方程、函數(shù)、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化

江蘇省贛榆外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(222100)

李金波●

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方程、函數(shù)、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化

江蘇省贛榆外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(222100)

李金波●

轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)思想中占據(jù)舉足輕重的作用，而方程、函數(shù)和不等式又是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn).本文著重討論了不等式轉(zhuǎn)化為方程、函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程和方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，用轉(zhuǎn)化思想將初中數(shù)學(xué)中的三個(gè)重點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，可以讓學(xué)生全方位地了解這三者之間的聯(lián)系.

轉(zhuǎn)化思維；方程；函數(shù)；不等式

一、不等式轉(zhuǎn)化為方程

不等式問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，通過(guò)不等式可以變形出許多題型，其中不等式問(wèn)題與方程的結(jié)合就是一個(gè)典型問(wèn)題.不等式中的定值問(wèn)題往往就會(huì)與方程問(wèn)題結(jié)合起來(lái)考查，通過(guò)將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)求解確定值.

例1 已知正整數(shù)a、b、c滿足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，求a、b、c的值.

解析 這道題從條件是不等關(guān)系，而所要求的卻是確定的值，似乎無(wú)從下手.但是根據(jù)條件和要求的結(jié)論，應(yīng)該想到本題要將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，只有方程才能有確定關(guān)系，故解題的思路就應(yīng)該向方程靠攏.

點(diǎn)撥 對(duì)于不等式中的求值問(wèn)題，一般都是通過(guò)方程的思想解決這些問(wèn)題，通過(guò)方程中的等量關(guān)系求出未知數(shù).不等式問(wèn)題與方程的結(jié)合是一個(gè)重要的考點(diǎn)，學(xué)生們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意總結(jié)和歸納這類問(wèn)題，才能取得較大的進(jìn)步.

二、函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程

函數(shù)和方程是緊密相連的，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化.函數(shù)的解析式其實(shí)是關(guān)于兩個(gè)變量的二元方程，當(dāng)一個(gè)變量為確定的值時(shí)，此時(shí)滿足這兩個(gè)變量關(guān)系的解析式就是關(guān)于另一個(gè)變量的一元方程.方程其實(shí)就是函數(shù)的一種特殊情況，在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，一般可以將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.

例2 不論m為何實(shí)數(shù)，拋物線y=x2-2mx+2m-1總過(guò)一定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo).

解析 本題雖然是函數(shù)問(wèn)題，但是根據(jù)題目中的條件和所要求的結(jié)論，可以想到函數(shù)問(wèn)題應(yīng)該轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.條件中函數(shù)總是經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，可以利用這個(gè)條件尋找突破口，本題通過(guò)兩種解法解決此問(wèn)題.

解法1：根據(jù)題中條件，既然m可以為任意實(shí)數(shù)，由從特殊到一般的思想，不妨取m=0與m=1，將m的值分別代入y=x2-2mx+2m-1中，可以得到兩個(gè)二元方程，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的消元和化簡(jiǎn)，可以解得x=1,y=0，那么所求的定點(diǎn)就是(1,0).

解法2：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次方程，則原函數(shù)y=x2-2mx+2m-1通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為 (2x-2)m+y+1-x2=0.根據(jù)條件，要使得這個(gè)關(guān)于m的方程有無(wú)窮多解，則m前面的系數(shù)必須為0，則x=1，那么要想等式成立必須y=0，那么所求的定點(diǎn)就是(1,0).

點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵在于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，上面的兩種解法本質(zhì)上都是通過(guò)方程的思想解決函數(shù)問(wèn)題.其中解法1中還用到了從一般到特殊的思想，充分挖掘了題目中的條件，兩種解法各有優(yōu)勢(shì)，希望學(xué)生都能掌握.

三、方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)

方程的實(shí)根問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)，方程問(wèn)題經(jīng)常與函數(shù)結(jié)合起來(lái)考查，這在無(wú)形中就增大了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度.但是只要對(duì)二者之間的聯(lián)系有充分了解，能夠?qū)⒍呦嗷マD(zhuǎn)化，就會(huì)胸有成竹，反而能充分利用這些知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，下面這個(gè)例子就體現(xiàn)了方程向函數(shù)的轉(zhuǎn)化.

例3 證明：若a

解析 本題中的條件是以方程的形式給出，而且所要求的問(wèn)題是與方程的根分布有關(guān)的問(wèn)題，故可以將方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，用函數(shù)的思想解決.

可以構(gòu)造新的二次函數(shù)：f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)2.由已知條件a0,f(b)=(b-a)(b-c)+(b-b)2=(b-a)(b-c)<0,f(c)=(c-a)(c-c)+(c-b)2=(c-b)2>0.

所以二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸相交于a、b之間和b、c之間，那么原方程的兩個(gè)不同實(shí)根一個(gè)根在a與b之間，另一個(gè)根在b與c之間.

點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵在于將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)轉(zhuǎn)化使問(wèn)題變得明朗易解.方程問(wèn)題與函數(shù)問(wèn)題之間的聯(lián)系非常緊密，二者之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題是中考的重要考點(diǎn)，希望能引起學(xué)生的注意.

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想是方程、函數(shù)和不等式之間聯(lián)系的紐帶，三者之間緊密相連，各種知識(shí)之間層層交錯(cuò).“聚沙成塔，集腋成裘”，只有用心學(xué)習(xí)，從點(diǎn)滴做起，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想的真諦，才能打好學(xué)習(xí)方程、函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)，讓學(xué)習(xí)更上一層樓.

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1008-0333(2017)14-0003-01