從數列不等式綜合問題談教學建議

江蘇省江陰中等專業學校(214400)

程亞芳●

?

從數列不等式綜合問題談教學建議

江蘇省江陰中等專業學校(214400)

程亞芳●

數列不等式一直是區分學生綜合能力的壓軸型試題，其在數列基本思想和不等式放縮運用角度上對于學生數學能力的區分受到命題者的歡迎，合理地掌握一些基本的放縮技巧以及放縮問題中的數列相關思想，是數列不等式問題解決的重要依據．本文從綜合性角度較高的問題談一談數列不等式綜合問題教學的一些建議．

數列;不等式;綜合;壓軸;數學;放縮;累乘;累加

數列與不等式的結合一直是中學數學最難的知識之一，很多學生對其望而興嘆，根本無從下手．在各種教育論壇中，學生對數列不等式是這樣認識的：看到數列不等式，我就直接放棄了！根本沒辦法證明！其實，數列不等式盡管依舊是難點所在，但是其還是有據可循的，也并不是一味地追求放縮的技巧，從這些問題的背后還是有一定的延續性和基本知識考查性，值得教師進行研究和反思，并在教學中給出正確的復習建議．

一、放縮思想的滲透

數列與不等式的結合是高考熱點問題，特別是近年來在很多省份成為壓軸的問題．這類問題特別受命題者偏愛，筆者認為這與數列中很多特性緊密相關：如數列是函數的特殊模型、高等數學中的不動點的思想、“階”的思想等等，這些都可以用來考查學生的數學能力．因此數列不等式中以放縮為載體的問題層出不窮．數列不等式往往因為放縮而顯得困難無比，這種放縮的度是學生最難掌控的．但是放縮一般都是有據可循的，也是在教學中不斷嘗試和探索才能成功的．

解析 (1)a1=S1=1， 當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1.

由于n=1時符合公式，∴an=2n-1 (n≥1)．

兩式相減得

教學建議：數列不等式較為常見的放縮僅僅是針對現行的結論去實現的，這種綜合性問題的處理還是比較常規的，如本題中證明Tn<1，可見其通項是較為常規的等差×等比數列，典型的錯位相減方式可以解決，僅僅針對求解的結果進行了簡單的放縮，是教學最需要向學生滲透的基本解決方法．

所以不等式成立．

教學建議:本題以導數作為切入點，轉向數列，求通項，然后利用不等式放縮法求數列的和，在本題中不等式的放縮法應用是一個亮點．放縮是處理數列不等式綜合性問題最基本的一種處理手段，但是放縮常用的手段是需要積累的，需要教師給以學生歸納，比如常用的放縮技巧如：

等等．從知識技能來看，上述很多放縮是有一些技巧的，如關于組合數的放縮和階乘的放縮等，筆者本身并不贊同所有的技巧都需要掌握，這需要因學生能力而異，但是盡可能多地了解和掌握，有助于學生問題解決過程中“眼界”的開拓．

二、多角度處理的靈活性

數列不等式在處理中往往涉及到各種角度的綜合運用，依據筆者的經驗來看，主要是：等比構造放縮、等差裂項相消、累加思想使用、累乘思想、數學歸納法等手段的使用，數列不等式放縮型問題正是以上述知識為載體、背景進行合理編制，讓遞推關系式中隱含諸如累乘、累加思想，通過一定的、淺顯的變換讓知識的使用成為現實．這里需要注意的是，技巧已經不再是考查最核心的，更多是以思想為載體的考查成為重中之重．筆者給出一個典型案例：

總之，較為復雜的數列不等式問題需要教師做好一些教學的準備工作，首先是基于常用數列求和的積累，這是學生學習進一步放縮的前提；其次是掌握一系列基本的放縮常用手段，這是基本放縮的必備條件；最后是給予學生幾個主流思想的指導，如累加累乘、不動點思想、“階”的思想等等滲透．有了扎實的知識技能，結合合理的思想引導，學生對于問題解決的方向有了明確的針對，通過一定的訓練自然有事倍功半的效果．本文是筆者自身不成熟的一些見解，懇請讀者提出寶貴建議批評指正．

[1]盧民良.數列極限數學歸納法問題探求[J].中學教研,2014,3

[2]張世林,田宏梅.與時俱進的不等式恒成立問題[J].試題研究,2015,11

[3]周剛強.高中生數學學習困難的歸因分析及對策研究[J].數學教學通訊,2012,10

G632

B

1008-0333(2017)15-0002-02