高等數學和中學數學知識的銜接性研究

羅衛華 王新民

摘 要：高等數學是高等學校大多數理工科類學生的一門必修課程，對這門課程學習的好壞，在很大程度上影響到學生多門后繼課程的學習。隨著多輪中學數學教學改革的完成，高等數學與中學數學知識的銜接性問題越來越突出，這已經成為高等數學教師所必須關注和研究的課題之一。文章基于大量的高等數學教學活動，對高等數學與中學數學知識的銜接性做了比較系統的調查，并在此基礎上，有針對性地提出了一些教學建議。

關鍵詞：高等數學；中學數學；銜接

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）02-0193-02

Abstract： Higher mathematics is one of necessary courses for most students of science and technology. How to study this course will largely affect their subsequent courses. With the innovation in middle school mathematics teaching materials， the problem of linkage between higher mathematics and middle school mathematics is getting worse， and has become an important studying target for many teachers. Based on many practical teaching experiences of higher mathematics， some cases about the linkage between higher mathematics and elementary mathematics are investigated， and some suggestions are presented correspondingly.

Keywords： higher mathematics； elementary mathematics； linkage

近年來，隨著中學課程改革的不斷加深，中學數學教材的內容不斷調整，把有些原來在大學講授的高等數學內容放到中學講授，使得中學數學教材內容增加，而對某些學習高等數學所必需的基礎知識點做了刪減與調節，或者由于高考考綱不做要求而沒有實際講解。同時，由于高考的改革，各省的考試大綱不統一，以及文理科的區別，造成大學新生入學時數學基礎知識和能力水平不統一。而另外一方面，現行使用的高等數學教材雖然也在不停地改版，但都是在上世紀90年代初的教材基礎上進行修改的，他們都比較注重于對某些重點、難點知識點及其應用的補充和調節，而普遍沒有重視對一些重點、難點基礎知識的補充。這兩個方面造成了中學、大學教材改革各自為陣的混亂局面，致使高等數學中有些知識前后斷層，而有些教學內容又重復較多，這些給來自不同地域的大學新生學習高等數學帶來了不同程度上的困難和不便，也讓很多高等數學老師難以適從，阻礙了高等學校學科的發展。更有甚者，由于現階段眾多高校都在考慮轉型發展，這就越發需要各高校重視理工科專業的發展，而高等數學是眾多理工科專業的必修課程，高等數學學習的好壞，將直接影響到理工科學生的后續學業和理工類專業的長遠發展。

關于高等數學與中學數學知識斷層、重疊的問題，已有一些文獻做了部分調查研究，在這些文獻中，一些研究者從中學數學高考大綱、高等數學教法、高等數學教師自我發展、高等數學教材編寫、高校與中學數學教法差異以及高校與中學的學生學習方法差異等角度做了探討[1-3]。 針對這些斷層、重疊現象，眾多學者也先后以發表研究論文的形勢提出了一些相應的解決措施，在政策上，提倡改革教學評價制度[4]，在教學方法上，主張高等數學教師注意查漏補缺、分層次教學、多方面引導、多角度考核[5-8]，在培養學生學習上，引導學生養成正確的學習方法和良好的心里素質，在增強學習自立性、自主性、探索性的過程中提高學生的自學能力[9]。

文章基于上述背景，結合現有的中學數學教材（普通高中課程標準實驗教科書數學教材，人民教育出版社第三版），對若干高等數學的教材[10-15]和部分剛入校的大一新生進行系統的調查，并且提出一些建議，以促進高等數學教學的效果。

一、高等數學與中學數學知識銜接性現狀調查

（一）知識重疊

通過調查部分剛入學的大一新生，結合中學數學教材和部分高等數學教材，可以發現大部分學生已經對如下知識點有了初步的學習和了解：

1. 簡單函數的極限求法，極限的四則運算，諸如

已經具有了模仿學習的能力。但是，他們只是對極限有一個非常淺顯的認識而已，對于極限的嚴格數學含義，一些特殊函數的極限，特別是分母趨向于0的函數的極限，還無法順利求解。

2. 導數的定義，幾何意義，幾個基本函數的導數公式，包括函數y=c，y=xn，y=sin，y=cosx，y=ax，y=logax等。對于這一部分知識點，大部分同學表示比較熟悉，因此，在學習高等數學時，有一種似曾相識的感覺，學起來相對輕松一些。

3. 導數的應用，包括求曲線的切線，費馬引理，求極大值和最大值，判斷函數的單調性，以及生活中的一些最優問題。對該部分內容，中學數學教材和大部分高等數學教材中，都給予了詳細敘述，學生對此的掌握程度也比較理想。

4. 空間解析幾何部分，主要包括空間向量的定義和坐標表示，特殊向量，向量的加、減、數乘、數量積，向量的夾角，向量的位置關系等。這一些知識點，也同時是中學數學教材和高等數學教材中的重點章節。

（二）知識斷層

除了上述的知識重疊，中學數學教材與大部分高等數學之間存在的更值得我們關注的問題就是知識斷層現象。通過考察一些高等數學教材和對高校新生的調查，我們發現如下幾類知識點是一些大一新生的薄弱環節：

1. 三角函數中的積化和差、和差化積、萬能公式以及正割、余割函數。對此類函數和公式的掌握程度將直接影響到對求導數和不定積分、定積分的學習。

2. 反三角函數。大多數同學表示在中學階段沒有學習過反三角函數，而這一類函數卻在導數、積分的計算中大量出現。

3. 極坐標，球坐標，柱坐標變換。這幾種變換雖然在中學數學教材中有所包含，可是很多同學卻對此掌握的很少，不足以應付多元函數積分的學習。

4. 雙曲函數、反雙曲函數。關于這兩類函數，目前的中學數學教材沒有涉及，而這些是物理學專業學生在學習專業課程時所需要的函數，在學習高等數學時必須要掌握關于它們的圖像、導數、積分等知識。

5. 二項式展開定理。此定理雖然被包含在高中數學教材中， 然而，經過調查我們發現，很多同學對此定理表示掌握得不好。甚至有一些高中時學習文科的同學連二項式系數ckn的計算都沒有掌握。

6. 數學歸納法。這個知識點雖然思想非常簡單，可是對于一部分學生來說，在具體應用時，將第k步的情形推廣到第k+1步還是比較困難，這反映了學生缺乏靈活多變的思想。

二、對策與建議

鑒于上述調查情況，我們可以從如下幾個方面給出建議，以提高高等數學教學的效果，激發學生學習高等數學的積極性。

1. 對于高校教學管理部門，應加強對于以上各種問題的認識，及時地了解中學數學教材和教學改革的情況，并與一些最新版的高等數學教材做對比，以便了解兩類教材之間的知識銜接情況，同時，多開展對高等數學教學活動的指導和對教學效果的調查，督促高等數學教師及時調整教學大綱，把握知識講解重點。

2. 作為整個教與學的主導者，高等數學教師應該發揮其主要的作用，指導學生學習好高等數學。

（1）在正式介紹高等數學的知識之前，可以考慮進行短期的學前知識培訓，對上述各知識點進行查漏補缺；

（2）及時地了解中學數學教材的內容，調查大一新生的數學方面各個知識點的掌握情況，結合不同專業學生的專業課程需求，制定教學方案，因材施教，因人施教；

（3）介紹合適的參考資料，引導學生自主學習；

（4）在施教的過程中，多幫助學生進行知識點梳理、歸納、總結，這一點對于剛剛脫離中學教學手段的學生來說，會更好地促進其學習效果。

3. 對于學生管理工作者，應多加強學生引導與管理，促使其養成良好的學習習慣。

4. 作為學習的主體，學生應該主動把握好自己的學習狀況，制定合理的學習計劃。

（1）要樹立正確的學習觀念，不要因為一時的學習困難就產生氣餒、厭學、甚至恐懼的情緒。

（2）主動尋求多方面的教學資源。可以借助于圖書館、網絡等資源，從多個角度學習高等數學。

（3）加強高等數學各個知識點的練習。

（4）尋找與自己專業課程的結合點，以從中發現高等數學的用途，發現高等數學的實際用途，找到學習高等數學的動力。

三、結束語

通過比較中學數學教材和若干高等數學教材，以及對一些大學新生的調查，我們比較系統地列出了上述兩種教材之間的知識點的重疊和斷層現象，并且從多個角度，有針對性地提出了一些建議，以促進高等學校中高等數學的教學效果，為理工科類學生更好地學習高等數學提供了一些指導意見。關于如何改進高等數學教學效果，將是我們進一步研究的目標。

參考文獻

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