分類討論思想研究提高解題能力

江蘇省常熟市尚湖高級中學(215500)

陸志峰●

?

分類討論思想研究提高解題能力

江蘇省常熟市尚湖高級中學(215500)

陸志峰●

本文敘述了分類討論的由來；分類討論的依據；分類的原則；簡化和避免分類討論的優化策略.本文第二部分和第三部分通過實踐說明分類討論思想在實踐中的應用.

不等式；數列；直線方程；拋物線；焦點弦

一、分類討論思想認知

1.分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有著極廣泛的應用.根據不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發，做到不重復、不遺漏，包括各種情況，同時要有利于問題研究.

2.引導分類討論的原因大致可歸納為以下幾種：

(1)涉及的數學概念是分類討論的如絕對值|a|的定義：分a>0,a=0,a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

(2)運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的，如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況，這種分類討論題型可以稱為性質型.

(3)求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性.如排列、組合、概率中較常見.

(4)數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結果.如解不等式ax>2時，分a>0，a=0和a<0三咱情況討論，這稱為含參型.

(5)較復雜或非常規的數學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的.

3.分類討論就是依據一定的標準，對問題分類、求解，要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則，分類討論常見的依據是：

(1)由概念內涵分類，如絕對值、直線的斜率、指數對數函數、直線與平面的夾角等定義包含了分類.

(2)由公式條件分類，如等比數列的前n項和公式、極限的計算、圓錐曲線的統一定義中圖形的分類等.

(3)由實際意義分類，如排列、組合、概率中較常見，但不明顯，有些應用問題也需分類討論.

4.分類原則

(1)對所討論的全域分類要“即不重復，也不遺漏”；

(2)在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行；

(3)對多級討論，應逐級進行，不能越級.

5.簡化和避免分類討論的優化策略

(1)直接回避，如運用瓜下法、求補法、消參法等方法有時可以避開煩瑣的討論；

(2)變更主元，如分離參數、變參置換，構造以討論對象為變量的函數形式解題時可避開討論；

(3)合理運算，如利用函數奇偶性、變量的對稱輪換以及公式的合理選用等有時間可以簡化甚至避開討論；

(4)數形結合，利用函數圖象、幾何圖形的直觀性和對稱特點有時可以簡化甚至避開討論.

在學習中也要注意優化策略，有時利用轉化策略，如反證法、補集法、變更多元法、數形結合法等簡化甚至避開討論.

二、分類討論思想實踐典例

題型：分類討論問題在不等式中的應用

例題1 解關于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.

解 (1)當a=0時，原不等式化為-x+1<0

∴x>1.

點評 這是一個含參數a的不等式，一定是一元二次不等式嗎？不一定，故首先對二次項系數a分類：

題型：分類討論問題在數列中的應用

例題2 已知數列{an}滿足a1=0,a2=2,且對任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2.(1)求a3,a4;(2)設bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),證明：{bn}是等差數列；(3)設cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求數列{cn}的前n項和Sn.

解 (1)由題意，令m=2，n=1，可得a3=2a2-a1+2=6;再令m=3,n=1，可得a5=2a3-a1+8=20.

(2)當n∈N*時，由已知(以n+2代替m)可得：a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.

于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8,即bn+1-bn=8,所以{bn}是公差為8的等差數列.

當q=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1).當q≠1時，Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1.兩邊同乘以q,可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2n·qn.

點評 等比數列的求和公式只適合于q≠1，特別是公比q中含參數時，需要分類討論.

三、分類討論思想應用討論

題型：巧設直線方程避免分類討論

在解決拋物線y2=2px(p>0)焦點弦問題時，常用點斜式設焦點弦方程，但此時，要考慮斜率k存在與不存在兩種情況.如果我們巧妙的設其方程為：x=my+p/2或x=ycotθ+p/2(θ為焦點弦的傾斜角，0°<θ<180°)就可避免分類討論的麻煩.

例題3 設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，證明直線AC經過原點O.

分析 常規解法是按k不存在設方程為x=p/2，k存在設方程為y=k(x-p/2)，分別求解，比較繁瑣.

為避免分類討論，可設AB的方程為x=my+p/2，A、B的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB).將AB方程代入拋物線方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0.由韋達定理得yAyB=-p2,即yB=-p2/y.由于BC∥x軸且C在準線x=-p/2上，故C(-p/2,yB).

例題4 過拋物線y2=2px的焦點作傾斜角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設△AOB的面積為S(O為原點)，試用θ、p表示S，并求出S的最小值.

當θ=90°時，S有最小值p2/2，此時焦點弦AB是拋物線的通徑.

可見，我們在解決拋物線焦點弦問題時，如果巧妙的設焦點弦方程，將避免分類討論的麻煩，給我們解題帶來許多方便之處.

G632

B

1008-0333(2017)15-0006-02