2016年全國丙卷解幾壓軸試題的解法探析

福建省龍海第一中學新校區(363100)

蘇藝偉●

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2016年全國丙卷解幾壓軸試題的解法探析

福建省龍海第一中學新校區(363100)

蘇藝偉●

試題 (2016年全國丙卷第20題)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.

試題分析 該題避開了高考解幾傳統的命題視角,以直線和拋物線為載體考查兩條直線平行的證明以及求中點軌跡方程.主要考查考生的數學素養,探究能力,對考生的推理論證能力,邏輯思維能力要求較高.考生有沒有深度的思考,能不能找到轉化策略,成為解答本題的分水嶺.多考想,少考算,正是該題的突出特點.本題具有一定的探索性和開放性,較好地體現了新課改理念.

解法分析

1.對第一步的分析

化簡得ab=-1.

除了運用高中方法來證明出AR∥FQ,還可以采用初中平面幾何知識.如圖(2)所示,連接PF,RF.

故∠PFQ=90°,即三角形PFQ是直角三角形,PF⊥FQ.

此時在四邊形APRF中,AP2+FR2=AF2+PR2,則對角線PF⊥AR.

因此有AR∥FQ.

簡評 上述解法借助了重要的平面幾何知識,如“直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半”,“四邊形對邊平方和相等等價于該四邊形的對角線互相垂直”,“和同一條直線垂直的兩條直線平行”等等.從平面幾何知識的角度來闡述本步更能凸顯思維品質,給人以耳目一新的感覺.

綜合上述分析不難發現,第一小步試題表述平實質樸,入口寬,解法多樣,能夠讓不同的考生都有所收獲,體現了課程理念中的“人人學有用的數學,有用的數學應當為人人所學,不同的人學不同的數學”.同時也啟發我們在教學中要重視初中平面幾何知識的復習以及拓展.

2.對第二步的分析

第二步的已知條件是△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,要求線段AB中點(設為E)的軌跡方程.聯想到高中階段學過的求軌跡方程的方法,由于點E的運動是由線段AB運動引起的,故可采用相關點法來求出點E的軌跡方程.而對于條件兩個面積之間的關系該如何運用?關鍵在于準確寫出面積的表達式.觀察圖形易知△ABF的面積可以看成兩個同底的小三角形面積之和.

故線段AB中點的軌跡方程為y2=x-1.

解得ab=-2.

故線段AB中點的軌跡方程為y2=x-1.

簡評 上述解法的巧妙之處在于運用三角形的面積坐標公式,將△ABF的面積表示成坐標的形式,再結合兩個面積關系得到ab=-2.和上述解法相比,解題過程一氣呵成,避開了較為復雜的計算,頗有“柳暗花明又一村”的快感.

綜合上述分析,可以看出第二步較之第一步難度明顯加大,體現了本道試題具有梯度性,層次性.第二步綜合性較強,對考生的數學思維水平和數學素養都有較高的要求,發揮了很好的選拔區分功能.這就啟發我們在圓錐曲線的復習中既要重視基礎知識的講解又要著重培養學生邏輯思維能力,解題能力.

對本道試題推廣:

化簡得ab=-p2.

G632

B

1008-0333(2017)13-0004-02