對高校近世代數課程教學的思考

陳文兵 解曉娟

摘要：本文針對高校近世代數課程教學中存在的問題，從教學內容、教學方法及手段等方面進行闡述，提出了對近世代數課程教學改革的一點思考.

關鍵詞：近世代數；教學；群；環；域

近世代數也叫抽象代數，是師范類院校數學與應用數學專業即信息計算科學專業的一門重要的基礎課程，是現代數學的一個重要分支。它也是代數數論、代數拓撲等課程的一門基礎課程. 另外，近世代數在現代物理學、現代化學、編碼密碼學和通信領域有著重要的應用。長期的實踐教學表明，近世代數是一門非常抽象的課程，也是一門較難的課程，筆者根據個人的實際教學經驗談談對該課程的一些教學體會。

一、教學內容

近世代數課程是高等代數的后續課程，一般安排在第三個學期開設，共68學時。 我們學校選取了朱平天等人編著的文獻[1]。文獻[1]中安排了四章內容，內容比較多，想要在較短的時間內將所有的內容全部學完是不太可能的，所以我們在根據實際和后繼課程的需要，在不降低教學要求的前提下，對教材的內容進行大膽的處理和取舍，例如在講域的擴張的時候，我們只是講解關于單擴展的一些結果，不給出證明，僅僅讓學生心里知道有這樣一個概念。另外還需充分調動學生的積極性和主動性，提高課堂教學效果。

文獻[1]主要包括群、環、域三大塊內容。在介紹這幾部分內容的時候需要把握住它們內在的聯系。例如在講解群論這一部分內容的時候，主要通過子群、正規子群、商群、群同態來研究群的結構；在講解環論部分時，主要是通過子環、理想、商環、環同態來研究環的結構。其次，我們還需要將這幾種代數結構來進行比較。群、環、域都是具有一些代數運算的非空集合，群是只有一種代數運算的非空集合，而環和域是具有兩種代數運算（加法和乘法）的非空集合，而且環關于加法構成一個交換群，關于乘法構成一個半群，兩種運算通過分配率聯系起來。域是一類特殊的環，它不僅要求關于加法構成一個交換群，還要求非零元關于乘法構成一個乘法群。因此環和域關于加法都具有交換群的性質，環關于乘法只有半群的性質，而域關于乘法具有群的所有性質。教師在教學中還應該要提醒學生注意環和域所具有的與群所不相同的性質，例如環不一定具有單位元，每個非零元未必可逆等等。

近世代數是一門非常抽象的學科，針對近世代數課程的概念抽象、難于理解的特點，教師在教學中可以列舉一些學過的具體的例子來幫助學生理解概念。例如，關于主理想整環我們可以列舉一元多項式環和整數環，關于主理想整環的許多結論都是通過推廣關于多項式和整數的結論得到；一個無零因子交換環的商域就是模仿整數環和有理數環間的關系構造的；整環里的因式分解理論就是整數中數的分解和多項式的因式分解理論的推廣等等。在講解一些命題、性質和定理時，不能讓學生去死記硬背，要讓學生正真的理解，清楚這些命題、性質和定理的前提條件為什么是必要的。達到這個目的的最有效的方法就是構造反例。例如，關于素理想和極大理想的關系有定理：在有單位元的交換環R中，極大理想一定是素理想。那么這個結論的條件“含有單位元”是必要的嗎？這個問題的答案可從下面的例子容易得到。例：設R是偶數環，Z表示整數環，則4Z是R的極大理想，但4Z不是R的素理想。

在近世代數的實際教學過程中，還需要將理論與應用相結合，讓學生多了解這門課程的一些具體的應用，從而激發學生的學習興趣。例如我么在講解有限域的時候，可以介紹一些有限域在編碼、密碼、通信等領域的一些應用。在編碼理論中需要考慮有限域上的線性碼和循環碼，及利用有限域上的指數和去計算循環碼的重量分布等等；在計算機科學和信息科學中的信息都是用二進制數來表示，本質上就是在二元域中的一些運算，所以有限域理論在計算機科學中也有著重要的應用。興趣是最好的老師，在教學過程中還需要穿插一些名人趣事來激發學生的學習興趣。例如在講解交換群的時候，書本上只有簡單的交換群的定義。其實交換群也叫Abel群，是以挪威的數學家Abel命名的，此時可以介紹一下數學家Abel的生平和主要貢獻，Abel在19歲的時候就解決了五次和五次以上的一般方程不能用根式求解問題。再講解著名的Caylay定理的時候，可以介紹數學家Caylay對數學的一些貢獻等等。這些名人軼事在講解相應的課程時讓學生了解，可以激勵學生探索新知識的欲望。

二、教學方法及手段

在講解近世代數課程時盡量采用啟發式教學，讓學生多思考，引導學生去學習。例如在講解商群的定義時，我們可以這樣來講授：設G是一個群，H是G的正規子群，H在G中的左陪集構成的集合為{gH|g∈G}，在這個集合中定義運算aH·bH=abH，則該集合關于這個乘法構成一個群，我們稱為G關于H的商群。 此時，需要向學生提問這個乘法運算的定義是否合理？為了驗證運算的合理性，需要說明運算與代表元選取無關。即需要證明若

所以我們希望b1可以和hg交換，此即由正規子群可得。這也表明了H是G的正規子群的必要性。然后讓學生回憶群的判定，再去證明這個集合關于所定義的乘法構成一個群。

隨著現代科學技術的發展，多媒體教學在教學中具有舉足輕重的作用。在近世代數課程教學中，我們可以借助一些軟件來幫助教學，如Magma軟件， GAP軟件等等。例如在講解Lagrange定理的時候，教材上說明了這個定理的逆定理不正確，給出了這樣一個反例：12階的四次交錯群沒有6階子群，但沒有給出證明，這個反例的證明對于學生來說也是比較難的，我們就可以利用Magma軟件來驗證等等。

三、小結

近世代數是一門非常抽象的課程，教師要站在學生的角度來考慮如何教學。另外，教師要在平時的教學中不斷總結、吸取教學經驗，以便讓學生能更好地掌握和學好近世代數這門課程，為以后的后續課程做好準備。

參考文獻：

[1]朱平天，李伯葓，鄒園.近世代數[M].北京：科學出版社，2001.

[2]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]卓澤鵬，崇金風. “近世代數”課程的教學探討[J].淮北師范大學學報（自然科學版），2012，33（3）：8083.

[4]宋薔薇，李錄蘋. Magma在近世代數中的應用[J].山西大同大學學報（自然科學版），2015，31（1）：67.

基金項目：國家自然科學基金數學天元基金（11626032）；

安徽省高校自然科學研究項目重點項目（KJ2016A426）

作者簡介：陳文兵，男，安慶師范大學數學與計算科學學院，講師；解曉娟，女，安慶師范大學數學與計算科學學院，助教。