思考
——學習數學的有效途徑

◎黃建東

(無錫市八士中學，江蘇 無錫 214192)

思考
——學習數學的有效途徑

◎黃建東

(無錫市八士中學，江蘇 無錫 214192)

數學千變萬化，但是基本知識點不變，如何使學生在知識遷移和知識應用上得到發展，離不開教師平時的教學思考，培養學生學習數學的思考.在平時的教學中要培養學生的數學思考、數學分析能力、題目知識點的分解能力，通過教師的引導、示范，讓學生參與數學課堂的思考，從而培養學生的思考能力，讓學生真正掌握學習數學的有效途徑——思考.

數學；思考

數學是一門應用型學科，對于中學數學而言，應用主要體現在知識的遷移和知識的應用上，特別是2016年1月八年級數學學業水平測試，最能體現數學知識的遷移和應用.總分120分的數學試卷，共有26題，10個選擇題，8個填空題，8個解答題，整張試卷的編排基本上采用中考模式，難度在0.7左右.其中填空、選擇最后一題較難，22、23、24大題需要分類討論，才能完整解答.25題第二問需要學生轉化題目條件，利用已有知識構建橋梁，完成解答，得分率極低.26題需要學生通過數形結合，完成應用問題的函數題，得分率較低，僅為32%左右.分析學生解答試卷情況，主要是學生不會利用知識，對知識的遷移能力不夠，缺乏必要的分析和思考，本次考試對今后的數學教學有一定的指導意義.

數學千變萬化，但是基本知識點不變，對學生答題情況分析后可以發現，我校學生試卷答題情況呈現的主要是缺少對題目必要的數學思考，數學分析能力、分解能力的不足，對相關知識鏈接、整合能力不足，導致解題的不完整和錯誤.

所以，我們數學教師要有敏銳的眼光并積極地思考，平時在教學中要注重分析和啟發，引導學生思考，發現有價值的問題，點燃學生思考的火炬，課堂引領學生思考數學，學習數學，領悟數學.

一、理解數學思考的特點

數學思考也就是數學思維的訓練，它和學生已有知識、能力以及分析問題的能力有著密不可分的關系.思考是一種個體行為，具有鮮明的個性特征，主要表現為猜想、聯想、質疑、反思和推理等.

猜想，是大腦對已有的零散的表象進行合乎邏輯的加工而形成新的思維的過程，特別適合先猜想后證明的數學問題，有助于啟迪學生的數學思維，是邏輯推理必要的補充.

聯想，是大腦對某些信息進行加工，提取類似或相通問題的一種思維過程，它是數學思考的重要組成部分，也就是我們常說的舉一反三或觸類旁通.聯想有助于信息的對比或借用，能更深入地思考問題的本質，讓數學思考具有更大的深度和廣度.

質疑，就是提出問題，有人說提出問題比回答問題更重要.數學考試題難，主要就是難在對題目的分析、梳理和整合上，而質疑恰好就是分析為什么的起點，也是數學思考最本質的表象，教師要重視質疑，也要鼓勵學生質疑，因為這是思考的起點.

反思，學而不思則罔，現有質疑而后就要努力反思，從表象入手，尋找問題的癥結所在，從而完成數學思考，反思有助于更深入地理解問題的本質，加深思考的深度.

推理，是以上思考呈現結果，體現了思考的延展性和邏輯性，能更好地服務于思考.

數學教學中的思考，要充分體現學生的真思考和真實踐，教師不能越足更不能矯情地假思考，否則只會是填鴨式的灌輸，不利于學生思考的發展和提升.

思考不僅僅屬于每一名學生，也應該屬于每一位教師，只有師生共同參與的真思考，才能最有效地促進學生的數學思考.

二、營造數學思考的氛圍

教師要培養學生的思考能力，首先，要營造思考的氛圍，使教師成為思考的促進者、鼓勵者和幫助者，以靈活的教學方式來展開對話，引導學生思考，從而培養思考能力.

(一)認識學生的潛能

課堂是學生最重要的創造之地，思考是創造的必由之路，教師要充分認識學生的思考能力是師生共同思考碰撞智慧的前提.學生思考能力是巨大的，教師要相信學生，張揚自己的個性，激發學生思考的強烈欲望，讓課堂中充滿思考的芬芳.

(二)點燃思考的火炬

每一名學生大腦中都有期待被點燃的火炬，教師要做的就是以自己對教學內容的感悟和見解，尋找教學的切入點，創造時機，撞出思考的火花，點燃學生思考的火炬.

讓學生進行思考，要有針對性，對于初一學生而言，應注重感悟和猜想；對于初二學生而言，要注重積累和拓展；對于初三學生而言，要突出理性思維.教師要努力在不同年級逐層、深入地培養獨立思考、猜想、聯想、質疑、反思、推理的能力，只有這樣的思考，才能使學生想得深、悟得透，真正走進數學思考的大門.

(三)升華師生的情感

教與學是一個雙向運動的過程，學生潛在能力的激發，必須要有教師的激發，才能達到雙向師生情感的升華.以七年級數學上中的“垂直”一課為例，課堂上為了引入垂直的概念，我選取了生活中的人們過人行橫道的例子，讓學生體會“垂直”的感覺，學生爭先恐后地回答自己的思考結果.然后我又通過學生自己動手旋轉圓規的兩邊，使圓規的兩邊處于“垂直”的狀態，讓學生體會“實踐”的感覺，思考垂直的條件.再通過觀看跳水運動員入水姿勢判斷水花大小的視頻，反思如何才算兩條直線垂直？通過以上3個片段的師生互動和對話，讓學生在交流中加深理解垂直的概念.整個引入過程自然，師生相互感染，課堂氛圍活躍，加深了師生的情感.

三、創建數學思考的平臺

數學的本質是數學學習的思考源，教師要善于挖掘題目的信息，帶領學生進入思考的勝境，品味思考的來源、過程、和感悟.

(2016年1月八年級試卷第10題)在平面直角坐標系中，已知A(1，1)，B(3，5)，要在坐標軸上找一點P，使得△PAB的周長最小，則點P的坐標為( ).

A.(0，1) B.(0，2)

平時對于此類題目的思考就是：首先，要利用對稱在x軸，y軸上找到得到點P的方法，然后，需要用待定系數法求出AB直線的解析式，得出點P的坐標，學生大多選擇了D，兩種解答.忽略了最后還要比較兩種方法中的點P哪一種使得△PAB的周長最小，最小中找到最小的答案，得出正確答案.

(2016年1月八年級試卷第26題)如圖1，某物流公司恰好位于連接A、B兩地的一條公路旁的C處.某一天，該公司同時派出甲、乙兩輛貨車以各自的速度勻速行駛.其中，甲車從公司出發直達B地；乙車從公司出發開往A地，并在A地用1h配貨，然后，掉頭按原速度開往B地.圖2是甲、乙兩車之間的距離s(km)與他們出發后的時間x(h)之間函數關系的部分圖像.

(1)由圖像可知，甲車速度為________km/h；乙車速度為________km/h.

(2)已知最終乙車比甲車早到B地0.5h，求甲車出發1.5h后直至到達B地的過程中，s與x的函數關系式及x的取值范圍，并在圖2中補全函數圖像.

圖1

圖2

首先，圖像中點(0.5，60)表示兩車0.5小時路程和，點(1.5，100)表示乙車0.5小時和甲車1.5小時路程和，易得甲車速度為40 km/h；乙車速度為80 km/h.

此時乙車開始追甲車，追擊路程為100 km，設追擊時間為x小時乙車追上甲車.80x=100+40x，解得x=2.5，乙車追上甲車的坐標為(4，0).

因為最終乙車比甲車早到B地0.5 h，說明追上后，乙車比甲車多跑了0.5×40=20 km.

設乙車追上甲車后y小時到達B地,80y=40(y+0.5)，y=0.5，乙車到達終點B的坐標是(4.5，20)，甲車到的終點坐標(5，0).

由待定系數法求得解析式，并畫出圖像.

(2)當1.5≤x≤4時，s=-40x+160;

當4

當4.5

其實本題主要考查的就是數形結合的思想，由已有圖形得出兩車的速度，利用追擊問題求出時間，得出點坐標，求出解析式，畫出圖像.

在《數學課程標準》中，數學思考成為四維目標之一，數學思考中至關重要的部分就是思維能力，因為這是所有學生認識事物的普遍現象，但是這種能力的培養不是一蹴而就的，需要教師持之以恒的不斷努力，在平時的教學中，不斷嘗試、不斷實踐.

如果把思考能力展現在數學中發生比喻為“臺上三分鐘”的話，那么平時的思考能力培養就是“臺下十年功”.教師，只有在平時的數學教學中充分挖掘、培養學生的數學思考能力，才能更好地落實在數學課堂.教學中的數學思考，真正讓學生在數學思考方面有長足的進步.