“數學化”視角下問題解決教學的可行策略

何達明

【摘要】弗賴登塔爾是國際上極負盛名的荷蘭數學家和數學教育家。弗賴登塔爾指導、推動和親身參與了荷蘭的數學教育改革實踐，并對20世紀國際數學課程的改革與發展作出了重大貢獻。我們今天所討論的便是在他的“數學化”理論下的教學策略。

【關鍵詞】數學化 再創造 問題解決 教學策略

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）16-0138-02

生活在21世紀的我們，再去重新學習弗賴登塔爾的數學教學理念，不免要加上我們自己的認識，以及結合新課標的教學去更好的實施，落實到我們的數學教學中。弗賴登塔爾反對死記硬背，提倡討論式，指導式的教學形式，反對傳統的講演式教學。

一、數學化的涵義

數學化也可以稱為數字化，字符化。在各門科學研究實踐中廣泛應用數學方法的整個實施過程。是指隨著人類社會發展和科學進步、數學廣泛滲透到自然科學和社會各領域。即是把數字的高度抽象性、嚴格邏輯性、語言簡明性、廣泛實用性集中用于人類進行理論思維、邏輯分橋、認識客觀世界的一種輔助工具和表現手段，以達到規范系統的高度。簡單來講現在我們對于“數學化”的認識就是將數學學科所有的抽象性，邏輯性運用到現實生活以及其他學科之中。弗賴登塔爾認為 ：數學化就是數學地組織現實世界的過程。同時他所強調的數學化的對象可分為兩類，一類是現實客觀事物 ，另一類是數學本身 ，以此為依據數學化思想被分解為兩大類 ：橫向數學化和縱向數學化。[1]

“數學化”的教學涵義，弗賴登塔爾曾經說過：“與其說是學數學倒不如說是學習“數學化”，與其說是學習公理系統，還不如說是學習“公理化，與其說是學習形式體系，倒不如說是學習形式化。”就我自己對于“數學化”教育的理解就是立足于現實，拋開單純的知識傳授，數學的學習是讓我們的學生能將在課堂上所學到的運用于實際生活中。

而我們上面所說到的弗賴登塔爾將“數學化”分為橫向數學化和縱向數學化。橫向數學化我們也稱之為水平數學化，這種數學化模式主要是通過模型將實際問題抽象為數學模型，具有生活數學數學化之稱?？v向數學化我們也經常將其說為垂直數學化，這種數學化模式是數學問題的重組，以及數學內部知識的遷移調整，具有有序性，也是對數學問題的進一步抽象。這兩種數學化的形式跟我們前面所說的水平數學化和垂直數學化又是不謀而合。個人比較推崇在小學教育中還是應該以水平數學化為主，從小培養學生對于數學的正確認識，在教學中不乏要培養學生的興趣，教育學家烏申斯基說“沒有任何興趣，而被迫進行的學習會扼殺學生掌握知識的意愿。”

二、“再創造”原則

弗賴登塔爾認為存在兩種數學，一種是現成的數學，一種是創新的數學。我們在談“數學化”就不得不談到“再創造”，他同樣是弗賴登塔爾“數學化”思想下的重要組成部分。既然學習數學的過程是一種“數學化”的過程，他認為唯一可行的方法就是讓學生進行“再創造”的學習?！霸賱撛臁本褪怯蓪W生本人把要學的東西自己去發現或創造出來。他說：“這是兒童學習數學最自然的、也是最有效的方法?！盵2]48而再創造在我們現代的小學教學中到底有什么啟示作用呢？例如我們創作一個電影劇本，劇本完成后在拍攝的過程中演員們會不斷的根據劇情需要以及自己對于角色的理解對劇本進行修改，往往拍出來的電影跟原先的劇本就有著許多不同，但是觀眾卻會更喜歡。然而我們忽略了“再創造”的重要性，數學化中的再創造可以將數學歷史縮短，可以將數學歷史與現實統一。

三、“數學化”與問題解決

美國數學教師協會（NCTM）于 1980 年 4 月公布了文件《關于行動的議程》（An Agenda For Action），該文件指出：“20 世紀 80 年代的數學大綱 ，應當在各年級介紹數學的應用， 把學生引進問題解決中去。”“數學課堂應當圍繞問題解決來組織 。”“數學教師應當創造一種使問題解決得以蓬勃發展的課堂環境?！?，并且明確提出 ：把“問題解決”作為“學校數學的核心”[3]在數學教學中，傳統教學認為問題解決就是數學知識的應用過程，就是學生在課堂上所學到的數學知識能充分運用的數學題目的解答中，那便是學以致用。在“數學化”視角下我們應該賦予問題解決更高層次的理解，問題的解決不應該僅僅是知識的運用過程，在這個過程里更應該加入學生自身對于問題的理解思考，同樣的需要從實際出發，在現實思考中解決問題。

例1.22個學生去劃船，每條船最多坐四人，他們要租多少條船？

（1）從題目中我們能得到什么？

信息一：22個學生去劃船；信息二：每條船最多坐四人。

（2）他們至少要租多少條船？

反思1—1：“每條船最多坐四人”是什么意思？

每條船：坐滿4人

坐不滿1人，2人或是3人

講解1—1：怎樣租船才能“至少”呢？

每條船盡量坐滿四人，多出的人可在租一條船。

預設1：○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○

預設2： 4，4，4，4，4，2

預設3：

22÷4=5（條）……2（人）

反思2-1：求要租幾條船，就是求22里有幾個4，應該用除法解答。

講解2-1：豎式中每個數的含義以及租6條船的道理。

還多出2人，應該再租1條船，一共要租6條船。

例2.出租車收費標準每千米1.5元（不足一千米按一千米算）

反思1-1：怎樣計算出租車費？

3km ：3個1.5元 7km： 7個1.5元

講解1-1：全程按單價計費

出租車收費標準：3km以內7元，超過3km，每千米1.5元（不足一千米按一千米算）

反思1-2：怎樣計算出租車費？

3km ：7元 7km： 7元和4個1.5元

講解1-2：分段計費

3km以內；超過3km

反思1-3：兩種收費標準有什么異同？你喜歡那種收費標準？

講解1-3：

少算：13-10.5=2.5（元）

前3km少算：7-1.5×3=2.5（元）

方法一： 7+1.5×4 方法二： 1.5×7=10.5（元）

=7+6 7-1.5×3=2.5（元）

=13（元） 10.5+2.5=13（元）

反思2-1：

方法一：前面3km應收7元，后面4km按每千米1.5元計算… …

方法二：可以先把7km按每千米1.5元計算，再加上前3km少算的。

講解2-1：一種是分段來計算，一種是先假設再調整的方法；

分段計費的問題可以用加法計算。

學生學習無疑是為了知識的運用。學學習的目的之一：能夠應用學得的數學知識解決實際問題 ，這類“實際問題”廣泛來源于現實的生活環境 、工作環境 ，與常見的“數學習題”相比較 ，它沒有充分的條件、確定的結論， 至多有一個要解決的目標 ，為了實現解決的目標 ，必須通過數學模型的建立將實際問題抽象成數學問題。

四、可行教學策略

教師的任務在于了解學生的教學現實，并由此出發組織教學。有以下幾點， “數學化”視角下的教學策略還應該結合我國的新課標教學，在“數學化”視角下問題解決的可行性策略可以有以下幾點：

1.嘗試教學情境的創設；無論是教師還是學生對于教學情境的創設都是同樣重要的。教師是教學情境創設的指導者，學生是教學情境下的主體，相輔相成，才能推動教學的發展。

2.引導學生獨立思考，自主探索，合作交流；我們在前面說過的“數學化”再創造，再創造在我們教學中具有促進教學發展的作用，學生通過獨立思考創造不同的解題思路，教師同樣也是引導者。

3.重視小學數學教學與社會實踐問題的聯系；“數學化”本就是立足于現實的，即是數學的現實，在小學教學中我們需要做到的是教學中的“數學化”，引導學生立足現實去思考，而不是跟學生強調“數學化”，相反教師應該將“數學化”巧妙運用到教學中。

4.引導學生正確認知問題，對知識或理論的發生發展及其應用有一定的理解能力，提高學生接受，鞏固數學知識的能力，提高學生自身思維和解決問題的能力。教師要把各種問題加以歸類，使之系統化，引導學生進行比較，滲透對數學思想和數學方法的探索。

5.要合理設計問題，好的問題能誘發學生的學習動機，啟迪思維，激發求知欲望，基于情景問題，盡可能的吸引人，問題的設計還應具有較強的“再生力”。要注意提煉基本方法，在“問題解決”教學中，基本技能和方法在學習過程中有著特別重要的意義。

弗賴登塔爾的“數學化”教學理念于我而言還有很多需要研究學習的，如何將其正確地應用到我的教學中，也是我接下來需要不斷刻苦研究的。

參考文獻：

[1]劉祥偉. 對弗賴登塔爾“數學化”的再認識[J]. 重慶師范學院學報（自然科學版），2001，（02）：82-85.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3]張奠宙，戴再平，唐瑞芬， 等.數學教育研究導引[M].南京：江蘇教育出版社， 1998 .