等腰三角形中的數學思想大展播

江西省贛州市章貢區教師進修學校(341000)

吳寧娜●

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等腰三角形中的數學思想大展播

江西省贛州市章貢區教師進修學校(341000)

吳寧娜●

本文例析了用不同數學思想解決等腰三角形的若干問題.

等腰三角形；討論思想；方程思想；整體思想；由特殊到一般

一、討論思想

例1 已知等腰三角形的一個角等于42°，則它的底角為( )．

A.42 ° B.69° C.69°或84° .D.42°或69°

分析 在等腰三角形中，當一個銳角在未指明為頂角還是頂角時，一定要分類討論．

解 (1)當42°為等腰三角形底角的底角度數時，則頂角為180°-42°×2=96°，符合題意；

(2)當42°為等腰三角形的頂角度數時，則底角為(180°-42°)÷2=69°．

所以底角存在兩種情況為42°或69°，選D．

例2 已知一個等腰三角形的一邊上的高等于這邊的一半，求頂角的度數．

分析 已知中的一邊可能是底邊，也可能是腰，所以需要分情況討論．

解 (1)若這一邊為底邊時，如圖1，AD⊥BC，AD=BD=CD，則△ABD和△ACD為等腰直角三角形，所以∠BAC=45°+45°=90°.

綜上可知等腰三角形的頂角是90°或30°或150°．

評注 在解等腰三角形的問題時，若已知條件中邊并沒有指明是底還是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提條件下分類討論.從而做到不漏解.

二、方程思想

例3 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分,求等腰三角形的底邊長.

分析 這是幾何中的代數問題,不妨考慮通過設未知數,利用方程(組)思想來解決.

解 設腰長為2xcm,底邊長為ycm,則

答:這個等腰三角形底邊長是5cm

評注 方程(組)思想是數學學習中的一個重要思想,它是通過設未知數,利用題意來設法建立方程(組),再求解,求出三角形的邊必須用三角形邊與邊不等關系來檢驗,決定取舍.

三、整體思想

例4 如圖4，在△BAC中，AB=AC,AB+BC=13,AB邊的垂直平分線MN交AC于D,求△BCD的周長.

分析 要求△BCD的周長,只需求出BC+CD+BD即可,而MN垂直平分AB,可知BD=AD,從而將△BCD的周長轉化為BC+AC,繼而可使問題獲解,又不必分別求出△BCD的三邊長.

解 ∵MN垂直平分AB交AC于D,∴BD=AD.又∵AB=AC, ∴△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=13.

評注 本題若分別求三邊長,則不易求解,而巧妙地應用整體思想求解可使問題簡單化.

四、由特殊到一般的思想

例5 (1)如圖5，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，則∠CBA與∠A的關系是____.

(2)如圖6，△ABC中，AB=AC，∠A=50°,BD⊥AC于D，若∠CBD=33°，則∠CBD與∠BAC的關系是____.

(3)如圖7，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC交CA的延長線于D，若∠BAC=128°，則∠CBD與∠BAC的關系是____.

(2)∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°.

(3)∵AB=AC，∠BAC=128°，∴∠ABC=∠ACB=26°.

由(1)、(2)、(3)得出規律：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

五、構造法

例6 如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于點D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD.

分析 由已知AD⊥BC，∠B=2∠C，如果我們在CD上截取DE=DB，連接AE，就可以構造出兩個等腰三角形△ABE和△AEC.

證明 在上截取DE=DB，連接AE.∵AD⊥BC，DE=DB，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB.又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，∴∠CAE=∠C.∴AE=EC，AB+BD=AE+ED=EC+ED=CD.

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1008-0333(2017)14-0005-01