剝繭抽絲，巧尋規律
——例說中考數學探究題

廣東省惠州市惠陽區第四中學 楊永康

剝繭抽絲，巧尋規律
——例說中考數學探究題

廣東省惠州市惠陽區第四中學 楊永康

新課標要求我們“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想”，這要求學生要學會通過分析、計算、比較，由特殊到一般得出猜想。由此，近年各地中考數學試題都出現了一種新穎的題型：探究題，并成為數學中考的熱點考題之一。

探究題是探索、歸納、猜想等題型的統稱，其特點是形式獨特、涵蓋知識點豐富，能多角度、多方面地考查學生，有利于培養學生的創造性和邏輯思維能力。探索、歸納、猜想是學生獲得新知識、培養各種能力及創新意識的有效途徑。

近年來，探究題成為各地數學中考的熱門考試題型，此類題的背景新穎多變，學生甚至是教者很多時候都會感動棘手，在中考中，此類題的失分率也比較高。然而，我們只要善于發現總結，在各式中考題中剝繭抽絲，此類題亦有規律可循！下面，筆者以近三年各地數學中考的探究題為例，分排列型、循環型、漸近型和猜想型四大類，說明如何進行中考探究題的復習。

一、排列型

排列型分為數字、算式和圖形三種形式，這類題型是給出一組數字、算式（包括代數式、不等式、方程等）或者圖形，要求學生發現其中規律，用一定的數學方法表達出規律并得出題目要求的結論。解決此類題的關鍵是扣住“序號”，同時要用得出的一般性規律式子進行“序號”（即n等于多少）代入驗證以求答案的正確性。

1．數字排列型

題目通常給出一組數字或者表格，按一定的方式排列，要求學生探索數字之間的關系或者變化規律。

分析與點撥：解答數字排列問題的關鍵是分析好排列數之間的關系和規律，同時要扣住“序號”。本題把整數1化為觀察可以發現后一個數的分子恰是前一個數的分母，所以，第 4 個數的分子是 2，分母是 3，故答案為

鞏固練習：

觀察下列等式：

第 1 層 1+2=3

第 2 層 4+5+6=7+8

第 3 層 9+10+11+12=13+14+15

第 4 層 16+17+18+19+20=21+22+23+24

……

答案：44。

解答提示：根據式子特征，可以確定每一層的數比前一層的數多2個，結合第一層是3個數，可以得到一組連續的奇數；根據連續奇數和的規律，從 3 開始的連續 n 個奇 數的和是 3+5+7+…+(2n+1)=n2+2n，由此可以確定 2016 所在的層數。

∵ 1+2=3，共有 3 個數；

4+5+6=7+8，共有 5 個數；

9+10+11+12=13+14+15，共有 7 個數；

∴第四個等式左邊應該為5個連續的數，右邊應該為4個連續的數，即第四個等式為：16+17+18+19+20=21+22+23+24，共有9個數；

由此可見，每一層都有奇數個數，則從第一層開始，到第n層結束共有

又因為 432+2×43 ＜ 2016 ＜ 442+2×44，所以 2016 在第 44 層。

2．算式排列型

算式排列型包括代數式、不等式、方程等的規律排列。要求學生探索算式在變形、運算等方面的規律。

例 2 觀察下面的一列單項式：x，-2x2，4x3，-8x4，…，根據你發現的規律，第 7 個單項式為第 n 個單項式為

分析與點撥：本題是一組代數式的變化，學生在解決問題時最好先算第n個單項式。首先，符號是搖擺式的，一正一負交叉出現，解決的方法是用 ，然后看系數的絕對值，最后看指數，這都要緊扣“序號”。總的方法是先寫出算式的一般結構，然后扣住“序號”，找出各部分特征，寫成題目要求的格式。

如第 1 個系數的絕對值是 1 ＝ 20，指數是 1；第 2 個系數的絕對值是 2 ＝ 21，指數是 2……從符號上，第 1、3、5 等奇數項是正的，第 2、4、6 等偶數項是負的，所以符號的確定是 或者 ，系數的絕對值是 ，指數是n。所以答案是：

（1）猜想并寫出第 n個等式；

（2）證明你寫出的等式的正確性。

3．圖形排列型

圖形排列型是給出一組圖形，按一定規律排列，以單位個數（面積）的增加和循環型居多，要求學生探索圖形的變化規律。

例 3 如下圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數逐漸增加 1 的規律拼成下列圖案，若第 n 個圖案中有 2017 個白色紙片，則 n 的值為 ( )

分析與點撥：根據規律，按序號“n”，第“n+1”個都較前一個增加3個白塊，因此第n個應為： ，所以答案是：B。

鞏固練習：用棋子擺出下列一組“口”字，按照這種方法擺下去，擺第 n 個“口”字需用棋子（ ）

答案：A。

二、循環型

循環型探究題在幾何代數中都會出現，這類題會給出一組有限循環圖形或者數字（式子），要求學生發現其中規律，并求出第n個圖形或者數字（式子）是什么。解決此類題的關鍵是扣住“序號”和“循環節”，然后用除法中的余數來解決問題。

例 4 觀察下列圖形，判斷照此規律從左向右第 2011 個圖形是（ ）

分析與點撥：此類題主要考查學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力，關鍵是要找出多少個圖形或數字為一循環，即找出循環節，然后用序號除于循環節，得到的余數就是第幾個圖形或者數字，整除就是循環節的最后一個。

本題根據題意可知笑臉是 4個一循環。所以 2011÷4=502……3，從而確定第 2011 個圖形是循環節中的第 3 個圖形，故選 C。

A.0 B.2 C.4 D.8

答案：C。

三、漸近型

漸近型探究題是近年各地中考較常出現的題型，多以幾何題的形式出現，因其圖形像漸近線或者不斷變小或者不斷變大，故筆者稱其為漸近型。

此類題的特點是隨著數字或圖形的變化，它原先的一些性質有的不會改變，有的則發生了變化，而且這種變化是有一定規律的，這種規律可以作為猜想的一個參考依據。

例 5 如圖（1），已知小正方形 的面積為 1，把它的各邊延長一倍得到新正方形把正方形 的邊長按原法延長一倍得到正方形（如圖（2）），以此類推下去，則正方形的面積為正方形的面積為

分析與點撥：本題考查了正方形的性質和三角形的面積公式，能夠從圖形中發現規律。根據三角形的面積公式可知每一次延長一倍后，得到的一個直角三角形的面積和延長前的正方形的面積相等，即每一次延長一倍后，得到的圖形是延長前的正方形的面積的5倍，這正是本題的“變”和“不變”，即我們可通過正方形的性質和面積的等量關系探究規律。

如圖（1），已知小正方形 的面積為 1，則把它的各邊延長一倍后，三角形的面積是 1，新正方形的面積是 5，從而正方形的面積為 5×5=25，正方形的面積為故答案為

鞏固練習：如下圖，直角三角形紙片 ABC 中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC 中點，第 1次將紙片折疊，使點 A與點 D 重合，折痕與 AD 交于點 P1；設 P1D 的中點為 D1，第 2 次將紙片折疊，使點 A與點 D1重合，折痕與 AD 交于點 P2；設 P2D1的中點為 D2，第 3 次將紙片折疊，使點 A 與點 D2重 合，折痕與 AD 交于 點 P3；…；設Pn-1Dn-2的中點為 Dn-1，第 n 次將紙片折疊，使點 A 與點 Dn-1重合，折痕與 AD 交于點 Pn（n ＞ 2），則 AP 的長為（ ）

答案：A。

在 Rt△ ABC 中，AC=4，AB=3，所 以 BC=5，又 D 是 BC 的中點，所以，因為點 A、D 是一組對稱點，所以因 為 是 D1是 DP1的 中 點， 所 以即，同理，則，所以故應選 A 。

四、猜想型

猜想型是探究題中較難的一種題型，多以綜合題或填空題的形式出現。猜想題主要的呈現方式是在一定條件下條件發生變化，而猜想的結論是變化或者不變的。解決此類題的方法是要善于從題目提供的圖形或數字信息中發現共同點，這個共同點就是規律，然后利用總結歸納的數學思想，由特殊到一般再到特殊的模式進行解題。

例 6 一位同學拿了兩塊 45°的三角尺△ MNK、△ ACB 做了一個探究活動：將△ MNK 的直角頂點 M 放在△ ABC 的斜邊 AB 的中點處，設 AC=BC=a。

圖1

圖2

圖3

（1）如圖 1， 兩個三角尺 的重疊部分為△ ACM，則重疊 部分的面積為周長為

（2）將圖 1 中的△ MNK 繞頂點 M 逆時針旋轉 45°，得到圖 2，此時重疊部分的面積為周長為

（3）如果將△ MNK 繞點 M 旋轉到不同于圖 1、圖 2 的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證。

分析與點撥：此類題多數是當一些條件改變后，結果的數值不變或者其變化呈現出某種特征，可以猜想在新條件下，數值仍然不變，或者仍然按照原來的特征變化，以此猜想到結果的數值。這種題型比較新穎，需要學生的分析、判斷、探究、歸納和驗證，有效地考查學生的邏輯思維能力。

對于與圖形變化有關的猜想問題，解決問題的方法是利用數形結合的思想發現“變”和“不變”，找出變化中的共同點，從而發現規律。

本題綜合考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線、正方形的性質等。（1）由等腰直角三角形的性質：底邊上的中線與底邊上的高重合，得到△ AMC是等腰直角三角形，，則重疊部分的面積是△ACB面積的一半，為長為（2）易得重疊部分是正方形，邊長為面 積 為周長為 2a。（3）過點 M 分別做 AC、BC的垂線，垂足為H、G，求得 Rt△MHE≌Rt△ MGF，則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積，即重疊部分的面積為

鞏固練習：

觀察下列方程及其解的特征：

0）；

答案：

綜上，探究題的背景可謂千變萬化，但萬變不離其宗：我們在進行探究題的復習過程中，要從簡單入手，多練、多思考，善于總結、歸納，結合所學的知識，學會抓住題目條件中的“變” 和“不變”，發現規律，那么很多探究性問題就可迎刃而解了。