例談分類與整合思想的應用

伍利美

分類與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置，通常以解答題為主進行考查.為什么要分類？如何分類？如何整合？這就要求學生必須有嚴謹、周密的邏輯思維能力和一定的分析問題、解決問題的能力.

一、對含有參數的字母進行分類與整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的單調區間.

解：函數f（x）的導數：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）當a=0時，若x<0，則f'（x）<0；若x>0，則f'（x）>0.

所以當a=0，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.

（2）當a>0時，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，當a>0時，函數f（x）在區間（-∞，-■）內為增函數，在區間（-■，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數；

（3）當a<0時，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，當a<0時，函數f （x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，-■）內為增函數，在區間（-■，+∞）內為減函數.

評注：數學問題中含有變量或參數，這些變量或參數取不同的值時會導致不同的結果，故需要對參數進行分類討論，再適當進行整合.

二、對排列、組合、概率問題中各種可能出現的結果進行分類與整合

例2：盒子有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為ξ，求ξ的分布列.

解：記ξ=k為所取兩球標號之和，則k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列為

評注：排列、組合、概率問題是考查分類與整合思想的重要載體，應使學生學會如何分步研究解決或分類研究解決，然后再由它們整合出所要求的結果.

三、對幾何問題中元素的形狀、位置變化情況進行分類整合

例3：在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的邊長為2，寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點落在線段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

解：（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=■；

（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，l），所以A與G關于折痕所在的直線對稱，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G點坐標為G（-k，l），從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為M（-■，■），折痕所在的直線方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）當k=0時，折痕的長為2.

（2）當k≠0時，折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為N（0，■），P（-■，0），設PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的長度的最大值2.

評注：涉及各種圖形元素的位置關系時應考慮周密，不重不漏.

在重視分類與整合思想的應用時，也應防止見凡參數就討論的輕率做法，能整體解決的就不必分類討論，辯證地運用分類與整合來解題.

責任編輯 羅峰

分類與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置，通常以解答題為主進行考查.為什么要分類？如何分類？如何整合？這就要求學生必須有嚴謹、周密的邏輯思維能力和一定的分析問題、解決問題的能力.

一、對含有參數的字母進行分類與整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的單調區間.

解：函數f（x）的導數：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）當a=0時，若x<0，則f'（x）<0；若x>0，則f'（x）>0.

所以當a=0，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.

（2）當a>0時，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，當a>0時，函數f（x）在區間（-∞，-■）內為增函數，在區間（-■，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數；

（3）當a<0時，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，當a<0時，函數f （x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，-■）內為增函數，在區間（-■，+∞）內為減函數.

評注：數學問題中含有變量或參數，這些變量或參數取不同的值時會導致不同的結果，故需要對參數進行分類討論，再適當進行整合.

二、對排列、組合、概率問題中各種可能出現的結果進行分類與整合

例2：盒子有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為ξ，求ξ的分布列.

解：記ξ=k為所取兩球標號之和，則k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列為

評注：排列、組合、概率問題是考查分類與整合思想的重要載體，應使學生學會如何分步研究解決或分類研究解決，然后再由它們整合出所要求的結果.

三、對幾何問題中元素的形狀、位置變化情況進行分類整合

例3：在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的邊長為2，寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點落在線段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

解：（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=■；

（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，l），所以A與G關于折痕所在的直線對稱，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G點坐標為G（-k，l），從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為M（-■，■），折痕所在的直線方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）當k=0時，折痕的長為2.

（2）當k≠0時，折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為N（0，■），P（-■，0），設PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的長度的最大值2.

評注：涉及各種圖形元素的位置關系時應考慮周密，不重不漏.

在重視分類與整合思想的應用時，也應防止見凡參數就討論的輕率做法，能整體解決的就不必分類討論，辯證地運用分類與整合來解題.

責任編輯 羅峰

分類與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置，通常以解答題為主進行考查.為什么要分類？如何分類？如何整合？這就要求學生必須有嚴謹、周密的邏輯思維能力和一定的分析問題、解決問題的能力.

一、對含有參數的字母進行分類與整合

例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的單調區間.

解：函數f（x）的導數：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；

（1）當a=0時，若x<0，則f'（x）<0；若x>0，則f'（x）>0.

所以當a=0，函數f（x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.

（2）當a>0時，由2x+ax2>0，解得x<-■或x>0，

由2x+ax2<0，解得-■

所以，當a>0時，函數f（x）在區間（-∞，-■）內為增函數，在區間（-■，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數；

（3）當a<0時，由2x+ax2>0，解得0-■.

所以，當a<0時，函數f （x）在區間（-∞，0）內為減函數，在區間（0，-■）內為增函數，在區間（-■，+∞）內為減函數.

評注：數學問題中含有變量或參數，這些變量或參數取不同的值時會導致不同的結果，故需要對參數進行分類討論，再適當進行整合.

二、對排列、組合、概率問題中各種可能出現的結果進行分類與整合

例2：盒子有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為ξ，求ξ的分布列.

解：記ξ=k為所取兩球標號之和，則k=2，3，4，6，7，10.

P（ξ=2）=■×■=■；

P（ξ=3）=2×■×■=■；

P（ξ=4）=■×■=■；

P（ξ=6）=2×■×■=■；

P（ξ=7）=2×■×■=■；

P（ξ=10）= ■×■=■.

∴ξ的分布列為

評注：排列、組合、概率問題是考查分類與整合思想的重要載體，應使學生學會如何分步研究解決或分類研究解決，然后再由它們整合出所要求的結果.

三、對幾何問題中元素的形狀、位置變化情況進行分類整合

例3：在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的邊長為2，寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示），將矩形折疊，使A點落在線段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（Ⅱ）求折痕的長的最大值.

解：（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=■；

（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，l），所以A與G關于折痕所在的直線對稱，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G點坐標為G（-k，l），從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為M（-■，■），折痕所在的直線方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.

（Ⅱ）（1）當k=0時，折痕的長為2.

（2）當k≠0時，折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為N（0，■），P（-■，0），設PN=d，

d=PN2=（■）2+（-■）2=■

d'=■

令d'=0，解得k=-■

∴PN■■=■，PNmax=■<2

由折痕可知k<0，所以折痕的長度的最大值2.

評注：涉及各種圖形元素的位置關系時應考慮周密，不重不漏.

在重視分類與整合思想的應用時，也應防止見凡參數就討論的輕率做法，能整體解決的就不必分類討論，辯證地運用分類與整合來解題.

責任編輯 羅峰