淺談數學美

鄭桂華

愛美之心，人皆有之，人們執著地追求美。除了藝術美，大自然的美外，人們是否想到科學也有美，數學美是一種什么樣的美呢？

數學美的表現形式是多種多樣的，從數學內容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數學的方法及思維看，有簡潔之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看，有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。

一、簡潔美

愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？

在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方a2+b2=c2。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則asinA=bsinB=csinC=2R

數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著”。

龐加萊指出：“在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡”。

二、和諧美

美是和諧的.和諧性也是數學美的特征之一.和諧即雅致、嚴謹或形式結構的無矛盾性.

沒有哪門學科能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性。

——Carus，Paul

數論大師賽爾伯格曾經說，他喜歡數學的一個動機是以下的公式：π4=1-13+15-…，這個公式實在美極了，奇數1、3、5、…這樣的組合可以給出 π，對于一個數學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景。

歐拉公式： ein=-1，曾獲得“最美的數學定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣美弗-歐拉公式是cosθ+isinθ=eiθ。這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數――三角函數與指數函數緊密地結合起來了。對他們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是“天作之合”。

和諧的美，在數學中多得不可勝數。如著名的黃金分割比 x=5-12，即0.61803398…。

在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。建筑物的窗口，寬與高度的比一般為 x；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關節是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23：37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建筑設計的精巧、人體科學的奧秘、美術作品的高雅風格，音樂作品的優美節奏，交融于數的對稱美與和諧美之中。

黃金分割比在許多藝術作品中、在建筑設計中都有廣泛的應用。達·芬奇稱黃金分割比x=5-12為“神圣比例”.他認為“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關系上”。與x=5-12有關的問題還有許多， “黃金分割”、“神圣比例”的美稱，她受之無愧。

三、奇異美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選“近50年的最佳數學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數abbc，不合理地把b約去得到ac，結果卻是對的？

經過一種簡單計算，可以找到四個分數：1664，2665，1995，4998。這個問題涉及到“運算謬誤，結果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現一種奇異美嗎。

還有一些“歪打正著等式”，比如

25· 92 =2592

25· 2531=252531

112· 913=112913

人造衛星、行星、彗星等由于運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡，

當e<1時，形成的是橢圓.當e>1時，形成的是雙曲線.當e=1時，形成的是拋物線.

常數e由0.999變為1、變為0.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。

橢圓與正弦曲線會有什么聯系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美呢？

數學的力量是無窮的，數學美猶如但丁神曲中的詩句，優美和諧的樂曲，別具一格的繪畫，雄偉壯美的建筑，同樣會使數學學習者們激情蕩漾，興趣盎然！數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數學家，教師們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美。相信我們的數學學習一定能夠取得更好的學習效果。