阻尼振動中阻尼系數的研究

趙云

摘 要：在傳統的大學力學教材與其他有關力學知識的書中，對于阻尼振動中阻尼系數的研究已屢見不鮮，并且有許多學者與老師都對此進行了分析和研究，并取得了不錯的理論結果，但只是利用了傳統的試驗方法來測定阻尼振動中的阻尼系數，在文章中，利用實驗測得的數據進行數值擬合來計算空氣阻尼和磁阻尼的阻尼系數，得出了令人滿意的結果，與傳統實驗手段比較起來更為準確。

關鍵詞：阻尼系數；阻尼振動；空氣阻尼；磁阻尼；曲線數值擬合

中圖分類號：O32 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）12-0187-04

Abstract： In the traditional teaching materials of mechanics in colleges and other related books， there are many studies on the damping coefficient in damped vibration. Besides， many scholars and teachers made analysis and research on it， and obtained good theoretical results. However， they only used traditional test method to measure the damping coefficient. This paper calculates the air damping and magnetic damping coefficient through numerical fitting of experimental data， and obtains satisfactory results， which are more accurate compared with the traditional experimental method.

Keywords： damping coefficient； damping vibration； air damping； magnetic damping； numerical fitting for curves

一、數據的曲線擬合

工程技術實踐中， 特別是在實驗測試中， 往往只能得到兩個相關變量的離散值， 函數關系就只得用列表法或圖示法表示。但在實際操作中人們希望把這種關系轉換成解析表達式。另外，有些變量間的關系雖然可以用解析法表示，但由于數學解析式過于繁雜造不便，也希望用一個簡單的解析表達式作為近似替代以到達目的。利用簡單解析式？準（x）近似地代替列表法、圖示法或復雜解析式表示的函數F（x）一類問題，即尋找一個滿足？準（x）=F（x）的簡單函數？準（x）的問題，都可稱之為函數逼近問題。數據擬合法就是函數逼近的重要方法之一。

科學實驗或數據統計中，在得不到精確解析表達式時，希望找到Y=F（x）的近似解析式F（x）≈？準（x），？準（x）越簡單越好。在這種情況下，我們提出了數據擬合法，它不要求構造的近似函數？準（x）全部通過樣本點，而是“很好的逼近”。這種近似函數？準（x）反映了已知數據組間存在著某種關系的一般趨勢，是“擬合”這些數據得出的函數曲線，不同于“插值”得出的曲線。尋找“很好的逼近”的函數有多種方法，我們常用的是最小二乘法。在MatLab中，有專用的擬合指令p=polyfit（x，y，m），可以方便地給出結果，我們便利用實驗得到的數據結果利用擬合方法得到擬合曲線。

二、模型

對于存在阻尼力的情況下，阻尼振動方程為：

（1）

其中，？啄、？棕0分別為系統的阻尼系數和固有頻率。方程（1）的解為：

其中，A0、？漬分別為彈簧振子的振幅、初始相位角，而？棕j=2？仔/T，T為阻尼振動周期

（3）

由方程（2）可得其速度與時間的關系式為：

這為我們的實驗測量提供了理論依據，所有公式都與t有關，因此只需要記錄時間，周期即可。

三、無磁阻尼時空氣阻尼的阻尼系數的研究

測量彈簧振子振動時的阻尼系數，進而求得時間常數？子及品質因數Q等物理量。假定振動為線性振動，且空氣阻尼很小。滑塊質量為179.70g，振幅為30cm。由實驗測得彈簧振子振動連續10個周期的數據，見表1。

利用Matlab計算10個周期測量值的算術平均值、實驗平均值的標準誤差。

hp代表算術平均值， s為平均值的實驗標準誤差：

輸出結果：

hp = 1.2689

s= 4.9889e-005

即：T=1.26890×10-5（s） 。

取初始位移x0=-A=-30cm，初始速度為v0=0cm/s，并通過放置在平衡位置的電子計數器記錄下連續10個周期中，一個周期從正方向v1和反方向v2通過兩次平衡位置時光電門的速度。

表2中，t1（T），v1（cm/s）分別是沿正方向運動時，通過平衡位置的光電門的時間和速度：

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178

t2（T），v2（cm/s）是沿負方向運動時，通過平衡位置的光電門的時間和速度：

v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8269

四、阻尼系數？啄

由方程的解（4）式編制程序計算理論上時間與速度曲線， 同時將兩擬合曲線繪制在同一幅圖中。

繪制出彈簧振子時間與速度曲線圖1與2。其中實線、點線是由實驗上得到向正方向、負方向通過平衡位置光電門的時間與速度數據擬合的曲線， 實線是由方程（3）所得到。？啄為阻尼系數，畫圖時不斷地調試，當？啄=0.017s-1時， 理論上曲線通過平衡位置時的速度與兩擬合曲線基本吻合， 即兩按擬合曲線正是速度曲線的包絡線。

通過對？啄的多次取值估計，重復多次計算畫圖，得出滿意阻尼系數，使得理論線與擬合曲線基本吻合，如圖1所示，結果證明上述理論與實驗結合的方法是可行的。同時，我們還得到時間常數和品質因數：

時間常數 （5）

品質因數 （6）

但是我們從圖2看出擬合曲線并沒有很好的與理論實線相吻合，放大后觀察到還有不相交的部分，即不完全包絡，原因在于擬合曲線是一次直線，結果并不令人很滿意。

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178；v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8269

無論？啄怎么調整，對于放大的圖像來看，總不可能全部包絡速度峰值，只是盡可能平衡，這說明僅僅調整？啄是不夠的，還要考慮阻尼與速度二次方的關系。

在M文檔中所建立阻尼系數與速度二次方的函數關系式，對？啄進行多次調試，結果如圖3與圖4所示，通過對阻尼與速度二次方關系的討論，所得結果分別與圖1和2比較，擬合曲線與速度峰值吻合度更高，阻尼系數也更精確，為？啄=0.0145。

v1=0.032136t2-2.3349t+146.4178；v2=-0.021055t2+2.1588t-145.8

269。

五、研究磁阻尼情況下的阻尼系數

在滑塊兩側對稱地粘貼上永久小磁塊，此時由于磁阻尼力的作用，使振動振幅衰減更快。在此時測量的阻尼系數，仍假定振動為線性振動。滑塊質量為191.06g，振幅為30.00cm。由實驗測得彈簧振子連續振動10個周期的數據，見表3。

計算10個周期測量值的算術平均值、實驗平均值的標準誤差：

輸出結果：

hp =1.2998

s=4.5826e-005

即：T=1.2998±5×10-5（s）。

在實驗時取初始位移x0=-A=-30cm，初始速度為v0=0cm/s。

我們記錄下連續10個周期中，一個周期從正方向和反方向通過兩次平衡位置時光電門的速度。

表4中，t1（T），v1（cm/s）是向正方向運動時，通過平衡位置的光電門的時間和速度：根據上述數據編程擬合出t1（T），v1（cm/s）的關系式：

v1=0.049482t2-3.6731t+141.5108

t2（T）、v2（cm/s）是向負方向運動時，通過平衡位置的光電門的時間和速度：

輸出結果：

pvt2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681。

由上述結果可得v2與t2之間的關系為：

v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681

阻尼系數：

由阻尼振動方程（3）式的解，編制程序計算理論上給出的時間與速度曲線，同時將兩擬合曲線繪制在同一幅圖中。程序中的vn1即v1，vn2即v2。

繪制出彈簧振子時間與速度曲線，見圖5。其中點劃線、點線是由實驗上得到向正方向、負方向通過平衡位置光電門的時間與速度數據擬合的曲線，實線是理論方程所得到的曲線。將？啄調整為？啄=0.028s-1時，理論上曲線通過平衡位置時的速度與兩擬合曲線基本吻合。

v1=0.049482t2-3.671t+1.41.5108；v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681

如圖5、6所示，我們得到了基本吻合的擬合曲線，放大后觀察，不論？啄如何調整，仍沒得到滿意的效果，那么就要考慮與速度二次方的關系。

我們得到圖像7，此時？啄=0.025s-1。在磁阻尼作用情況下與空氣阻力情況相類似，只有當討論阻尼系數與速度二次方的關系時，才能得到更精確的？啄和更加吻合的圖像。

我們之所以利用通過平衡位置光電門的速度求上述各量，是因為準確測量振幅的衰減較困難，而測量速度很容易。在此實驗設計中，從理論上編程到實驗數據測量，可以將理論課的知識與實驗有機統一起來。反復調試？啄的取值，使得擬合曲線與理論曲線吻合，得到最后的？啄=0.025s-1。

v1=0.049482t2-3.671t+1.41.5108；v2=-0.037352t2+3.5008t-141.0681。

六、結束語

通過數據擬合的方法和在Matlab中的具體應用，并將實驗得到的數據進行計算利用Matlab進行數據的擬合，過程中不斷地對阻尼系數？啄調整，使得擬合曲線與理論曲線很好的吻合，從而得出了更精確的阻尼系數的值，并且進一步提高理論與實驗結合的能力與水平，使得理論計算不僅僅是單純的計算研究，具有更加現實的意義。

參考文獻

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