優化學生CPFS結構的課堂小結研究
——以“等差數列前n項和求最值”教學為例

何英

優化學生CPFS結構的課堂小結研究
——以“等差數列前n項和求最值”教學為例

何英

實際課堂中，各種各樣的原因使得課堂小結往往形同虛設。其實課堂小結可以作為優化學生CPFS結構的重要環節。教師應將課堂小結這個環節交給學生，給學生留足時間自主建構概念域、命題域，從而達到完善CPFS結構的目的。

CPFS結構；課堂小結；自主建構

一堂好課，要有引人入勝的課題導入，扎實有效的課堂建構，畫龍點睛的課堂小結。但實際課堂中，教師或因時間預設不充分，抽不出時間小結，或因課堂中每個節點都已經小結過，覺得沒必要小結，課堂小結往往形同虛設，給教學留下了遺憾。其實，課堂小結可以作廣義的理解，即師生在完成一項任務后對所學知識的歸納總結。在這里，課堂小結并非僅僅是知識與技能的簡單回顧，我們可以利用課堂小結來完善學生的CPFS結構。

一、CPFS結構概述

南京師范大學喻平教授對學生的認知心理結構做了深入的研究，提出了CPFS結構這個觀點。喻平教授將概念域 （concept field）、 概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）形成的心理結構稱為CPFS結構。

1.概念域與概念系。

概念C的所有等價定義的圖式，叫作概念C的概念域。具體地說，概念域的含義是指某個概念的一些等價定義（知識）在個體頭腦中形成的知識網絡，是個體對數學知識的表征。

如果一組概念 C1，C2，…，Cn存在關系C1R1C2R2…Rn-1Cn（*），其中Ri（i=1，2，…，n）表示強抽象、弱抽象、廣義抽象這3種數學關系中的任意一種，那么稱*式為一條概念鏈，記為λ={C1，C2，…，Cn}。如果兩條概念鏈的交集非空，則稱這兩條鏈相交。如果m條概念鏈中至少有一條與其余的鏈都相交，那么稱這m條鏈的圖式為概念系。

2.命題域與命題系。

命題域（系）是概念域（系）的自然推廣。如果命題A成立，當且僅當命題B成立，那么就稱A與B是等價命題，記為A?B。與命題A等價的所有命題組成的命題集叫作命題A的等價命題類，記為{A1}，并稱A為典型命題。典型命題A的等價命題類{A1}連同這些命題之間的（互推）關系所形成的結構叫作等價命題網絡。我們稱一個等價命題網絡的圖式為典型命題A的命題域。

如果一組命題A1，A2，…，An存在推出關系（廣義抽象）A1?A2?…?An，則稱其為一條命題鏈，記為λ={A1，A2，…，An}。如果m條命題鏈中的每一條都至少與其余一條相交（交集非空），那么稱這m條鏈組成的系統為半等價命題網絡。一個半等價命題網絡的圖式稱為命題系。命題系是命題域的推廣，命題域往往作為某個命題系的子圖式。

概括而言，CPFS結構的含義是：（1）個體頭腦中內化的數學知識網絡。各知識點（概念、命題）在這個網絡中處于一定位置，知識點之間具有等值抽象（等價）關系，或強抽象關系，或弱抽象關系，或廣義抽象關系。（2）由于網絡中知識點之間具有某種抽象關系，而這些抽象關系本身就蘊涵著思維方法，因而網絡中各知識點之間的連線包含著數學方法。（3）CPFS結構既包含了表征陳述性知識的圖式，又包含表征程序性知識的產生式系統。

由上述內容，我們可知，CPFS結構包含了學生解題時需要動用的一切信息，所以若CPFS結構不完善，即使學生課上能聽懂，但自己解題時仍舊會感覺困難。一方面可能因為題目已將命題或概念換了一個表述方法，而由于學生不完善的CPFS結構缺乏這個信息，所以連題目都無法讀懂；另一方面，即使學生看懂題意，但在不完善的CPFS結構中調動不出相應環節的命題域或命題系，所以找不到解決問題的辦法。

二、實施案例

CPFS結構是學生根據自己特有的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等對所學過的相關信息（概念、命題、思維方法）在頭腦中存儲的有規律的網絡結構，其他人是看不見的，甚至學生自己在解決數學問題時也是無意識地在調動他的CPFS結構中的信息。要想檢視學生的這個結構是否完善，首先需要將這種看不見的思維變成可視的形式，所以我們要借助一切有效的方式把學生的CPFS結構呈現出來，概念圖就是一種有效的工具。

概念圖是一種用節點代表概念、連線表示概念間關系的圖示法，一般由“節點”“連線”和“有關文字標注”組成。節點是利用幾何圖形、圖案、文字等表示某個概念，每個節點表示一個概念，一般同一層級的概念用同種的符號（圖形）標識。連線表示不同節點間的有意義的關系，常用各種形式的線聯結不同節點，這其中表達了構圖者對概念的理解程度。文字標注可以表示不同節點上的概念的關系，也可以是對節點上的概念詳細闡述，還可以是對整幅圖進行有關說明。它是一種知識以及知識之間的關系的網絡圖形化表征，也是思維可視化的表征。將抽象的思維變成可視的、形象的圖示，便于學生檢查和修改CPFS結構中不完善的部分，也便于學生理解記憶。

下面借助一節關于等差數列的前n項和Sn求最值的新授課來進行說明。

1.教學過程。

（1）復習回顧等差數列前n項和公式的多種表達形式。

（2）典例呈現。

例1 已知an=4n-37，求使得Sn取最小值時的n的值。

方法1 學生把Sn求出來，從二次函數的角度求得了最值，教師提醒要注意定義域。

方法2 教師引導學生從等差數列單調性的特征出發，列出不等式組，求得了n的值。

變式1 等差數列{an}中，a4=36，d=-6，求Sn最大值。

變式2 已知{an}為等差數列，a1＞0，S4=S9，求n為何值時，Sn最大？使Sn＞0的最小正整數為多少？

變式3 已知{an}為等差數列，a1＞0，S9＞0，S10＜0，求n為何值時，Sn最大？

2.基于優化CPFS結構的課堂小結設計。

為了讓學生完善CPFS結構，教師可以以問題為驅動，引導學生先建構各種概念（命題）系、概念（命題）域。

師：今天我們學習了如何求等差數列的前n項和的最值，追本溯源，請同學們思考以下問題：

問題1 為何等差數列的前n項和有最值？

學生在回答這個問題時就要建構以下概念域或概念系。

概念域：函數的最大（小）值即定義域中函數值的最大（小）值。

函數圖像的最高（低）點的縱坐標即為該函數的最大（小）值。

概念鏈λ1={C1，C2，C3}，C1：函數的定義。C2：二次函數的定義。C3：公差不為0的等差數列前n項和Sn為定義域為正整數的二次函數。

由上述信息綜合得等差數列的前 n項和是定義域為正整數的二次函數，所以一定有最值。

問題2 如何求等差數列的前n項和的最值？

問題3 等差數列的前n項和的先增后減（或先減后增）的特點本質上是由數列的什么性質決定的？

學生繼續在頭腦中提取相關信息，構建概念（命題）域：

{an}是等差數列，當且僅當an+1-an=d，d為常數，n∈N*?

{an}是等差數列，當且僅當 an+1-an=an-an-1，n≥2，n∈N*?

{an}是等差數列，當且僅當an+1=a1+（n-1）d，n≥2，n∈N*?

{an}是等差數列，當且僅當 an=am+（n-m）d，d為常數，n，m∈N*?

{an}是等差數列，當且僅當an=dn+（a1-d），d為常數，n∈N*。

概念鏈λ2={C1，C4，C5}

C1：函數的定義；C4：一次函數的定義；C5：公差不為0的等差數列通項公式an為定義域為正整數的一次函數。

概念鏈λ3={C6，C7，C8，C9}

C6：函數的性質。C7：函數的單調性。C8：一次函數的單調性。C9：等差數列的通項公式的單調性。

圖1

綜合這些信息，學生得到等差數列通項的相關性質：d≠0時，an是關于n的一次函數，若d＞0，則an單調遞增，若d＜0，則an單調遞減；若等差數列的首項為負數，公差為正數，則該數列中的項會由負數遞增為正數，當前n項和再加上一個負數項時，和變小，加上一個正數項時，和變大，所以前n項和先減后增，加上最后一個非正數的項后即求得和的最小值；反之，若等差數列的首項為正數，公差為負數，則等差數列的前n項和先增后減，加上最后一個非負數的項后即求得和的最大值。所以，若a1＜0，d＞0，則由求使Sn取最小值的n；若a1＞0，d＜0，則由求使Sn取最大值的n。

上述信息可用概念圖表示，如文末圖1。

若學生能親歷小結的過程，必將在頭腦中搜索到上述相關概念系及命題系。若學生能自主歸納出兩種解法的原理及方法，必能更靈活地運用它們解決相關問題，如變式2，3。

課堂小結對學生的語言組織能力、概括抽象能力、知識的理解程度有很高的要求，所以初始嘗試時教師須給予學生悉心的指導、耐心的幫助以及熱情的鼓勵，教師若能長期堅持，學生的學習定會達到事半功倍的效果。

［1］喻平，單墫．數學學習心理的CPFS結構理論［J］．數學教育學報，2003（01）.

［2］喻平.數學教學心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.

［3］曹才翰，章建躍．數學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，1999．

G633.6

A

1005-6009（2017）27-0043-03

何英，江蘇省太湖高級中學（江蘇無錫，214125）教師，一級教師。