形。這時，學生很快就發現了問題，只有第2個圖形符合之前的猜想，其他2個圖形均不符合。學生將這塊釘子板上的圖形與教材中的釘子板上的圖形進行比較，發現多邊形的面積除了與多邊形邊上的釘子數有關，還與多邊形內部的釘子數有關。學生隨即將猜想的內容進行完善，在之前的猜想的基礎上加了“當多邊形內部只有1枚釘子時”這個前提。學生通過不斷的舉例和尋找反例來驗證完善之后的猜想，最終認定這一猜想是合理的。

上述探究和反思的過程中，數與形交替出現。教師引導學生先根據形探究數之間的關系，提出猜想，再根據形反思猜想的合理性，通過比較2塊釘子板上的圖形及相關數值，讓學生猜想的內容更加完善，例證的結果更加合理。由此可見，數形結合方法在猜想環節的作用不可小覷。

（二）增加合情推理結果的可靠性

由于受思維水平和所掌握的知識的限制，學生推理得出的結果不一定可靠，因此在條件允許的情況下，教師仍然要引導學生利用已有的數學結論或規律來說明推理的結果，并且至少要通過計算、畫圖、實驗等方式增加結果的可靠性。

例如，在學習“解決問題的策略—列舉”一課時，有的學生探究了關于“找出面積最大的長方形花圃”的問題之后，得出的結果是：解決這類問題，一般可以采用2種策略，1種是列算式，另1種是列表。這屬于合情推理的結果。不過，也有一些學生會通過數形結合的方式去解決這類問題，即用圖形來代替題目中花圃的木條，試著圍一圍。這種數學抽象的方法更符合情境的要求，也更容易被學生理解和掌握。這些學生在解題的過程中能夠直觀感知圍出來的圖形的大小，同時也能例證列算式、列表這2種策略的合理性。

在上述過程中，學生可以學會運用多種方法來解決問題。但是在這些方法中，學生比較愿意接受或者了解的往往是數形結合的方法。這是由學生的思維特點決定的。在學生經歷合情推理的過程之后，數形結合方法可以為問題的解決提供另1個途徑。采用這種方法，可以增加合情推理結果的可靠性。

（三）利用直觀描述，讓問題解決的方法更明了

教師要充分發揮幾何直觀在問題解決過程中的作用，讓學生利用幾何直觀把復雜問題轉化成簡單問題，并從中找到解題的思路，或直接利用直觀的手段求解問題[2]。把數與形相結合，能夠展示直觀描述的結果，讓學生找到1類問題的一般解決方法。

例如，在教學“解決問題的策略—轉化”一課時，教師讓學生算出 + + + 的結果。在計算這個式子時，大部分學生會采用通分的方法，小部分學生會先把分數轉化成小數再計算。只要花一定的時間，學生是可以解決這個問題的。但如果類似的分數的個數越來越多，分數的分母越來越大，學生可能會覺得解決問題的難度越來越大，并且希望找到1種可以更快解決這類問題的方法。此時，教師可以引入1個正方形，把它看作單位“1”，讓學生找一找它的

、、和分別是多少。學生在找的過程中能夠發現，要想求這幾個分數的和，可以用單位“1”減去式子中的最后1個分數（）。之后，教師可以引導學生用類推的方法，總結出解決這類問題的一般步驟。

學生探究上述問題的解決方法的過程，是把數與形相結合的過程。他們需要在數中想形，在形中找數，利用直觀描述，探究出計算算式的簡便方法。這樣，問題解決起來會更簡單，問題解決的方法會更明了。

（四）遵循探究軌跡，讓問題意識得以增強

運用數形結合方法，不僅可以展現平面上的內容，還可以讓學生拓展思維，想象立體空間的屬性。這離不開學生深入探究的軌跡。遵循這樣的軌跡，能夠讓學生發現問題和提出問題的意識不斷增強。

例如，在學習“確定位置”一課時，學生在解決“燈塔1在輪船的什么方向？”的問題的過程中，需要以輪船為觀測點，先找到燈塔1的位置，再從已有的經驗出發，確定燈塔1的方向;要想精確地確定燈塔1的位置，需要知道對應的角度;在確定了角度之后，還需要量出燈塔1與觀測點之間的距離。為了確定燈塔1的位置，學生要經歷探究的過程，通過數形結合的方式，掌握確定位置的方法。

此外，當教師提出“同學們對于這節課的內容還有什么想問的？”的問題時，有的學生說：“我想知道天空中和海洋中的物體的位置該怎么確定呢？”這樣的思維拓展很有意義。首先，有利于學生發現并提出問題。他們能夠基于平面的問題，提出立體空間的問題，激發自己探究的欲望，體會到要想解決這類問題，還需要積累更多的知識。其次，有利于開闊學生的視野。他們的思維不再局限于點、線、面，而逐步向三維空間拓展。

（五）與生活相聯系，讓問題解決更具現實意義

統計現實生活中的數據，根據數據繪制相應的統計圖，也是1種數形結合的方式。教師通過這樣的方式，不僅有助于學生提高數據分析能力，而且有助于學生解決問題，積累生活常識。

例如，在教學“復式折線統計圖”的有關內容時，教師要求學生依據教材中所給的不銹鋼保溫杯和陶瓷保溫杯保溫時間的數據來繪制折線統計圖。從畫好的統計圖中，學生不僅可以知道在相同的時間內，2種保溫杯的水溫相差多少，而且可以知道哪種保溫杯的保溫性能更好，為自己在實際生活中選擇保溫杯提供數據支撐。

教材中列舉的很多實例，都是以數形結合的方式展現在學生面前的。雖然學生在學習的過程中不需要記憶關于數形結合的理論知識，但是這種方法的運用會在潛移默化中影響學生的思維，影響他們對生活的認知，也會讓問題解決更具現實意義。

二、數形結合方法在小學數學高段問題解決教學中的實踐策略

（一）在鉆研教材時，挖掘數形結合方法

小學數學高段教材中很多關于計算的內容都用到了數形結合的方法，旨在幫助學生理解算理和算法;但有的課時中并沒有運用。這就需要教師認真鉆研教材，挖掘數形結合的方法。

以“小數乘整數”的教學為例，對于“買3千克單價為0.8元的西瓜要多少元？”的題目，學生一般會先把0.8元轉化成8角再進行乘法計算，或者把3個0.8相加。筆者認為，如果教師在學生采用上述兩種方法算出結果之后，直接向他們介紹乘法豎式計算的方法，他們可能難以理解這種方法的算理。教師在教學之前需要鉆研教材，思考如果把1個正方形看作單位“1”，將它平均分成10份，那么0.8就是其中的8份;在教學時可以展示3個正方形，將每個正方形都平均分成10份，讓學生用自己喜歡的方式在正方形上表示“0.8×3”。如，有的學生則在每個正方形中各數出了8份;有的學生則在圈出2個正方形的基礎上，再數出剩下的正方形中的4份。采用這2種不同的表示方法，都能讓學生對算理有深入的了解。

筆者wS9otjtV4B7UgY4dr4EcwA==在鉆研教材的過程中發現，教材編者只預設了學生可能會采用的2種解題方法。于是，筆者嘗試利用數形結合的方式，為學生提供更多探究和解決問題的思路，讓學生選擇適合自己的方法，加深對算理和算法的理解。

（二）在探究體驗中，感悟數形結合方法

教材中的某些例題運用的是數形結合的方法。在探究環節，教師可以借助這些例題，讓學生感悟數形結合方法。

以“解決問題的策略—假設”的教學為例，對于不少學生來說，“計算小杯和大杯的容量”這道題有一定的難度。因此，教師設計了如下探究任務：1.想一想題目中的數量關系是什么;2.用寫一寫、畫一畫的方法，把數量關系表示出來;3.根據自己的想法列式解答。在解決問題的過程中，學生借助線段圖或示意圖探究大杯與小杯之間的關系，進而體會到運用數形結合方法有助于厘清數量關系。

學生只有經歷了探究和體驗的過程，才能感受到數形結合方法為我們明確解決問題的思路提供了指引;在遇到難度較大的問題時，能夠自然而然地想到運用數形結合思想，理解問題的解決策略。

（三）在知識遷移中，運用數形結合方法

在學習的過程中，學生不僅可以遷移知識，還可以遷移方法。運用數形結合方法可以提升學生的學習效果。

例如，在學習“圓的面積”這節課時，學生親自動手，把教材附頁中的圓按16等份、32等份剪開，試著將其拼起來，進而發現拼成的圖形近似長方形，并且長方形的寬是圓的半徑，長方形的長是圓周長的一半。若把這部分知識遷移到“圓柱的體積”這節課，學生則會思考如果把圓柱的底面平均分成16份、32份，那么切開后拼成的物體會不會近似長方體。學生借助學具進行探究，發現這個物體接近1個長方體，而且圓柱的底面與長方體的底面類似，圓柱的底面積等于長方體的底面積，兩者的高相等。

把探究圓的面積時所運用的數形結合方法遷移到探究圓柱的體積的教學中，可以讓學生發現知識之間的內在聯系，感受到數形結合方法在表現物體之間的外在特征時所發揮的獨特優勢。

（四）在練習訓練時，掌握數形結合方法

數形結合方法是學生解決問題的利器。在練習訓練時，學生常常會運用這種方法，把抽象的問題具體化，把復雜的問題簡單化，讓問題解決起來更容易。

例如，在“圓柱和圓錐”的練習課中，多數學生通常會借助圖形，把某些物體抽象成數學模型，再結合所學知識解決問題。如對于“1個用塑料薄膜覆蓋的蔬菜大棚，長15米，橫截面是1個半徑2米的半圓形。搭建這個大棚大約要用多少平方米的塑料薄膜？大棚內的空間有多大？”這道題，學生在解題時，能夠根據已知條件畫出相應的圖形，在圖形上標注數據，并且發現第1小題實際上要求的是圓柱側面積的一半與1個底面積的和，第2小題則需要求半個圓柱的體積。

在學生完成這道題的解題過程后，教師除了讓他們說出在解決問題時需要注意什么，還應告訴學生，這道題的有效解決離不開數形結合的方法，幫助學生掌握這種方法。

（五）在歸納總結時，提煉數形結合方法

在平時的教學中，教師會發現“以形助數”的實例較多，而“以數解形”的實例相對較少。為此，教師要及時歸納總結，提煉數形結合方法。

例如，在引導學生復習“圖形和幾何”這部分內容時，教師可以讓學生整理學過的平面圖形的面積公式，并寫出它們的推導過程。學生構建出知識結構圖之后，可以總結出“正方形、平行四邊形和圓都可以先轉化成長方形，再求面積”“三角形和梯形都可以轉化成平行四邊形來求面積”等。

教師在引導學生觀察知識結構圖時，應該讓學生明白，當我們不清楚數時，可以借助形來解釋數;當圖形蘊含的信息較少時，我們可以給它賦值，然后找到圖形之間的聯系，進而提煉出數形結合方法的內涵?？梢?，利用數形結合方法，可以讓學生學會將不同圖形的面積進行轉化。

結語

數形結合方法是解決問題的常用方法。在小學數學高段教學中運用數形結合方法，不僅有利于提高學生發現、提出、分析和解決問題的能力，還有利于激發學生探究的潛能，讓問題解決的方法更多樣，讓學生的思維更開闊，從而提升學生的數學素養。

【參考文獻】

[1]肖川，歐陽新龍.義務教育數學課程標準

（2011年版）解讀[M].武漢：湖北教育出版社，2012.

[2]王林.小學數學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.